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专题11函数与方程最新考纲结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.基础知识融会贯通1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)三个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系【知识拓展】有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号重点难点突破【题型一】函数零点所在区间的判定【典型例题】函数f（x）lnx+2x6的零点所在的区间为（）A（1，2）B（2，3）C（3，4）D（4，5）【解答】解：f（1）260，f（2）4+ln260，f（3）6+ln360，f（4）8+ln460，f（2）f（3）0，m的所在区间为（2，3）故选：B【再练一题】函数f（x）log8x的一个零点所在的区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【解答】解：函数f（x）log8x的连线增函数，f（1）00，f（2）log820，可得f（1）f（2）0，函数f（x）的其中一个零点所在的区间是（1，2），故选：B思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理；(2)数形结合法【题型二】函数零点个数的判断【典型例题】已知偶函数yf（x）（xR）满足f（x+1）f（x1）且x0，1时f（x）x，则函数g（x）f（x）log3|x|的零点个数共有（）A1个B2个C3个D4个【解答】解：由f（1+x）f（1x），取xx+1，得：f（x+1+1）f（1x1），所以f（x+2）f（x），又因为函数为偶函数，所以f（x+2）f（x）f（x），所以函数f（x）是以2为周期的周期函数因为当x1，0时，f（x）x，由偶函数可知，当x1，0时，f（x）x，所以函数f（x）的图象是f（x）x在1，1内的部分左右平移2个单位周期出现，0求函数g（x）f（x）|log3x|的零点个数，就是求两函数yf（x）与y|log3x|的交点个数，由于log331，所以两函数在（0，3内有2个交点，根据对称性可知：3，0）内有2个交点，所以交点总数为4个，所以函数g（x）f（x）|log3x|的零点个数为4故选：D【再练一题】已知f（x）x，则yf（x）的零点个数是（）A4B3C2D1【解答】解：已知f（x）x，则yf（x）的零点个数，即方程 x的解的个数当x0时，方程即x+1，故该方程解的个数即函数yx+1与函数y的图象的交点个数当x0时，方程即x1，故该方程解的个数即函数yx1与函数y的图象的交点个数，数形结合可得，方程 x的解的个数为2，故选：C思维升华 函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点；(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数；(3)利用函数图象的交点个数判断【题型三】函数零点的应用命题点1根据函数零点个数求参数【典型例题】已知函数f（x）lnxax+1（1）若f（x）在x1处取到极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围【解答】解：（1）函数f（x）lnxax+1，x0，f（x）在x1处取到极值，f（1）1a0，解得a1，实数a的值为1（2）x0，由f（x）0，得x当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，当a0时，x（0，），f（x）0，f（x）在上单调递增，x（，+），f（x）0，f（x）在上单调递减当a0时，f（x）在（0，+）上单调递增，不可能有两个零点；当a0时，f（x）在（0，）上是增函数，在（，+）上是减函数，f（）是函数f（x）的最大值，当f（）0时，f（x）最多只有一个零点，f（）ln0，解得0a1，此时，且f（）110，f（）22lna132lna，（0a1），令F（a）32lna，则F（x）0，F（a）在（0，1）上单调递增，F（a）F（1）3e20，即f（）0，a的取值范围是（0，1）【再练一题】已知函数的图象过点（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数g（x）f（x）2m+3有3个零点，求m的取值范围【解答】解：（1）因为函数的图象过点所以，解得a2，即，所以f（x）x2x2由f（x）x2x20，解得1x2；由f（x）0，得x1或x2所以函数f（x）的递减区间是（1，2），递增区间是（，1），（2，+）（2）由（1）知，同理，由数形结合思想，要使函数g（x）f（x）2m+3有三个零点，则，解得所以m的取值范围为命题点2根据函数有无零点求参数【典型例题】已知函数f（x）x2+（a1）x+b，f（1）1（1）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围；（2）若函数f（x）的图象的对称轴是x1，解不等式f（x）1【解答】解：（1）由f（1）1得1+a1+b1，得a+b1，因为函数f（x）没有零点，所以x2+（a1）x+b0中0，即（a1）24b0，又b1a，所以（a1）24（1a）0，化为a2+2a30，解得3a1；（2）函数f（x）的图象的对称轴是x1，即，又b1a，联立解得a1，b2x22x+21，化为（x1）20，解得x1，所以f（x）1的解集为x|x1【再练一题】已知f（x）acos2x+2cosx3（） 当a1时，求函数yf（x）的值域；（）若函数yf（x）存在零点，求a的取值范围【解答】解：由已知可得：f（x）acos2x+2cosx32acos2x+2cosx（3+a）（）当a1时，f（x）2cos2x+2cosx42（cosx）2由1cosx1，得函数yf（x）的值域为，0（）函数yf（x）存在零点，即2at2+2t（3+a）0在1，1上有解（1）a0时，方程的解t1，1不满足条件（2）当a时，设g（t）2t2（）则当g（1）g（1）0时满足条件，此时有1a5当g（1）g（1）0时时，必有以下四式同时成立即g（1）0，g（1）0，0，11解得a5，或a综上可得，a的取值范围为（，）1，+）命题点3根据零点的范围求参数【典型例题】已知函数f（x）3x22（k2k+1）x+5，g（x）2k2x+k，其中kR（1）设函数p（x）f（x）+g（x）若p（x）在（0，3）上有零点，求k的取值范围；（2）设函数q（x）是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2x1），使得q（x2）q（x1）？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）f（x）3x22（k2k+1）x+5，g（x）2k2x+k，p（x）在（0，3）上有零点，p（x）f（x）+g（x）3x2+2（k1）x+k+5在（0，3）上有零点（4k28k+4）12k600，解得 k2，或 k7若p（x）在（0，3）上有唯一零点，则 p（0）p（3）（k+5）（7k+26）0 ，或，或，或解得5k，解得k，解得k，解可得 k2，或k7当k7时，p（x）f（x）+g（x）3x2+2（k1）x+k+53x2+12x+12的零点是2，不符合题意所以k7舍去若p（x）在（0，3）上有2个零点，则有，解得k2综上所述，实数k的取值范围为5，2（2）函数q（x），即q（x）显然，k0不满足条件，故k0当x0时，q（x）2k2x+kk，+）当x0时，q（x）3x22（k2k+1）x+5（5，+）记Ak，+），B（15，+）当x20时，q（x）在（0，+）上是增函数，要使q（x2）q（x1），则x10，且AB，故k5；当x20时，q（x）在（，0）上是减函数，要使q（x2）q（x1），则x10，且BA，故k5；综上可得，k5满足条件故存在k5，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2x1），使得q（x2）q（x1）【再练一题】已知函数f（x）alnx（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a0，函数f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围【解答】解：（1）函数f（x）alnx的定义域为（0，+），f（x）xa0时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增；a0时，由f（x）0得x；由f（x）0得0x即f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增综上：a0时，f（x）在（0，+）上单调递增；a0时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增（2）当a0时，由（1）知f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，若1，即0a1时，f（x）在（1，e）上单调递增，f（1），f（x）在区间（1，e）上无零点若1e，即1ae2时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，e）上单调递增f（x）minf（）a（1lna）f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，f（1）0，f（）a（1lna）0f（e）e2a0，eae2若e，即ae2时，f（x）在（1，e）上单调递减，f（1）0，f（e）e2a0，f（x）在区间（1，e）上有一个零点综上，f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点时a的取值范围是（e，e2）思维升华 根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解基础知识训练1下列函数中，能用二分法求零点的是（）ABCD【答案】D【解析】由题意以及零点判定定理可知：只有选项D能够应用二分法求解函数的零点，故选：D2方程的根所在的区间为ABCD【答案】C【解析】令函数，则方程的根即为函数的零点，再由，且，可得函数上有零点故选：C3函数的零点所在的一个区间是ABCD【答案】C【解析】上的增函数，又，故零点所在对的区间为，选C4已知函数若方程有5个解，则 的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】当时，当时，所以函数上是偶函数，当时，单调递减，且当时，当时，因此，作出函数的大致图象如图所示：设，则原方程为，因为是方程的根，所以由图象可知，若关于的方程有五个不同的实数解，只需直线与函数的图象有三个不同的公共点，且关于的方程有两个不同的公共点，其中一根，另一根，所以，解得，所以实数的取值范围为，故选D.5已知函数满足，当时，；当时，若函数上有五个零点，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】有题意知，则的周期为。又上有五个零点等价于方程上有五个不同的实数根，即的图像在上有五个交点。图像如下：由图像可得，当直线过点时，取得最小值，此时。故选A6已知分别是方程的实数解，则（ ）ABCD【答案】B【解析】根据题干要求得到，在同一坐标系中画出函数四个函数图像，如下图：方程的根就是两个图像的交点，根据图像可得到：.故答案为：B.7已知实数满足，则函数的零点在下列哪个区间内ABCD【答案】B【解析】根据题意，实数a满足3a5，则alog351，则函数为增函数，且f（2）（log35）2+2（2）log530，f（1）（log35）1+2（1）log5320，f（0）（log35）0log531log530，由函数零点存在性可知函数f（x）的零点在区间（1，0）上，故选：B8已知定义在上的函数满足:,.若方程有5个实根,则正数a的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】由，得函数f（x）是以4为周期的周期函数，做出函数yf（x）与函数yax的图象，由图象可得方程y（x4）2+1ax， 即 x2+（a8）x+150在（3，5）上有2个实数根，由 解得 0a82再由方程f（x）ax 在（5，6）内无解可得6a1，a综上可得：a82，故选：C9函数在区间上的零点的个数是A10B20C30D40【答案】A【解析】画出图象函数的图象，根据图象可得函数在区间上的零点的个数是10，故选：A10设函数有且仅有一个零点，则实数的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】函数，有且只有一个零点，方程，有且只有一个实数根，令g（x）=，则g（x）=，当时，g（x）0，当时，g（x）0，g（x）在上单调递增，在上单调递减，当x=时，g（x）取得极大值g（）=，又g（0）= g（）=0，若方程，有且只有一个实数根，则a=故选B.11已知函数，方程对于任意都有9个不等实根，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为方程对于任意都有9个不等实根，不妨令，则方程有9个不等实根，令，解得：.所以都要有3个不同的根由可得：，所以函数为奇函数，又，由有3个不等实根，可得不是单调函数，即：令，解得：，作出的关系如下表：作出的简图如下：要使得有3个根，至少要满足，即：，解得：.即：，排除A,B,C.故选：D.12已知函数，则方程的实根个数最多为（ ）A6B7C8D9【答案】C【解析】由题得函数的值域为，设g（x）=t(),作出函数f(x)的图像为：所以f(t)=a,当1a2时，直线和图像交点个数最多，有四个交点，也就是t有四个实根.且一个t-1，有三个t1.因为函数在（0,1）（-1,0）单调递减，在（1，+），（-，-1）单调递增.所以g(x)=t, 当t在每取一个t值时，x都有两个值和它对应，因为t最多有4个根，所以x最多有8个解.故选:C13设，函数，若时，函数有零点，则的取值个数有_.【答案】【解析】根据函数解析式得到函数是单调递增的，由零点存在定理得到若时，函数有零点，需要满足，因为a是整数，故可得到a的可能取值为：0，1，2，3.故答案为：4.14定义在上的偶函数满足对任意，有，且当时，若函数上至少有个零点，则的取值范围是_【答案】【解析】根据函数为偶函数，令，即，故函数是周期为的周期函数.根据偶函数图像关于轴对称，画出函数的图像如下图所示：当时，画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像没有交点，不符合题意.当时，画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有至少有个交点，则需，即，解得.15已知函数，若存在实数，使得，且，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】函数的导数为，所以在R上递增.若存在实数，使得，得1，且，即，得.即在0x2有交点，对称轴x=a，当a时，上递增，且0，不满足在0x2有交点。当时， 上递减，在上递增，且=2-a0, 不满足在0x2有交点。当a时，上递减，在0x2有交点，得综上：a的取值范围为 故答案为：16若对任意，函数总有零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】函数总有零点，对任意恒成立，记上单调递减，故答案为：17已知函数，若函数上有两个不同的零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【详解】函数可化为：f（x），若m0，当0x2时，f（x）递增，当2x3时，f（x）的对称轴是x0，故函数f（x）在2，3）递增，f（x）在（0，3）连续，f（x）在（0，3）递增；当m0时，函数f（x）在（0，3）不可能有2个不同的零点，当m0时，f（x）在（0，3）上没有2个不同的零点，当m0时，f（x）在（0，2）递减，当02即8m0时，函数f（x）在2，3）递增，故函数f（x）在区间（0，3）有2个不同的零点只需满足：，解得：m2，当23即12m8时，函数f（x）在（0，）递减，在（，3）递增，故函数f（x）在区间（0，3）有2个不同的零点只需满足：，解得m，又12m8，所以不存在满足条件的m，当3即m12时，函数f（x）在（0，3）递减，函数f（x）在（0，3）上不可能有2个不同的零点，综上，m2时，函数f（x）在区间（1，3）上有2个不同的零点18已知函数，若函数有四个零点，则实数m的取值范围为_【答案】【解析】令可得即根据解析式可知在两段上分别都是单调递增的函数则均有两个不同解当时， 当时， 则 19已知函数，函数有三个不同的零点，则的取值范围是_【答案】【解析】则当时，抛物线的对称轴为，若函数有三个不同的零点，不妨设，即有三个不同的根， 的图象有三个交点，作出的图象，由图可知，,即,当时，即，则，当时，由,得 ,即，则，设，则导数,则当时, 恒成立，即此时函数为减函数，则，即，即，即的取值范围是，故答案为.20若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_ 【答案】【解析】转化为（上半个单位圆）与的图像有两个不同的交点，如图，当时，要满足条件，则，；类似，当时，；综上，实数的取值范围是能力提升训练1若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】时，由（画图确定只有两个解），故有3个零点等价于有1个零点，画出的图像，数形结合可得实数的取值范围是，故选B.2若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围是( ).A B C D【答案】A【解析】因为不满足方程，所以原方程化为化为， ，令，时，；时，令，+0-递增递减当，即时，综上可得，的值域为，要使无解，则，即使关于的方程没有实数根的实数的取值范围是，故选A.3已知函数，关于的方程有三个不等的实根，则的取值范围是（ ）A BC D【答案】B【解析】，当时，上为增函数；当时，上为减函数；所以的图像如图所示：又时，又的值域为， 所以当时，方程有一个解，当时，方程有两个不同的解，所以方程有两个不同的解，令，故 ，解得，故选B4已知函数的定义域为，且是偶函数又，存在，使得，则满足条件的的个数为( )A3 B2 C4 D1【答案】A【解析】由，解得，即函数的定义域为.由于是偶函数，函数的定义域关于原点对称，即，解得.故.构造函数.由于，故，根据零点的存在性定理可知，函数在区间上存在零点，由于的最高次项为，根据所以至多有个零点，所以满足条件的共三个.5定义在上的偶函数满足:当时有,且当时, ,则函数的零点个数是( )A6个 B7个 C8个 D无数个【答案】B【解析】由条件，可知函数时，图象向右平移3个单位，函数值变为原来的，且当时, ,所以函数的大致图象：共有7个交点，故选B.6已知函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】D【解析】方程至多有一个零点，所以方程至少有两个零点令若，则上的增函数，故至多有一个零点，舍去；若，则，令，则，上的减函数，故，若，则上的减函数，故至多有一个零点，舍去；若，则有解,当时，；当时，故上单调递增，在单调递减，所以上只能有两个零点，故，解又方程有一个零点，故，故，综上，故选D7已知函数f（x）=，若函数y=f（f（x）-a 恰有5个零点，则实数a的取值范围为_【答案】（0，ln22【解析】函数f（x）的图象如图，当a=2时，则方程f（t）=2有3个根，且由图象可知方程f（x）=t1有1根，方程f（x）=t2有2个根，方程f（x）=t3有2个根，共有5个根，故a=2符合题意；当时，则方程f（t）=有2个根，且由图象可知方程f（x）=t1有2根，方程f（x）=t2有2个根，共有4个根，故不符合题意；当时，则方程f（t）=有2个根，且由图象可知方程f（x）=t1有2根，方程f（x）=t2有2个根，共有4个根，故不符合题意；当时，则方程f（t）=有1个根，且由图象可知方程f（x）=1有2根，1故不符合题意；当时，则方程f（t）=有3个根，且.由图象可知方程f（x）=t1有0根，方程f（x）=t2有2个根，方程f（x）=t3有2个根，共有4个根，故不符合题意；当时，则方程f（t）=有2个根，且.由图象可知方程f（x）=t1有2根，方程f（x）=有3个根，共有5个根，此时,故符合题意；当时，则方程f（t）=无根，不符合题意.综上： 2.故答案为：（0，ln22.8关于x的方程上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】令则原方程化为，这个方程在的范围内有两个不同的实数根.故对称轴要大于，判别式要大于零，且将代入方程的左边所得的值应为非负数，即解得.9定义在上的偶函数满足：当时有，且当时，若方程恰有三个实根，则的取值范围是_【答案】【解析】因为当时，设，则，所以，又，所以，可作出函数上的图象，又函数为偶函数，可得函数在的图象，同时作出直线， 如图：方程恰有三个实根即图象有三个交点，当时，由图象可知，当直线，即时有4个交点，当直线，即时有2个交点，当时有3个交点，同理可得当时，满足时，直线有3个交点.故填.10已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围是_【答案】 【解析】令tf（x），则原函数方程等价为t2+bt0作出函数f（x）的图象如图：图象可知当由0t1时，函数tf（x）有3个交点所以要使f2（x）+bf（x）0有六个相异实根，则等价为为t2+bt0有两个根t1，t2，且0t11，0t21令g（t）t2+bt，则由根的分布（如图）可得，即，即，解得b1，则实数b的取值范围是（，1）故答案为（，1）31
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