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仿真模拟卷四本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分共150分，考试时间120分钟第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合Ax|x1，Bx|2x30，则AB()A0，)B1，)C.D答案B解析因为Bx|2x30，Ax|x1，所以AB1，)2已知复数z满足(1i)z2i(i为虚数单位)，则()A1iB1iC1iD1i答案A解析由(1i)z2i，得z1i，1i.3设a，b是空间两条直线，则“a，b不平行”是“a，b是异面直线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析由a，b是异面直线a，b不平行反之，若直线a，b不平行，也可能相交，不一定是异面直线所以“a，b不平行”是“a，b是异面直线”的必要不充分条件4在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m1lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k1,2)已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A1010.1B10.1Clg 10.1D1010.1答案A解析两颗星的星等与亮度满足m2m1lg ，令m21.45，m126.7，则lg (m2m1)(1.4526.7)10.1，从而1010.1.5执行如图所示的程序框图，若输出结果为1，则可输入的实数x的值的个数为()A1B2C3D4答案B解析根据题意，该框图的含义是：当x2时，得到函数yx21；当x2时，得到函数ylog2x，因此，若输出的结果为1时，若x2，得到x211，解得x，若x2，得到log2x1，无解，因此，可输入的实数x的值可能为，共有2个6把函数ysin1图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，那么所得图象的一条对称轴方程为()AxBxCxDx答案D解析根据题中变换，所得图象对应的函数解析式为ysin1，令2xk(kZ)，则x(kZ)，取k0，得x，故选D.7在矩形ABCD中，AB3，AD4，AC与BD相交于点O，过点A作AEBD，垂足为E，则()A.BC.D答案B解析如图，由AB3，AD4，得BD5，AE.又()，AEBD，0，又|cosEAO|2，.8一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为()A8B8C6D6答案B解析由三视图可知，该几何体是由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，如图所示，其中圆锥的底面半径为1，高为，母线长为2，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，取BC的中点N，连接MN，PN，则该几何体的表面积为S121222228.9若函数yf(x)的大致图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()Af(x)Bf(x)Cf(x)Df(x)答案C解析当x0时，f(x)，而A中的f(x)0，排除A；当x0时，f(x)0，而B中x0时，f(x)0，D中，f(x)0，排除B，D.10已知不等式xyax22y2对于x1,2，y2,3恒成立，则a的取值范围是()A1，)B1,4)C1，)D1,6答案C解析不等式xyax22y2对于x1,2，y2,3恒成立，等价于a22对于x1,2，y2,3恒成立，令t，则1t3，at2t2在1,3上恒成立，y2t2t22，t1时，ymax1，a1，故a的取值范围是1，)11已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，e为双曲线的离心率，P是双曲线右支上的点，PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，则|OB|等于()AaBbCeaDeb答案A解析如图，延长F2B交PF1于点C，在PCF2中，由题意，得它是一个等腰三角形，|PC|PF2|，B为CF2的中点，在F1CF2中，有|OB|CF1|(|PF1|PC|)(|PF1|PF2|)2aa.12设minm，n表示m，n二者中较小的一个，已知函数f(x)x28x14，g(x)min(x0)若x15，a(a4)，x2(0，)，使得f(x1)g(x2)成立，则a的最大值为()A4B3C2D0答案C解析由题意得g(x)则g(x)maxg(1)2.在同一坐标系作出函数f(x)(5xa)和g(x)(x0)的图象，如图所示由f(x)2，得x6或2，x15，a，x2(0，)，使得f(x1)g(x2)成立，4a2，a的最大值为2.第卷本卷包括必考题和选考题两部分第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知点P(x，y)满足条件则点P到原点O的最大距离为_答案解析画出表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由得由图得，当点P的坐标为(5,3)时，点P到原点的距离最大，且最大值为.14函数f(x)的最小正周期为_，最大值为_答案解析f(x)cos，f(x)的最小正周期为T，最大值为.15已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m,0)，B(m,0)(m0)，若圆上存在点P，使得APB90，则m的取值范围是_答案4,6解析由已知，以AB为直径的圆与圆C有公共点，又AB的中点为原点，则|AB|2m，则|m1|m1，解得4m6，即m的取值范围是4,616如图，在ABC中，sin，点D在线段AC上，且AD2DC，BD，则ABC的面积的最大值为_答案3解析由sin，可得cos，则sinABC2sincos.由sin可知，045，则0ABC0，y0，z0)，在ABD中，由余弦定理可得，cosBDA，在CBD中，由余弦定理可得，cosBDC，由BDABDC180，故cosBDAcosBDC，即，整理可得166z2x22y20.在ABC中，由余弦定理可知，x2y22xy(3z)2，则6z2x2y2xy，代入式整理计算可得，x2y2xy16，由基本不等式可得，162xyxy，故xy9，当且仅当x3，y时等号成立，据此可知，ABC面积的最大值为Smax(ABBC)maxsinABC93.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)已知数列an满足：an1，an12(nN*)，数列bn中，bn，且b1，b2，b4成等比数列(1)求证：数列bn是等差数列；(2)若Sn是数列bn的前n项和，求数列的前n项和Tn.解(1)证明：bn1bn1，数列bn是公差为1的等差数列(2)由题意可得bb1b4，即(b11)2b1(b13)，b11，bnn，Sn，2，Tn22.18(本小题满分12分)如图，在正三棱柱A1B1C1ABC中，ABAA1，E，F分别是AC，A1B1的中点(1)证明：EF平面BCC1B1；(2)若AB2，求点A到平面BEF的距离解(1)证明：如图，取AB中点M，连接EM，FM，则MEBC，FMBB1，MEFMM，BCBB1B，平面EFM平面BCC1B1，EF平面EFM，EF平面BCC1B1.(2)连接AF，设点A到平面BEF的距离为h，EF2FM2EM25，EF.又BE，BF，结合余弦定理，可知cosEBF，所以sinEBF，因而SBEFBEBFsinEBF.易知SABESABCABBCsin.VFABEVABEF，2h，解得h，点A到平面BEF的距离为.19(本小题满分12分)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付方式支付金额不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由解(1)由题知，样本中仅使用A的学生有27330(人)，仅使用B的学生有24125(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有1003025540(人)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为1000400.(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2000元”，则P(C)0.04.(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2000元”假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由(2)知，P(E)0.04.答案示例1：可以认为有变化理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变化所以可以认为有变化，答案示例2：无法确定有没有变化理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化20(本小题满分12分)已知A，F分别是椭圆C：1(ab0)的左顶点、右焦点，点P为椭圆C上一动点，当PFx轴时，|AF|2|PF|.(1)求椭圆C的离心率；(2)若椭圆C上存在点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形(点P在第一象限)，求直线AP与OQ的斜率之积；(3)记圆O：x2y2为椭圆C的“关联圆”若b，过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线，切点为M，N，直线MN在x轴和y轴上的截距分别为m，n，求证：为定值解(1)由PFx轴，知xPc，代入椭圆C的方程，得1，解得yP.又|AF|2|PF|，所以ac，所以a2ac2b2，即a22c2ac0，所以2e2e10，由0e0，所以f(x)在(0，)上单调递增，无极值点；当a0时，令f(x)a0得0x，令f(x)a，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以函数f(x)有极大值点，为x，无极小值点(2)由条件可得ln xx2ax0(x0)恒成立，则当x0时，ax恒成立，令h(x)x(x0)，则h(x)，令k(x)1x2ln x(x0)，则当x0时，k(x)2x0；在(1，)上，h(x)0.所以h(x)在(0,1)上为增函数，在(1，)上为减函数，所以h(x)maxh(1)1，所以a1.请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号22(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(其中t为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，直线l的极坐标方程为sin.(1)求曲线C的极坐标方程；(2)求直线l与曲线C的公共点P的极坐标解(1)消去参数t，得曲线C的直角坐标方程x2y24(x2)将xcos，ysin代入x2y24，得2(cos2sin2)4.所以曲线C的极坐标方程为2cos24.(2)将l与C的极坐标方程联立，消去得4sin22cos2.展开得3cos22sincossin22(cos2sin2)因为cos0，所以3tan22tan10.于是方程的解为tan，即.代入sin，得2，所以点P的极坐标为.23(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知x，yR，xy4.(1)要使不等式|a2|a1|恒成立，求实数a的取值范围；(2)求证：x22y2，并指出等号成立的条件解(1)因为x，yR，xy4，所以1.由基本不等式，得 1，当且仅当xy2时取等号要使不等式|a2|a1|恒成立，只需不等式|a2|a1|1成立即可构造函数f(a)|a2|a1|，则等价于解不等式f(a)1.因为f(a)所以解不等式f(a)1，得a0.所以实数a的取值范围为(，0(2)证明：因为x，yR，xy4，所以y4x(0x4)，于是x22y2x22(4x)23x216x3232，当x，y时等号成立- 15 -
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