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第8讲数列考情分析数列为每年高考必考内容之一，考查热点主要有三个方面：(1)对等差、等比数列基本量和性质的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前n项和公式建立方程(组)求解，利用性质解决有关计算问题，属于中、低档题；(2)对数列通项公式的考查；(3)对数列求和及其简单应用的考查，主、客观题均会出现，常以等差、等比数列为载体，考查数列的通项、求和，难度中等热点题型分析热点1等差、等比数列的基本运算及性质1.等差(比)数列基本运算的解题策略(1)设基本量a1和公差d(公比q)；(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量2.等差(比)数列性质问题的求解策略(1)解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解；(2)牢固掌握等差(比)数列的性质，可分为三类：通项公式的变形；等差(比)中项的变形；前n项和公式的变形比如：等差数列中，“若mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)”；等比数列中，“若mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)”1.已知在公比不为1的等比数列an中，a2a49，且2a3为3a2和a4的等差中项，设数列an的前n项积为Tn，则T8()A.37 B310C.318 D320答案D解析由题意得a2a4a9.设等比数列an的公比为q，由2a3为3a2和a4的等差中项可得4a33a2a4，即4a3a3q，整理得q24q30，由公比不为1，解得q3.所以T8a1a2a8aq28(aq16)q12(a1q2)8q12aq1294312320.故选D.2.(2019江苏高考)已知数列an(nN*)是等差数列，Sn是其前n项和若a2a5a80，S927，则S8的值是_答案16解析解法一：由S92727a1a962a562a18d6且a53.又a2a5a802a15d0，解得a15，d2.故S88a1d16.解法二：同解法一得a53.又a2a5a803a2a802a22a50a23.d2，a1a2d5.故S88a1d16.3.在等比数列an中，若a7a8a9a10，a8a9，则_.答案解析由等比数列的性质可得，a7a10a8a9，.在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性如第1题要注意整体代换思想的运用，避免繁杂的运算出错；第3题易忽视等比数列性质“若mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)”，而导致计算量过大.热点2求数列的通项公式1.已知Sn求an的步骤(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式；(3)注意检验n1时的表达式是否可以与n2的表达式合并2.由递推关系式求数列的通项公式(1)对于递推关系式可转化为f(n)的数列，并且容易在求数列f(n)前n项的积时，采用叠乘法求数列an的通项公式；(2)对于递推关系式可转化为an1anf(n)的数列，通常采用叠加法(逐差相加法)求其通项公式；(3)对于递推关系式形如an1panq(p0,1，q0)的数列，采用构造法求数列的通项公式1.(2019长沙雅礼中学、河南实验中学联考)在数列an中，a12，ln ，则an等于()A.2nln n B2n(n1)ln nC.2nnln n D1nnln n答案C解析由题意得ln (n1)ln n，n分别用1,2,3，(n1)取代，累加得ln nln 1ln n，2ln n，an(ln n2)n，故选C.2.已知数列an的前n项和为Sn，且a11，an12Sn，则数列an的通项公式为_答案an解析当n2时，an2Sn1，an1an2Sn2Sn12an，即an13an，数列an的第2项及以后各项构成等比数列，a22a12，公比为3，an23n2，n2，当n1时，a11，数列an的通项公式为an1.利用anSnSn1求通项时，应注意n2这一前提条件第2题易错解为an23n2.2.利用递推关系式求数列通项时，要合理转化确定相邻两项之间的关系第1题易错点有二：一是已知条件的转化不明确导致无从下手；二是叠加法求通项公式不熟练导致出错.热点3数列求和问题1.分组求和的常用方法(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正、负项分组，此时数列的通项式中常会有(1)n等特征2.裂项相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差；(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多3.错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列an与等比数列bn对应项相乘anbn型数列求和；(2)步骤求和时先乘以等比数列bn的公比；把两个和的形式错位相减；整理结果形式1.已知数列an的前n项和为Sn2n1m，且a1，a4，a52成等差数列，bn，数列bn的前n项和为Tn，则满足Tn的最小正整数n的值为()A.11 B10 C9 D8答案B解析根据Sn2n1m可以求得an所以有a1m4，a416，a532，根据a1，a4，a52成等差数列，可得m432232，从而求得m2，所以a12满足an2n，从而求得an2n(nN*)，所以bn，所以Tn11，令1，整理得2n12019，解得n10.2.已知数列an的前n项和为Sn，且ann2n，则Sn_.答案(n1)2n12解析由ann2n且Sna1a2an得，Sn121222323(n1)2n1n2n，2Sn122223(n1)2nn2n1.两式相减得，Sn2122232nn2n1n2n12n12n2n1Snn2n12n12(n1)2n12.裂项相消后一般情况下剩余项是对称的，即前面剩余的项和后面剩余的项是对应的第1题易搞错剩余项，导致求和出错第2题错位相减法求和时，易出现以下两种错误：一是两式错位相减时最后一项n2n1没有变号；二是对相减后的和式的结构认识模糊，把项数数错.热点4数列的综合应用1.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值2.数列与函数综合问题的注意点(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，在求数列最值或不等关系时要特别注意；(2)利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化1.设数列an的前n项和为Sn，已知a1，an1则S2018等于()A. B. C. D.答案B解析由题知，a1，a221，a321，a42，a52，数列an是以4为周期的周期数列，a1a2a3a42，S2018504(a1a2a3a4)a1a21008.故选B.2.已知数列an满足a133，an1an2n，则的最小值为_答案解析由题意得，a2a121，a3a222，a4a323，anan12(n1)，将上述n1个式子累加，得(a2a1)(a3a2)(anan1)212(n1)，即ana1n(n1)，得ana1n(n1)n2n33，所以n1.设f(x)x1(x0)，则f(x)1，由f(x)0，解得x；由f(x)0，解得0x.所以函数f(x)在，)上单调递增，在(0，)上单调递减因为nN*，所以当n6时，f(n)即取得最小值，而f(6)61.所以的最小值为f(6).第1题易把数列的周期求错，导致S2018的值求错第2题易出现的错误有两个：一是在的表达式中，忽视n为正整数的特点并直接利用基本不等式n2求解最值；二是即使考虑了n为正整数，但把取最小值时的n值弄错.真题自检感悟1.(2018全国卷)设Sn为等差数列an的前n项和若3S3S2S4，a12，则a5()A.12 B10 C10 D12答案B解析设该等差数列的公差为d，根据题中的条件可得322d42d，整理解得d3，所以a5a14d21210，故选B.2.(2019北京高考)设等差数列an的前n项和为Sn，若a23，S510，则a5_，Sn的最小值为_答案010解析a2a1d3，S55a110d10，a14，d1，a5a14d0，ana1(n1)dn5.令an0，则n12an1成立的n的最小值为_答案27解析S26503，a2743，则12a27516，不满足Sn12an1；S27546，a2845，则12a28540，满足Sn12an1.所以n的最小值为27.专题作业一、选择题1.(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A.1 B2 C4 D8答案C解析设an的公差为d，则由得解得d4.故选C.2.(2019河北衡水模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S96，则tana5()A. B. C D答案C解析由等差数列的性质可得，S969a5，a5，则tana5tan，故选C.3.(2019广州综合测试)已知数列an为等比数列，若a4a610，则a7(a12a3)a3a9的值为()A.10 B20 C100 D200答案C解析a7(a12a3)a3a9a7a12a7a3a3a9a2a4a6a(a4a6)2100，故选C.4.(2019大连模拟)设等比数列an的前n项和为Sn，S23，S415，则S6等于()A.27 B31 C63 D75答案C解析由题意得S2，S4S2，S6S4成等比数列，所以3,12，S615成等比数列，所以1223(S615)，解得S663.5.若Sn为数列an的前n项和，且Sn2an2，则S8等于()A.255 B256 C510 D511答案C解析当n1时，a1S12a12，据此可得a12，当n2时，Sn2an2，Sn12an12，两式作差可得an2an2an1，则an2an1，据此可得数列an是首项为2，公比为2的等比数列，其前8项和为S82925122510.6.设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，S3a，且S1，S2，S4成等比数列，则a10等于()A.15 B19 C21 D30答案B解析设等差数列an的公差为d，因为S3a，所以3a2a，解得a20或a23，又因为S1，S2，S4构成等比数列，所以SS1S4，所以(2a2d)2(a2d)(4a22d)，若a20，则d22d2，此时d0，不符合题意，舍去，当a23时，可得(6d)2(3d)(122d)，解得d2(d0舍去)，所以a10a28d38219.7.(2019烟台模拟)已知an为等比数列，数列bn满足b12，b25，且an(bn1bn)an1，则数列bn的前n项和为()A.3n1 B3n1 C. D.答案C解析b12，b25，且an(bn1bn)an1，a1(b2b1)a2，即a23a1，又数列an为等比数列，数列an的公比q3，且an0，bn1bn3，数列bn是首项为2，公差为3的等差数列，数列bn的前n项和为Sn2n3.8.(2016四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A.2018年 B2019年 C2020年 D2021年答案B解析根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列an，其中，首项a1130，公比q112%1.12，所以an1301.12n1.由1301.12n1200，两边同时取对数，得n1，又3.8，则n4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.9.已知数列an满足a10，an1(nN*)，则a56等于()A. B0 C. D.答案A解析因为an1(nN*)，a10，所以a2，a3，a40，a5，a6，故此数列的周期为3.所以a56a1832a2.10.在数列an中，an，又bn，则数列bn的前n项和为()A. B. C. D.答案D解析由已知得an(12n)，从而bn4，所以数列bn的前n项和为Sn44.故选D.11.(2017全国卷)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是()A.440 B330 C220 D110答案A解析设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为.由题意知，N100，令100n14且nN*，即N出现在第13组之后第n组的各项和为2n1，前n组所有项的和为n2n12n.设N是第n1组的第k项，若要使前N项和为2的整数幂，则N项的和即第n1组的前k项的和2k1应与2n互为相反数，即2k12n(kN*，n14)，klog2(n3)n最小为29，此时k5，则N5440.故选A.12.已知数列an中，a12，n(an1an)an1，nN*，若对于任意的a2,2，nN*，不等式2t2at1恒成立，则实数t的取值范围为()A.(，22，)B.(，21，)C.(，12，)D.2,2答案A解析根据题意，数列an中，n(an1an)an1，即nan1(n1)an1，则有，则有a1233，2t2at1，即32t2at1，对于任意的a2,2，nN*，不等式2t2at1恒成立，2t2at13，化为2t2at40，设f(a)2t2at4，a2,2，可得f(2)0且f(2)0，即有即可得t2或t2，则实数t的取值范围是(，22，)，故选A.二、填空题13.(2018北京高考)设an是等差数列，且a13，a2a536，则an的通项公式为_答案an6n3解析a13，a2a536，3d34d36，d6，an36(n1)6n3.14.(2019全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a53a34a1，则a3_.答案4解析由题意知解得a3a1q24.15.(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a10，a23a1，则_.答案4解析由a10，a23a1，可得d2a1，所以S1010a1d100a1，S55a1d25a1，所以4.16.(2019沈阳模拟)在数列an中，a12，anan12an11(n2，nN*)，数列bn满足bn，则数列an的通项公式为an_，数列bn的前n项和Sn的最小值为_答案解析由题意知，an2(n2，nN*)，bn11bn1，即bnbn11(n2，nN*)又b1，数列bn是以为首项，1为公差的等差数列，bnn，即n，an.又b10，Sn的最小值为S1b1.- 13 -
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