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第2讲集合与常用逻辑用语考情分析集合是高考的必考考点之一，多为选择题，试题比较简单，题型比较固定，为高考送分试题，经常以不等式解集，函数的定义域、值域为背景考查集合的概念及基本运算，有时也会出现一些集合的新定义问题；常用逻辑用语是高考命题的热点，考查题型也比较固定，考向主要分为四个部分：四种命题及其之间的关系，充分、必要条件的判断方法，含有量词的命题的否定与真假判断，含逻辑联结词的命题的真假判断热点题型分析热点1集合的基本概念利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性设a，bR，集合1，ab，a，则ba()A.1B1 C2D2答案C解析由题意知，01，ab，a，又a0，故ab0，得1，则集合1,0，a0，1，b，可得a1，b1，ba2.故选C.两集合相等的条件是集合中的元素分别相同，本题易忽视本身所包含的a0这一条件，而错误的得出：ab0或a0；还需注意集合中元素的互异性这一特性：由ab0，可得a1，b1或a1，b1，显然a1时，左、右两边集合中的两个元素是重复的，故舍弃.热点2集合的基本运算先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性、代表的意义，再根据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，集合运算中的常用方法：(1)若给定的集合是无限、连续数集，不等式的解集，常借助数轴求解；(2)若给定的集合是点集，常借助函数的图象或方程的曲线求解；(3)若给定的集合是抽象集合或是用列举法表示的集合，用Venn图求解1.已知集合My|yx21，xR，Nx|y，则MN()A.x|1x3Bx|1x3C.x|1x3Dx|1x4答案C解析My|yx21，xRy|y1，Nx|yx|9x20x|3x3，在数轴上表示出集合M，N，如图所示，则MN为图中阴影部分，所以MNx|1x3故选C.2.(2019全国卷)已知集合Mx|4x2，Nx|x2x60，则MN()A.x|4x3Bx|4x2C.x|2x2Dx|2x3答案C解析由x2x60，得(x3)(x2)0，解得2x3，即Nx|2x3，MNx|2xb”，则“ac2bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有()A.0个B1个 C2个D4个答案C解析若c0，则原命题不成立，由等价命题同真假知其逆否命题也为假；逆命题：设a，b，cR，若“ac2bc2”，则“ab”由ac2bc2知c20，由不等式的基本性质得ab，所以逆命题为真，由等价命题同真假知否命题也为真，所以真命题共有2个故选C.写一个命题的其他三种命题形式时，若命题有大前提，需保留大前提不变，只改变条件和结论判断命题真假时，要注意原命题与逆否命题同真假，故四个命题中真、假命题必有偶数个本题中“设a，b，cR”是大前提，在原命题的判断中易忽略c0的特殊情况而得出真命题，从而错选D.热点5充分、必要条件的判断判断充分、必要条件的三种方法：(1)利用定义判断(2)利用集合间的包含关系判断 1(2017北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn0”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案A解析若0，使mn，即两向量反向，夹角是，那么mn|m|n|cos|m|n|0，反过来，若mn0，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得mn，所以是充分不必要条件，故选A.答案9，)1第1题误区有两个方面：由“存在负数，使得mn”不能得出向量反向，由“mn0”，不能得出；由向量m与n反向能得出mn0，而认为mn9.热点6简单的逻辑联结词、全称命题与特称命题1含有逻辑联结词的命题的真假判断步骤 2全(特)称命题的否定及真假的判断方法(1)含有全称量词的全称命题的否定是将全称量词改为存在量词，并把结论否定；含有存在量词的特称命题的否定是将存在量词改为全称量词，并把结论否定(2)有些全称(或特称)命题省略了全称(或存在)量词，否定时要先理解其含义，再进行否定1下列命题中的假命题是()AxR,2x10BxN*，(x1)20Cx0R，lg x01Dx0R，tanx02答案B解析当xN*时，x1N，可得(x1)20，当且仅当x1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B. Ax1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)0Bx1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)0Cx1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)0Dx1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)0，则RA()A.x|1x2Bx|1x2C.x|x2Dx|x1x|x2答案B解析解不等式x2x20得x2，所以Ax|x2，所以可以求得RAx|1x2，故选B.2.(2017全国卷)设集合A1,2,4，Bx|x24xm0若AB1，则B()A.1，3B1,0 C1,3D1,5答案C解析AB1，1B.14m0，即m3.Bx|x24x301,3故选C.3.(2017天津高考)设R，则“”是“sin”的()A.充分而不必要条件B必要而不充分条件C.充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析，即0.显然0时，sin成立但sin时，由周期函数的性质知0不一定成立故0是sin的充分而不必要条件故选A.4.(2017全国卷)设有下面四个命题：p1：若复数z满足R，则zR；p2：若复数z满足z2R，则zR；p3：若复数z1，z2满足z1z2R，则z12；p4：若复数zR，则R.其中的真命题为()A.p1，p3Bp1，p4 Cp2，p3Dp2，p4答案B解析设zabi(a，bR)，z1a1b1i(a1，b1R)，z2a2b2i(a2，b2R)对于p1，若R，即R，则b0zabiaR，所以p1为真命题对于p2，若z2R，即(abi)2a22abib2R，则ab0.当a0，b0时，zabibiR，所以p2为假命题对于p3，若z1z2R，即(a1b1i)(a2b2i)(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)iR，则a1b2a2b10.而z12，即a1b1ia2b2ia1a2，b1b2.因为a1b2a2b1a2，b1b2，所以p3为假命题对于p4，若zR，即abiR，则b0abiaR，所以p4为真命题故选B.5.(2019北京高考)设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|”的()A.充分而不必要条件B必要而不充分条件C.充分必要条件D既不充分也不必要条件答案C解析因为点A，B，C不共线，由向量加法的三角形法则，可知，所以|等价于|，因模为正，故不等号两边平方得222|cos222|cos(为与的夹角)，整理得4|cos0，故cos0，即为锐角又以上推理过程可逆，所以“与的夹角为锐角”是“|”的充分必要条件故选C.专题作业一、选择题1.(2018天津高考)设全集为R，集合Ax|0x2，Bx|x1，则A(RB)()A.x|0x1Bx|0x1C.x|1x2Dx|0x2答案B解析由题意可得，RBx|x1，结合交集的定义可得，A(RB)x|0x1故选B.2.(2019焦作模拟)命题p：cos，命题q：tan1，则p是q的()A.充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D既不充分也不必要条件答案D解析由cos，得2k，kZ，则tan1，故pq，p是q的不充分条件；由tan1，得k，kZ，则cos，故qp，p是q的不必要条件；所以p是q的既不充分也不必要条件故选D.3.(2019海南联考)已知集合Ax|3x2x20，Bx|log2(2x1)0，则AB等于()答案D解析由题意得A，B，AB，故选D.4.(2019郑州质测)下列命题是真命题的是()A.R，函数f(x)sin(2x)都不是偶函数B.，R，使cos()coscosC.向量a(2,1)，b(1,0)，则a在b方向上的投影为2D.“|x|1”是“x1”的既不充分又不必要条件答案B解析当k，kZ时，函数f(x)sin(2x)是偶函数，所以A是假命题；若，则cos()coscos，所以B是真命题；|a|cosa，b2，即a在b方向上的投影为2，所以C是假命题；“|x|11x1”是“x1”的充分不必要条件，所以D是假命题，故选B.5.(2018天津高考)设xR，则“”是“x31”的()A.充分而不必要条件B必要而不充分条件C.充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析绝对值不等式x0x1，由x31x1.据此可知是x31的充分而不必要条件故选A.6.(2018浙江高考)已知平面，直线m，n满足m，n，则“mn”是“m”的()A.充分不必要条件B必要不充分条件C.充分必要条件D既不充分也不必要条件答案A解析因为平面外一条直线与平面内一条直线平行，可得线面平行，所以若“mn”，则“m”；当“m”时，m不一定与n平行，所以“mn”是“m”的充分不必要条件故选A.7.已知p：xk，q：(x1)(2x)0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是()A.2，)B(2，)C.1，) D(，1答案B解析由q：(x1)(2x)0，得x2，又p是q的充分不必要条件，所以k2，即实数k的取值范围是(2，)，故选B.8.命题“x1,2)，x2a0”成立的一个充分不必要条件可以是()A.a1Ba1 Ca4Da4答案D解析命题成立的充要条件是x1,2)，ax2恒成立，即a4.命题成立的一个充分不必要条件可以是a4.故选D.9.下列命题中，真命题是()A.x0R，ex00B.xR,2xx2C.ab0的充要条件是1D.“a1，b1”是“ab1”的充分条件答案D解析因为yex00，x0R恒成立，所以A不正确；因为当x5时，251，b1时，显然ab1，故D正确.10.已知命题p：“x0,1，aex”，命题q：“x0R，x4x0a0”若命题p和q都成立，则实数a的取值范围是()A.(4，)B1,4C.e,4D(，1)答案C解析对于p成立，a(ex)max，ae.对于q成立，知x4x0a0有解，则164a0，解得a4.综上可知ea4.故选C.11.已知集合A(x，y)|x2y21，x，yZ，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合AB(x1x2，y1y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B，则AB中元素的个数为()A.77B49 C45D30答案C解析当x10时，y11,0,1，而x2，y22，1,0,1,2，此时x1x22，1,0,1,2，y1y23，2，1,0,1,2,3，则AB中元素的个数为5735.当x11时，y10，而x2，y22，1,0,1,2，此时x1x23，2，1,0,1,2,3，y1y22，1,0,1,2由于当x1x22，1,0,1,2，y1y22，1，0,1,2时，AB中的元素与x10时有重复的元素，此时不重复的元素个数为2510，所以AB中元素的个数为351045.故选C.12.给出下列四个命题：“若x0为yf(x)的极值点，则f(x0)0”的逆命题为真命题；“平面向量a，b的夹角是钝角”的充分不必要条件是“ab0”；命题“xR，x2x10”的否定是“xR，x2x10”其中不正确命题的编号是()A.BC.D答案D解析对于，“若x0为yf(x)的极值点，则f(x0)0”的逆命题为“若f(x0)0，则x0为yf(x)的极值点”，不正确，如f(x)x3，f(x)3x2，由f(x0)0，可得x00，但x00不是极值点，故错；对于，“平面向量a，b的夹角是钝角”等价于“ab0，且ab不共线”，则“平面向量a，b的夹角是钝角”的必要不充分条件是“ab0”，故错；对于，若命题p：0，则：0或x1，故错；对于，命题“xR，x2x10”的否定是“xR，x2x10”，故正确故选D.二、填空题13.已知全集UR，集合A，B满足Ax|2x7，Bx|m1x2m1且B.若(UA)B，则m的取值范围是_答案(2,4解析UAx|x7，B，m12；(UA)B，BA，m12 且2m17，得m4且m3，m(2,4.14.若“x，tanxm”是真命题，则实数m的最小值为_答案1解析若“x，tanxm”是真命题，则mtan1，于是实数m的最小值为1.15.(2019山东济南一中月考)已知不等式|xm|1成立的充分不必要条件是x，则m的取值范围是_答案解析解不等式|xm|1，得m1xm1.由题意可得(m1，m1)，故且等号不同时成立，解得m.16.已知集合A，Bx|xm22，p：xA，q：xB，p是q的充分条件，则实数m的取值范围是_答案解析由yx2x12，0x2，得y2，A.xm22，即x2m2，又由题意知AB，2m2，m2.m或m.- 14 -
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