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离散数学题库与答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？(A)(1)Q=QP (2)Q=PQ (3)P=PQ (4)P(PQ)=P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(PQ)(QR) (2)P(QQ) (3)(PQ)P (4)P(PQ)答：（2），（3），（4） 可用蕴含等值式证明3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=PQ (2) PQ=P (3) PQ=PQ (4)P(PQ)=Q (5) (PQ)=P (6) P(PQ)=P答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式4、公式x(A(x)B(y，x) $z C(y，z)D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。答：x,y, x,z（考察定义在公式x A和$x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在x A和$x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和$z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元）5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( )(1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+818，则三角形有4条边。(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 （命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。）6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。答：所有人都不是大学生，有些人不会死（命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在$，$换成”，然后将命题的结论否定，“且变或 或变且”）7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。(1)只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3)当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1） （注意“只有才”和“除非就”两者都是一个形式的） （2） （3） （4）8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。(1) x$y(x+y=0) (2) $yx(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=09、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) x$y (xy=y)()(2) $xy(x+y=y)()(3) $xy(x+y=x) ()(4) x$y(y=2x) ()答：（1） F (反证法：假若存在，则（x- 1）*y=0 对所有的x都成立，显然这个与前提条件相矛盾) （2） F （同理） （3）F （同理） （4）T（对任一整数x存在整数 y满足条件 y=2x 很明显是正确的）10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式 $x(P(x)Q(x)在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)-(3)均成立答：（1）（在某个体域中满足不是奇数就是偶数，在整数域中才满足条件，而自然数子整数的子集，当然满足条件了）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。答：2不是偶数且-3不是负数。12、永真式的否定是（ ）(1) 永真式(2) 永假式(3) 可满足式(4) (1)-(3)均有可能答：（2）（这个记住就行了）13、公式(PQ)(PQ)化简为（ ），公式 Q(P(PQ)可化简为（ ）。答：P ，QP（考查分配率和蕴含等值式知识的掌握）14、谓词公式x(P(x) $yR(y)Q(x)中量词x的辖域是（ ）。答：P(x) $yR(y)（一对括号就是一个辖域）15、令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（ ）。答：x(R(x)Q(x)（集合论部分）16、设A=a,a，下列命题错误的是（ ）。(1) aP(A)(2) aP(A)(3) aP(A)(4) aP(A)答：(2) （a是P（A）的一个元素）17、在0（ ）之间写上正确的符号。(1) =(2) (3) (4) 答：(4)（空集没有任何元素，且是任何集合的子集）18、若集合S的基数|S|=5，则S的幂集的基数|P(S)|=（ ）。答：32（2的5次方 考查幂集的定义，即幂集是集合S的全体子集构成的集合）19、设P=x|(x+1)4且xR,Q=x|5x+16且xR,则下列命题哪个正确（ ） (1) QP(2) QP(3) PQ(4) P=Q答：（3）（Q是集合R，P只是R中的一部分，所以P是Q的真子集）20、下列各集合中，哪几个分别相等( )。(1) A1=a,b (2) A2=b,a (3) A3=a,b,a (4) A4=a,b,c(5) A5=x|(x-a)(x-b)(x-c)=0 (6) A6=x|x2-(a+b)x+ab=0答：A1=A2=A3=A6， A4=A5（集合具有无序性、确定性和互异性）21、若A-B=，则下列哪个结论不可能正确？( )(1) A= (2) B=(3) AB (4) BA答：（4）（差集的定义）22、判断下列命题哪个为真?( )(1) A-B=B-A = A=B (2) 空集是任何集合的真子集(3) 空集只是非空集合的子集 (4) 若A的一个元素属于B，则A=B答：（1）（考查空集和差集的相关知识）23、判断下列命题哪几个为正确？()(1) , (2) , (3) (4) (5) a,ba,b,a,b答：（2），（4）24、判断下列命题哪几个正确？()(1) 所有空集都不相等 (2) (4) 若A为非空集，则AA成立。答：（2）25、设AB=AC，B=C，则B()C。答：=（等于）26、判断下列命题哪几个正确？()(1) 若ABAC，则BC (2) a,b=b,a (3) P(AB)P(A)P(B) （P(S)表示S的幂集）(4) 若A为非空集，则AAA成立。答：（2） 27、，是三个集合，则下列哪几个推理正确：(1) AB，BC= AC (2) AB，BC= AB (3) AB，BC= AC答：（1） （3）的反例 C为0，1，0 B为0，1，A为1 很明显结论不对）（二元关系部分）28、设1,2,3,4,5,6，B=1,2,3，从到B的关系x,y|x=y2求(1)R (2) R-1 答：（1）R=, (2) R=,（考查二元关系的定义，R为R的逆关系，即R=| R）29、举出集合A上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。()答：A上的恒等关系30、集合A上的等价关系的三个性质是什么？( )答：自反性、对称性和传递性31、集合A上的偏序关系的三个性质是什么？( )答：自反性、反对称性和传递性(题29，30，31全是考查定义)32、设S=,，上的关系1,2，2,1，2,3，3,4求(1)RR (2) R-1 。答：RR =1,1，1,3，2,2，2,4（考查FG =|$t(FG)）R-1 =2,1，1,2，3,2，4,333、设1，2，3，4，5，6，是A上的整除关系，求R= ()R=,34、设1,2,3,4,5,6，B=1,2,3，从到B的关系x,y|x=2y，求(1)R (2) R-1 。答：（1）R=, (2) R=,(3635、设1,2,3,4,5,6，B=1,2,3，从到B的关系x,y|x=y2，求R和R-1的关系矩阵。答：R的关系矩阵= R的关系矩阵=36、集合A=1,2,10上的关系R=|x+y=10,x,yA，则R 的性质为（ ）。(1) 自反的(2) 对称的 (3) 传递的，对称的 (4) 传递的答：（2）（考查自反 对称 传递的定义）（代数系统部分）37、设A=2,4,6，A上的二元运算*定义为：a*b=maxa,b，则在独异点中，单位元是( )，零元是( )。答：2，6（单位元和零元的定义，单位元：e。x=x 零元：。x=）38、设A=3,6,9，A上的二元运算*定义为：a*b=mina,b，则在独异点中，单位元是( )，零元是( )；答：9，3（半群与群部分）39、设G,*是一个群，则(1) 若a,b,xG，ax=b，则x=( )；(2) 若a,b,xG，ax=ab，则x=( )。答： （1） ab （2） b （考查群的性质，即群满足消去律）40、设a是12阶群的生成元， 则a2是( )阶元素，a3是( )阶元素。答： 6,441、代数系统是一个群，则G的等幂元是()。答：单位元（由a2=a,用归纳法可证an=a*a(n-1)=a*a=a，所以等幂元一定是幂等元，反之若an=a对一切N成立，则对n=2也成立，所以幂等元一定是等幂元，并且在群中，除幺元即单位元e外不可能有任何别的幂等元）42、设a是10阶群的生成元， 则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素答：5，10（若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群；我们也说，G是由元a生成的，并且用符号G=表示，且称a为一个生成元。并且一元素的阶整除群的阶）43、群的等幂元是()，有()个。答：单位元，1 （在群中，除幺元即单位元e外不可能有任何别的幂等元）44、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。答：循环群，任一非单位元（证明如下：任一元素的阶整除群的阶。现在群的阶是素数p，所以元素的阶要么是1要么是p。G中只有一个单位元，其它元素的阶都不等于1，所以都是p。任取一个非单位元，它的阶等于p，所以它生成的G的循环子群的阶也是p，从而等于整个群G。所以G等于它的任一非单位元生成的循环群）45、设G,*是一个群，a,b,cG，则(1) 若ca=b，则c=( )；(2) 若ca=ba，则c=( )。答：（1） b (2) b（群的性质）46、是的子群的充分必要条件是( )。答：是群 或 a，b G， abH，a-1H 或 a,b G，ab-1H 47、群A,*的等幂元有()个，是()，零元有()个。答：1，单位元，048、在一个群G,*中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。答：k49、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ） (1) a*b=a-b(2) a*b=maxa,b(3) a*b=a+2b(4) a*b=|a-b|答：(2)50、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。(1) 不可能是群(2) 不一定是群(3) 一定是群 (4) 是交换群答：(1)51、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。(1) 2阶(2) 3 阶 (3) 4 阶 (4) 6 阶答：(3)（格与布尔代数部分）52、下列哪个偏序集构成有界格（ ）(1) （N,）(2) （Z,） (3) （2,3,4,6,12,|（整除关系） (4) (P(A),)答：(4)（考查幂集的定义）53、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。(1) 偶数(2) 奇数 (3) 4的倍数 (4) 2的正整数次幂答：(4)（图论部分）54、设G是一个哈密尔顿图，则G一定是( )。(1) 欧拉图 (2) 树 (3) 平面图 (4)连通图 答：(4)（考察图的定义）55、下面给出的集合中，哪一个是前缀码？()(1) 0，10，110，101111(2) 01，001，000，1(3) b，c，aa，ab，aba (4) 1，11，101，001，0011答：（2）56、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中( )的路。答：所有结点一次且恰好一次57、在有向图中，结点v的出度deg+(v)表示( )，入度deg-(v)表示( )。答：以v为起点的边的条数， 以v为终点的边的条数58、设G是一棵树，则G 的生成树有( )棵。(1) 0(2) 1(3) 2(4) 不能确定答：159、n阶无向完全图Kn 的边数是( )，每个结点的度数是( )。答：, n-160、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是()。答：m=n-161、一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。答：所有边一次且恰好一次62、有n个结点的树，其结点度数之和是()。答：2n-2（结点度数的定义）63、下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( )。(1) a，ab，110，a1b11 (2) 01，001，000，1(3) 1，2，00，01，0210 (4) 12，11，101，002，0011答：(1)64、n个结点的有向完全图边数是( )，每个结点的度数是( )。答：n(n-1),2n-265、一个无向图有生成树的充分必要条件是( )。答：它是连通图66、设G是一棵树，n,m分别表示顶点数和边数，则(1) n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4) 不能确定。答：（3）67、设T=V,E是一棵树，若|V|1，则T中至少存在( )片树叶。答：268、任何连通无向图G至少有( )棵生成树，当且仅当G 是( )，G的生成树只有一棵。答：1， 树69、设G是有n个结点m条边的连通平面图，且有k个面，则k等于: (1) m-n+2 (2) n-m-2 (3) n+m-2 (4) m+n+2。答：（1）70、设T是一棵树，则T是一个连通且( )图。答：无简单回路71、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2，则图G有( )个顶点。 (1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 16答：（4）72、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G有( )个顶点。 (1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 12答：(4)73、设图G=，V=a，b，c，d，e，E=,则G是有向图还是无向图？答：有向图74、任一有向图中，度数为奇数的结点有()个。答：偶数75、具有6 个顶点，12条边的连通简单平面图中，每个面都是由()条边围成？(1) 2(2) 4(3) 3(4) 5答：（3）76、在有n个顶点的连通图中，其边数（ ）。(1) 最多有n-1条(2) 至少有n-1 条(3) 最多有n条 (4) 至少有n 条答：（2）77、一棵树有2个2度顶点，1 个3度顶点，3个4度顶点，则其1度顶点为（ ）。(1) 5(2) 7 (3) 8 (4) 9答：（4）78、若一棵完全二元（叉）树有2n-1个顶点，则它（ ）片树叶。(1) n(2) 2n (3) n-1 (4) 2答：（1）79、下列哪一种图不一定是树（ ）。(1) 无简单回路的连通图(2) 有n个顶点n-1条边的连通图 (3) 每对顶点间都有通路的图 (4) 连通但删去一条边便不连通的图答：（3）80、连通图G是一棵树当且仅当G中（ ）。(1) 有些边是割边(2) 每条边都是割边(3) 所有边都不是割边 (4) 图中存在一条欧拉路径答：（2）（数理逻辑部分）二、求下列各公式的主析取范式和主合取范式： 1、(PQ)R 解：(PQ)R(PQ )R(PR)(QR) （析取范式）(P(QQ)R)(PP)QR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主析取范式）(PQ)R)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)( PQR)（原公式否定的主析取范式）(PQ)R(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主合取范式）2、(PR)(QR)P 解： (PR)(QR)P（析取范式）(P(QQ)R)(PP)QR)(P(QQ)(RR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)( PQR)( PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR) (主析取范式)（(PR)(QR)P）(PQR)(PQR）（原公式否定的主析取范式）(PR)(QR)P (PQR)(PQR)（主合取范式）3、(PQ)(RP)解：(PQ)(RP)(PQ)(RP)（合取范式）(PQ(RR)(P(QQ)R)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR)（主合取范式） (PQ)(RP)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（原公式否定的主合取范式）(PQ)(RP)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主析取范式）4、Q(PR) 解：Q(PR)QPR（主合取范式）（Q(PR)）(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR）（原公式否定的主合取范式）Q(PR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR）（主析取范式）5、P(P(QP) 解：P(P(QP)P(P(QP)PP T (主合取范式)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)（主析取范式）6、(PQ)(RP)解： (PQ)(RP)(PQ)(RP)(PQ)(RP)（析取范式）(PQ(RR)(P(QQ)R)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主析取范式）(PQ)(RP)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（原公式否定的主析取范式）(PQ)(RP)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主合取范式）7、P(PQ) 解：P(PQ)P(PQ)(PP)QT(主合取范式)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)（主析取范式）8、(RQ)P解：(RQ)P(RQ )P(RP)(QP) （析取范式）(R(QQ)P)(RR)QP)(RQP)(RQP)(RQP)(RQP)(PQR)(PQR)(PQR)（主析取范式）(RQ)P)(PQR)(PQR）(PQR) (PQR)(PQR)（原公式否定的主析取范式）(RQ)P(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主合取范式）9、PQ 解：PQPQ（主合取范式）(P(QQ)(PP)Q)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)（主析取范式）10、PQ 解： PQ （主合取范式）(P(QQ)(PP)Q）(PQ)(PQ)(PQ)(PQ）(PQ)(PQ)(PQ)（主析取范式）11、PQ解：PQ（主析取范式）(P(QQ)(PP)Q)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)（主合取范式）12、（PR）Q解：（PR）Q(PR)Q(PR)Q(PQ)(RQ)（合取范式）(PQ(RR)(PP)QR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主合取范式）（PR）Q (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR) （原公式否定的主析取范式）（PR）Q(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主析取范式）13、（PQ）R解：（PQ）R(PQ)R(PQ)R(析取范式)(PQ(RR)(PP)(QQ)R)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式）（PQ）R(PQ)R(PQ)R(析取范式)(PR)(QR)(合取范式)(P(QQ)R)(PP)QR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式)14、(P(QR)(P(QR)解：(P(QR)(P(QR)(P(QR)(P(QR)(PQ)(PR)(PQ)(PR)（合取范式）(PQ(RR)(P(QQ)R)(PQ(RR)(P(QQ)R)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式)(P(QR)(P(QR)(PQR)(PQR)(原公式否定的主合取范式)(P(QR)(P(QR)(PQR)(PQR)(主析取范式)15、P(P(Q(QR)解：P(P(Q(QR) P(P(Q(QR) PQR(主合取范式)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(原公式否定的主合取范式)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)16、(PQ)(PR)解、(PQ)(PR)(PQ)(PR) (合取范式)(PQ(RR)(P(QQ)R)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式)(PQ)(PR)(PQ)(PR)P(QR)(合取范式)(P(QQ)(RR)(PP)QR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)三、证明：1、PQ，QR，R，SP=S证明：(1) R 前提(2) QR 前提(3) Q （1），（2）(4) PQ 前提(5) P （3），（4）(6) SP 前提(7) S （5），（6）2、A(BC)，C(DE)，F(DE),A=BF证明： (1) A 前提(2) A(BC) 前提 (3) BC （1），（2）(4) B 附加前提(5) C （3），（4）(6) C(DE) 前提(7) DE （5），（6）(8) F(DE) 前提(9) F （7），（8）(10) BF CP 3、PQ， PR, QS = RS证明：(1) R 附加前提(2) PR 前提(3) P （1），（2）(4) PQ 前提(5) Q （3），（4）(6) QS 前提(7) S （5），（6）(8) RS CP，（1），（8）4、(PQ)(RS)，(QW)(SX)，(WX)，PR = P证明： （1） P 假设前提（2） PR 前提（3） R （1），（2）（4） (PQ)(RS) 前提（5） PQ （4）（6） RS （5）（7） Q （1），（5）（8） S （3），（6）（9） (QW)(SX) 前提（10） QW （9）（11） SX （10）（12） W （7），（10）（13） X （8），（11）（14） WX （12），（13）（15） (WX) 前提（16） (WX)(WX) （14），（15）5、(UV)(MN), UP, P(QS)，QS =M 证明：(1) QS 附加前提（2） P(QS) 前提 （3） P （1），（2）（4） UP 前提（5） U （3），（4）（6） UV （5）（7） (UV)(MN) 前提 （8） MN (6),(7)（9） M （8）6、BD，(EF)D，E=B证明：(1) B 附加前提(2) BD 前提 (3) D （1），（2）(4) (EF)D 前提(5) (EF) （3），（4）(6) EF （5）(7) E （6）(8) E 前提(9) EE （7），（8）7、P(QR)，R(QS) = P(QS)证明：（1） P 附加前提（2） Q 附加前提（3） P(QR) 前提（4） QR （1），（3）（5） R （2），（4）（6） R(QS) 前提（7） QS （5），（6）（8） S （2），（7）（9） QS CP，（2），（8）（10） P(QS) CP，（1），（9）8、PQ，PR，RS =SQ 证明：（1） S 附加前提（2） RS 前提（3） R （1），（2）（4） PR 前提（5） P （3），（4）（6） PQ 前提（7） Q (5），（6）（8） SQ CP，（1），（7）9、P(QR) = (PQ)(PR)证明：(1) PQ 附加前提(2) P 附加前提(3) Q (1),(2)(4) P(QR) 前提(5) QR (2),(4)(6) R (3),(5)(7) PR CP,(2),(6)(8) (PQ) (PR) CP,(1),(7)10、P(QR)，QP,SR,P =S证明：（1） P 前提（2） P(QR) 前提（3） QR (1)，(2)（4） QP 前提（5） Q (1)，(4)（6） R (3),(5)（7） SR 前提（8） S (6)，(7)11、A，AB， AC， B(DC) = D证明：（1） A 前提（2） AB 前提（3） B (1)，(2)（4） AC 前提（5） C (1)，(4)（6） B(DC) 前提（7） DC (3)，(6)（8） D (5)，(7)12、A(CB)，BA，DC = AD证明：（1） A 附加前提(2) A(CB) 前提 (3) CB （1），（2）(4) BA 前提(5) B （1），（4）(6) C （3），（5）(7) DC 前提(8) D （6），（7）(9) AD CP，（1），（8）13、(PQ)(RQ) （PR）Q证明、(PQ)(RQ) (PQ)(RQ)(PR)Q （PR）Q(PR)Q14、P(QP)P(PQ)证明、P(QP)P(QP)(P)(PQ)P(PQ)15、（PQ）（PR），(QR)，SPS证明、(1) （PQ）（PR） 前提 （2） P (QR) (1) （3） (QR) 前提 （4） P （2），(3) (5) SP 前提 (6) S (4),(5)16、PQ，QR，RS P证明、(1) P 附加前提 （2） PQ 前提 （3） Q （1），（2） （4） QR 前提 (5) R （3），（4） (6 ) RS 前提 （7） R （6） （8） RR （5），（7）17、用真值表法证明 ()()证明、列出两个公式的真值表：P Q PQ （PQ）（QP） F FF TT FT TT TF FF FT T由定义可知，这两个公式是等价的。18、PQP(PQ)证明：设P(PQ)为F，则P为T，PQ为F。所以P为T，Q为F ，从而PQ也为F。所以PQP(PQ)。19、用先求主范式的方法证明(PQ)(PR) (P（QR）证明：先求出左右两个公式 的主合取范式(PQ)(PR) (PQ)(PR)(PQ(RR)(P(QQ)R) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR) (P（QR）) (P（QR）) (PQ)(PR)(PQ(RR)(P(QQ)R) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR)它们有一样的主合取范式，所以它们等价。20、(PQ)(QR) P证明：设(PQ)(QR)为T，则PQ和(QR)都为T。即PQ和QR都为T。故PQ，Q和R)都为T，即PQ为T，Q和R都为F。从而P也为F，即P为T。从而(PQ)(QR) P21、为庆祝九七香港回归祖国，四支足球队进行比赛，已知情况如下，问结论是否有效?前提: (1) 若A队得第一，则B队或C队获亚军;(2) 若C队获亚军，则A队不能获冠军;(3) 若D队获亚军，则B队不能获亚军;(4) A 队获第一;结论: (5) D队不是亚军。证明：设A：A队得第一;B: B队获亚军;C: C队获亚军;D: D队获亚军;则前提符号化为A（BC），CA，DB，A；结论符号化为 D。 本题即证明 A（BC），CA，DB，AD（1） A 前提 （2） A（BC）前提 （3） BC （1），（2） （4） CA 前提 （5） C （1），（4） （6） B （3），（5） （7） DB 前提 （8） D （6），（7）22、用推理规则证明PQ, (QR),PR不能同时为真。证明： (1) PR 前提 (2) P (1) (3) PQ 前提 (4) Q (2),(3) (5) (QR) 前提 (6) QR (5) (7) Q (6) (8) QQ (4),(7)(集合论部分)四、设，是三个集合，证明：1、A (BC)(AB)(AC) 证明：(AB)(AC)= (AB) =(AB) （）=(AB)(AB)= AB=A（B）=A（B-C）2、(AB)(AC)=A(BC)证明：(A-B)(A-C)=(A)(A) =A ()=A= A-(BC)3、AB=AC，B=C，则C=B证明：B=B(A)=(B) (BA)=(C) (CA)=C(A)=C 4、AB=A(B-A)证明： A(B-A)=A(B)=(AB)(A)=(AB)U= AB5、A=B AB= 证明：设A=B，则AB=（A-B）（B-A）=。设AB=，则AB=（A-B）（B-A）=。故A-B=，B-A=，从而AB，BA，故A=B。6、AB = AC，AB=AC，则C=B证明：B=B(AB)= B(AC)= (BA)(BC)= (AC)(BC)= C(AB)= C(AC)=C7、AB=AC，B=C，则C=B 证明：B=B(A)=(BA)(B)=(CA)(C)=C(A)=C8、A(BC)(AB)C证明：A(BC)= A=A()=(A)=(A-B)=(A-B)-C9、(AB)(AC)=A(BC)证明：(A-B)(AC)=(A)(A)=(AA)()=A=A(BC)10、A-B=B，则A=B=证明： 因为B=A-B，所以B=BB=（A-B）B=。从而A=A-B=B=。11、A=(A-B)(A-C)ABC=证明： 因为(A-B)(A-C) =(A)(A) =A()=A= A-(BC)，且A=(A-B)(A-C)， 所以A= A-(BC)，故ABC=。 因为ABC=，所以A-(BC)=A。而A-(BC)= (A-B)(A-C)， 所以A=(A-B)(A-C)。12、(A-B)(A-C)=ABC证明： 因为(A-B)(A-C) =(A)(A) =A()=A= A-(BC)，且(A-B)(A-C)=， 所以= A-(BC)，故ABC。 因为ABC，所以A-(BC)=A。而A-(BC)= (A-B)(A-C)， 所以A=(A-B)(A-C)。13、(A-B)(B-A)=A B=证明： 因为(A-B)(B-A)=A，所以B-AA。但(B-A)A=，故B-A=。 即BA，从而B=（否则A-BA，从而与(A-B)(B-A)=A矛盾）。 因为B=，所以A-B=A且B-A=。从而(A-B)(B-A)=A。14、(A-B)-CA-(B-C)证明：x(A-B)-C，有A-B且xC，即A，xB且xC。从而A，xB-C，故xA-(B-C)。从而(A-B)-CA-(B-C) 15、P(A)P(B)P(AB) （P(S)表示S的幂集）证明：SP(A)P(B)，有SP(A)或SP(B)，所以SA或SB。从而SAB，故SP(AB)。即P(A)P(B)P(AB) 16、P(A)P(B)=P(AB) （P(S)表示S的幂集）证明：SP(A)P(B)，有SP(A)且SP(B)，所以SA且SB。从而SAB，故SP(AB)。即P(A)P(B)P(AB)。SP(AB)，有SAB，所以SA且SB。从而SP(A)且SP(B)，故SP(A)P(B)。即P(AB)P(A)P(B)。 故P(AB)=P(A)P(B)17、（A-B）B=（AB）-B当且仅当B=。证明：当B=时，因为（A-B）B=（A-）=A，（AB）-B=（A）- =A，所以（A-B）B=（AB）-B。用反证法证明。假设B，则存在bB。因为bB且b AB，所以b（AB）-B。而显然b（A-B）B。故这与已知（A-B）B=（AB）-B矛盾。五、证明或解答：（数理逻辑、集合论与二元关系部分）1、设个体域是自然数，将下列各式翻译成自然语言：(1) xy（xy=1）; (2) xy(xy=1);(3) xy (xy=0); (4) xy（xy=0）;(5) xy (xy=x); (6) xy（xy=x）;(7) xyz (x-y=z)答：（1）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=1;（2）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=1;（3）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=0;（4）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=1;（5）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=x;（6）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=x;（7）对任意自然数x,y，存在自然数z满足x-y=z。2、设A(x,y,z): x+y=z, M（x,y,z）: xy=z, L(x,y): xy， 个体域为自然数。将下列命题符号化：（1）没有小于0的自然数;（2）xz是xy且yz的必要条件;（3）若xy，则存在某些z，使zyz;（4）存在x，对任意y 使得xy=y;（5）对任意x，存在y使x+y=x。答：（1）x（G(x,0)M（0,0,x） 或x L(x,0)（2）xyz (L(x,y)L(y,z)L(x,z)（3）xy (L(x,y)z(L(z,0)G(xz,yz)（4）xyM（x,y,y）（5）xyA(x,y,x)3、列出下列二元关系的所有元素：（1）A=0,1,2，B=0,2,4，R=|x,y;（2）A=1,2,3,4,5，B=1,2，R=|2x+y4且x且yB;（3）A=1,2,3，B=-3,-2,-1,0,1，R=|x|=|y|且x且yB;解：(1) R=,(2) R=,;(3) R=,。4、对任意集合A,B，证明：若AA=BB，则B=B。证明：若B=，则BB=。从而AA =。故A=。从而B=A。 若B，则BB。从而AA。对, BB。因为AA=BB，则A。从而xA。故BA。同理可证，AB。故B=A。5、对任意集合A,B，证明：若A，AB=AC，则B=C。证明：若B=，则AB=。从而AC =。因为A，所以C=。即B=C。 若B，则AB。从而AC。对,因为A，所以存在yA, 使B。因为AB=AC，则C。从而xC。故BC。同理可证，CB。故B=C。6、设A=a,b, B=c。求下列集合：(1) A0,1B； (2) B2A；(3) (AB)2; (4) P(A)A。解：（1） A0,1B=,;（2） B2A=,;（3） (AB)2=,;（4） P(A)A=,。7、设全集U=a,b,c,d,e, A=a,d, B=a,b,c, C=b,d。求下列各集合：（1）AB； （2）；（3）(A)C; （4）P(A)-P(B); （5）(A-B)(B-C); （6）(AB)C; 解 ：(1) AB=a; (2) =a,b,c,d,e;(3) （A）C=b,d; (4) P(A)-P(B)=d,a,d;(5) (A-B)(B-C)=d,c,a; (6) (AB) C=b,d。8、设A,B,C是任意集合，证明或否定下列断言：（1）若AB，且BC，则AC；（2）若AB，且BC，则AC;（3）若AB，且BC，则AC；（4）若AB，且BC，则AC；证明：(1) 成立。对xA, 因为AB，所以xB。又因为BC，所以xC。即AC。(2) 不成立。反例如下：A=a, B=a,b,C=a,b,c。虽然AB，且BC，但AC。(3) 不成立。反例如下：A=a, B=a,b,C=a,b,c。虽然AB，且BC，但AC。(4) 成立。因为AB, 且BC，所以AC。9、A上的任一良序关系一定是A上的全序关系。证明：a，bA，则a,b是A的一个非空子集。是A上的良序关系，a,b有最小元。若最小元为a，则ab；否则ba。从而为A上的的全序关系。10、若R和S都是非空集A上的等价关系，则RS是A上的等价关系。证明：aA，因为R和S都是A上的等价关系，所以xRx且xSx。故xRSx。从而RS是自反的。a,bA，aRSb，即aRb且aSb。因为R和S都是A上的等价关系，所以bRa且bSa。故bRSa。从而RS是对称的。a,b,cA，aRSb且bRSc，即aRb，aSb,bRc且bSc。因为R和S都是A上的等价关系，所以aRc且aSc。故aRSc。从而RS是传递的。故RS是A上的等价关系。11、设RAA，则R自反 IAR。证明：xA，R是自反的，xRx。即R，故IAR。xA，IAR，R。即xRx，故R是自反的。12、设A是集合，RAA，则R是对称的RR1。证明：R ，R是对称的，yRx。即