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第2章 电磁场的基本规律2.1 基本内容概述本章以大学物理（电磁学）为基础，介绍电磁场的基本物理量和基本规律，主要内容包括：电荷与电荷分布、电流与电流密度、电荷守恒定律；真空中的静电场方程；真空中静磁场方程；媒质的极化和磁化；电磁感应定律、位移电流；麦克斯韦方程组、电磁场的边界条件。2.1.1 电荷守恒定律1. 电荷与电荷分布在电磁理论中，根据电荷分布的具体情况，电荷源模型分为体电荷、面电荷、线电荷和点电荷，分别用电荷体密度、电荷面密度和电荷线密度来描述电荷在空间体积、曲面和曲线中的分布。 (2.1) (2.2) (2.3) “点电荷”是电荷分布的一种极限情况。当电荷q位于坐标原点时，其体密度应为可用函数表示为 (2.4) 2. 电流与电流密度在电磁理论中，电流源模型分为体电流、面电流和线电流，分别用电流密度和面电流密度来描述电流在截面上和厚度趋于零的薄层上的分布。 (2.5) (2.6) 3.电荷守恒定律积分形式 (2.7) 微分形式 (2.8) 2.1.2 真空中的静电场方程1. 库仑定律真空中，位于处的点电荷对位于处的点电荷的作用力为 (2.9) 2.电场强度（1）电场强度的定义 (2.10) （2）已知电荷分布求解电场强度 点电荷 （2.11） 体密度分布电荷 （2.12） 面密度分布电荷 （2.13） 线密度分布电荷 （2.14）3.静电场方程 积分形式 ： （2.15） （2.16）微分形式： （2.17） （2.18）2.1.3 真空中的磁场方程1.安培力定律真空中，线电流回路对回路的磁场力为 （2.19）2.磁感应强度已知电流分布求解磁感应强度线电流 （2.20）面电流 （2.21）体电流 （2.22）3.静磁场方程 积分形式： （2.23） （2.24）微分形式： （2.25） （2.26）2.1.4 电磁感应定律积分形式： （2.27）微分形式： （2.28）2.1.5 位移电流密度 （2.29）引入位移电流的概念后，安培环路定律修正为 （2.30）2.1.6 麦克斯韦方程组1.积分形式 （2.31a） （2.31b） （2.31c） （2.31d）2.微分形式 （2.32a） （2.32b） （2.32c） （2.32d）3.媒质的电磁特性方程对于线性和各向同性媒质，场量之间的关系为 （2.33） （2.34） （2.35） 2.1.7 电磁场的边界条件1.边界条件的一般形式 （2.36a） （2.36b） （2.36c） （2.36d）式中的为媒质分界面法线方向单位矢量，选定为离开分界面指向媒质1。2.两种理想介质分界面的边界条件 （2.37a） （2.37b） （2.37c） （2.37d）3.理想导体的边界条件（设定媒质2为理想导体） （2.38a） （2.38b） （2.38c） （2.38d）2.2 教学基本要求及重点、难点讨论2.2.1 教学基本要求理解电荷及其分布、电流及其分布以及电流连续性方程。理解电场和磁场的概念，掌握电场强度和磁感应强度的积分公式，会计算一些简单源分布（电荷、电流密度）产生的场。掌握电场基本方程，了解电介质的极化现象及极化电荷分布。掌握静磁场基本方程，理解磁介质的磁化现象及磁化电流分布。掌握电磁感应定律及位移电流的概念，牢固掌握麦克斯韦方程组并深刻理解其物理意义，掌握电磁场的边界条件。2.2.2 重点、难点讨论1. 场源电荷和电流（1）电荷是物质的基本属性之一。迄今为止，我们检测到的最小电荷量是电子的电荷电量，其值为任何带电粒子所带的电荷电量则是以单个电子电荷的正或负整数倍的形式存在。在微观意义上，电荷是以离散的方式存在（或不存在）于某一点的。但当我们研究大量聚集的电荷的电磁效应，即在建立宏观的电磁理论时，发现采用平滑平均密度函数概念，用电荷密度分布的方式来描述带电体的电荷会收到很好的效果。定义电荷体密度作为一个源量式中的是体积元中的电量。应小到足以表示的精确变化，但又要大到足以包含大量的离散电荷。在另一些情况下，电量可能存在于面积元或线元上，此时分别定义电荷面密度和电荷线密度一般情况下，电荷密度在各点是不相同的。因此电荷密度、和都是空间坐标的点函数。除此之外，电磁场还有“点电荷”这一种特殊分布。当带电体本身的几何线度比起它到其它带电体的距离小得多时，带电体的形状以及电荷在其中的分布已无关紧要。这样，就可把带电体抽象为一个几何点，称为点电荷q 。利用函数，可将位于处的点电荷q的体密度表示为。（2）电流是电荷在电场力作用下定向运动形成的。电流的定义为电流i是一个积分量。在形状复杂的导体中，不同部位的电流的大小和方向都不一样。为了描述导体内各点电流的差异，引入电流密度矢量J，它表示导体中某点P处流过垂直于电流流动方向的单位面积的电流总量，其方向为该点的电流流动方向。表示为J是一个矢量点函数。对于良导体，高频时变电流是局限在导体表面层的，它并不流过整个导体内部。此时就有必要引入面电流密度，它是流过导体表面垂直于电流流动方向的单位宽度的电流。表示为是一个矢量点函数。（3）电荷守恒定律是物理学的一个基本定律，它表明电荷是守恒的，也就是说电荷既不能被创造，也不能被消灭。电荷可以从一处运动到另一处，在电磁场影响下也可以重新分布。但在一个封闭系统中的正、负电荷的代数和是保持不变的。在任何时刻和任何条件下都必须满足电荷守恒定律，它的数学表示式是电流连续性方程。例如，电路理论中的基尔霍夫电流定律，它表示流出一个节点的电流之和等于所有流入该节点的电流之和，这是电流连续性方程的体现。有关电磁问题任何公式或解答，若不满足电荷守恒定律，它必定是错误的。2. 库仑定律库仑定律是静电场的基本实验定律，它是以引入“点电荷”模型为基础，是在无限大的均匀、线性和各向同性电介质中总结出的实验定律。静止点电荷之间的相互作用力称为静电力。库仑定律表明，两个点电荷之间静电力的大小与两个点电荷的电量成正比，与电荷之间距离的平方成反比，方向在两个电荷的连线上。静电力符合叠加原理。3. 电场强度电场强度是表征电场特性的基本场矢量。它是通过试验电荷引入电场中某一固定点时受到的电场力F来定义的，定义为该固定点处的电场强度。这个试验电荷的电量必须足够小，以至将其引入电场后，在要求的实验精度范围内不会扰动原有的电场；试验电荷的几何线度也必须足够小，以至将其置于电场中某一点时，其位置才有确定的意义。根据库仑定律，F的大小与电量成正比，因此比值与的大小无关；根据静电力的叠加原理，比值只应由产生电场的所有电荷的电量大小和空间分布来决定。因此，比值可以用来定量描述电场的性质。电场强度E是一个矢量点函数，在场中不同的点，E的大小和方向是不同的。4. 安培力定律安培力定律是恒定磁场的基本实验定律，也是在无限大的均匀磁介质中总结出的实验定律。库仑定律表示两个静止点电荷之间的相互作用力，我们也希望能用实验的方法得到两个电流元之间的相互作用力。但是通过恒定电流的导体必须是闭合的，通过实验总结出的安培力定律表示的是两个闭合回路间的相互作用力将被积函数看作是电流元对电流元的作用力。但应该注意，这个作用力不满足牛顿第三定律，即。这是因为一般不是沿着连接电流元的直线路，而是由确定。然而，两个恒定电流回路间的相互作用力则是满足牛顿第三定律的，即。5. 磁感应强度磁感应强度是表征磁场特性的基本场矢量。它是通过安培力定律来定义的式中就称为电流产生的磁感应强度，也称为磁通量密度。同样式中磁感应强度也可以通过运动电荷受到的磁场力来定义。实验表明，电荷q以速度v在磁场B中运动时，它受到的力为这是洛仑兹力。此式表明，某点磁感应强度B的大小等于单位试验电荷以单位速率在该点运动时受到的最大磁力，即；某点磁感应强度的方向，垂直于正电荷在该点受到的最大磁力的方向与电荷运动方向v组成的平面，并满足右手螺旋关系，即。磁感应强度是一个矢量点函数。6. 电磁感应定律法拉第电磁感应定律是在特定的导体回路中通过实验总结出来的。实验结果表明，导体回路中的感应电动势与穿过回路的磁通量的变化率成正比。再结合楞次定律，电磁感应定律可叙述为：闭合回路中的感应电动势与穿过回路磁通量的变化率的负值成正比，表示为这里是假定电动势的参考方向与磁通的方向符合右手螺旋关系。因此，当磁通量随时间增加时（即），表明感应电动势的实际方向与假定的参考方向相反。当磁通量随时间减少时（即），表明的实际方向与参考方向相同。导体回路中的感应电流的方向与感应电动势的方向相同。因此，导体回路中的感应电流产生的磁通总是要阻止原磁通的变化，其实质是电磁感应现象也必须遵从电磁能量守恒定律。导体回路中产生感应电流意味着导体中存在着推动电荷定向运动的电场，因此电磁感应定律也可表示为事实上，感应电动势的存在与否并不依赖于导体回路。麦克斯韦将法拉第的这一实验结果推广到场域空间任一假想回路，提出感应电场是有旋电场的假说，将它总结归纳为麦克斯韦第二方程，数学表示式为电磁感应定律的重要意义在于它揭示了电与磁相互联系的一个重要方面，即变化的磁场要产生电场。7. 位移电流位移电流是麦克斯韦提出的另一个基本假设。麦克斯韦认为，恒定磁场中的安培环路定律是不完备的，当将它应用于时变场时就出现矛盾。对方程两边取散度，即根据矢量分析，一个矢量场的旋度再取散度恒等于零，故得，这个结果对恒定磁场是完全正确的。但在时变条件下，根据电流连续性方程应得，两者之间存在根本的矛盾。为了解决这个矛盾，麦克斯韦认为在中还必须存在另一个“电流密度”，即假设真正必须具有的形式为式中的就是必须存在的另一个“电流密度”。将代入中，得 即对两边取散度，即因此，麦克斯韦假设称为位移电流密度。是一个矢量点函数，某点的位移电流密度等于该点的电位移矢量随时间的变化率。位移电流表明变化的电场也是一种电流，它可以激发磁场。但要注意它和真实电流（传导电流和运流电流）的区别，位移电流不表示电荷的宏观定向运动，它在介质中也会引起热效应，但此热效应不遵从焦耳定律。在位移电流假设的基础上，把安培环路定律修正为这就是麦克斯韦第一方程。位移电流概念的重要意义在于它揭示了电与磁相互联系的另一个重要方面，即变化的电场要产生磁场。8. 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的数学表示式，是电磁理论的核心和求解电磁场问题的基础，因此是课程教学中的重点。正如前面已提到的，麦克斯韦提出了两个基本假设：一个是有旋电场的假设，从而把法拉第电磁感应定律推广应用到任意假想回路，成为麦克斯韦第二方程，它表征变化磁场要产生电场。另一个是关于位移电流假设，从而推广了电流概念，修正了安培环路定律，成为麦克斯韦第一方程，它表征变化的电场要产生磁场。除了这两个基本假设集中体现了麦克斯韦惊人的智慧外，还有另外两个假设：麦克斯韦认定高斯定理在时变情况下也是成立的，成为麦克斯韦第四方程。在一般情况下，电场。对于库仑场，有，可见这实际上是假设。因为感应电场是有旋场，电力线是闭合线，因此假设它对任意闭合面的通量为零是合理的。麦克斯韦还认定磁通连续性原理在时变情况下也是成立的，成为麦克斯韦第三方程。迄今为止尚未发现“磁荷”，就是这一假设正确性的证明。麦克斯韦对宏观电磁理论的重大贡献就在于正确地提出了一些科学假设，使特定条件下得出的实验定律的推广得以成立。麦克斯韦方程的正确性以为由它所得到的一系列推论与实验结果有很好的一致性而得到证实，尤其是法国物理学家赫兹关于电磁波的发现，充分证实了麦克斯韦电磁理论的正确性。9. 电磁场的边界条件在求解电磁场问题中，边界条件起定解的作用。亥姆霍兹定理指出，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件惟一地确定。边界条件实际上是电磁理论的基本方程在不同媒质分界面上的一种表现形式，它是根据积分形式的电磁场方程导出的。2.3 习题解答2.1 已知半径r=a的导体球面上分布着面电荷密度为的电荷，式中的为常数。试计算球面上的总电荷量。解 球面上的总电荷量等于面电荷密度沿r=a的球面上积分，即2.2 已知半径为a、长为L的圆柱体内分布着轴对称的电荷 ，体电荷密度为，式中的为常数，试求圆柱体内的总电荷量。解 圆柱体内的总电荷量等于体电荷密度对半径为a、长度为L的圆柱体的体积分，即2.3 电荷q均匀分布在半径为a的导体球面上，当导体球以角速度绕通过球心的z轴旋转时，试计算导体球面上的面电流密度。解 导体球上的面电荷密度为球面上任一点的位置矢量为，当导体球以角速度绕通过球心的z轴旋转时，该点的线速度为则得导体球面上的面电流密度为2.4 宽度为5cm的无限薄导电平面置于z=0平面内，若有10A电流从原点朝向点P(2cm,3cm,0)流动，如题2.4图所示。试写出面电流密度的表示式。xyzOP(2,3,0)5cm题2.4图解 面电流流动方向的单位矢量为面电流密度的大小为故得面电流密度矢量表示式为2.5 一个半径为a的球形体积内均匀分布着总电荷量为q的电荷 ，当球体以均匀角速度绕一条直径旋转时，试计算球内的电流密度。解 球体内的电荷体密度为设以球心为坐标原点，旋转轴为z轴，则球体内任一点P的位置矢量为，故该点的线速度为因此，所求的电流密度矢量为2.6 平行板真空二极管两极板间的电荷体密度为，阴极板位于x=0处，阳极板位于x=d处，极间电压为；如果，横截面，求：（1）x=0至x=d区域内的总电荷量；（2）x=d/2至x=d区域的总电荷量。解 （1） （2） 2.7 在真空中，点电荷位于点A(25,-30,15)cm；点电荷位于点B(-10,8,12)cm。求：（1）坐标原点处的电场强度；（2）点P(15,20,50)cm处的电场强度。解 （1）源点的位置矢量及其大小分别为而场点O的位置矢量，故坐标原点处的电场强度为 （2）场点P的位置矢量为故则2.8 点电荷位位于点处，另一个点电荷位于处，试问：空间是否存在E=0的点？解 在空间任意点处产生的电场为电荷在点处产生的电场为故在点处的电场则为。令，则有由此得 当或时，将式或式代入式，得。所以，当或时，无解； 当且时，由式，有解得xyzP(x,y,0)(6,8,0)68O题2.9图但不合题意，故仅在处电场强度。2.9 无限长线电荷通过点（6，8，0）且平行于z轴，线电荷密度为；试求点P(x,y,z)处的电场强度E。解 线电荷沿z方向为无限长，故电场分布与z无关。设点P位于z=0平面上，如题2.9图所示，线电荷与点P的距离矢量为根据高斯定律得点P处的电场强度为2.10 半径为a的一个半圆环上均匀分布着线电荷，如题2.10图所示。试求垂直于半圆环所在平面的轴线上z=a处的电场强度E(0,0,a)。 题 2.10图解 如题2.10图所示，场点的位置矢量为，电荷元的位置矢量故电荷元在轴线上处的电场强度为 在半圆环上对上式积分，即得2.11 三根长度均为L、线电荷密度分别为和的线电荷构成一个等边三角形，设，试求三角形中心的电场强度。解 根据题意建立题2.11图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为题2.11图直接利用有限长直线电荷的电场强度公式得故等边三角形中心处的电场强度为P(0,0,z0)rdsEyzx题2.12图2.12 一个很薄的无限大导体带电平面，其上的面电荷密度为。试证明：垂直于平面的z轴上处的电场强度中，有一半是由平面上半径为的圆内的电荷产生的。解 在导体平面上取面积元，其上所带的电荷电荷元处产生的电场强度为则整个导电带电面在轴上处的电场强度为当时，而时2.13 自由空间有三个无限大的均匀带电平面：位于点(0,0,-4)处的平面上，位于点(0,0,1)处的平面上，位于点(0,0,4)处的平面上。试求以下各点的E：（1）；（2）；（3）。解 无限大的均匀面电荷产生的电场为均匀场，利用前面的结果得（1）（2）（3）2.14 在下列条件下，对给定点求的值：（1）求点处的值。（2）求点处的值。（3）求点处的值。解 （1）（2）（3）2.15 半径为a的球形体积内充满密度为的体电荷。若已知球形体积内外的电位移分布为题2.16图dIzaobd式中A为常数，试求电荷密度。解 由，得故在区域，有在区域2.16 一个半径为a的导体球带电荷量为q ,当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时（如题2.16图所示），试求球心处的磁感应强度B解 导体球面上的面电荷密度为，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量点处的电流面密度为将球面划分为无数个宽度为的细圆环，则球面上任一个宽度为细圆环的电流为该细圆环的半径为，细圆环平面到球心的距离，利用电流圆环的轴线上任一点的磁场公式，可得到该细圆环电流在球心处产生的磁场为故整个球面电流在球心处产生的磁场为 yxzoIIP(0.4,0.3,0)题2.17图2.17 假设电流I=8A从无限远处沿x 轴流向原点，再离开原点沿y轴流向无限远，如题2.17图所示。试求xy平面上一点P(0.4,0.3,0)处的B。解 直接利用有限长直线电流的磁场计算公式对于点单位矢量即为。因此，计算x轴上的电流在点P产生的磁场时，故同样，计算y轴上的电流在点P产生的磁场时，故题2.18图-aaozyxP(x,y)I则2.18 一条扁平的直导体带，宽度为2a，中心线与z轴重合，通过的电流为I。试证明在第一象限内任一点P的磁感应强度为式中的、和如图2.18图所示。解 将导体带划分为无数个宽度为的细条带，每一细条带的电流。根据安培环路定理，可得到位于处的细条带的电流在点处的磁场为 题 2.18图（附）故式中的如题2.18图（附）所示，则得2.19 两平行无限长直线电流和，间距为d；试求每根导线单位长度受到的安培力。解 无限长直线电流产生的磁场为此磁场对直线电流每单位长度受到的安培力为式中是由电流指向电流的单位矢量。同样，可求出直线电流产生的磁场对电流每单位长度受到的安培力为2.20 在半径a=1mm的非磁性材料圆柱形实心导体内，沿z轴方向通过电流I=20A，试求：（1）处的B；（2）处的B；（3）圆柱内单位长度的总磁通。解 （1）圆柱形导体内的电流密度为利用安培环路定律得（2）利用安培环路定律得2.21 下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求出其源量J。 （1） （圆柱坐标系） （2） （3） （4） （球坐标系）解 根据静态磁场的基本性质，只有满足的矢量函数才可能是磁场的场矢量，对于磁场矢量，则可由方程求出源分布。（1）在圆柱坐标中 可见矢量不是磁场场矢量。 （2） 在直角坐标系中故矢量是磁场矢量，其源分布为 （3） 故矢量是磁场矢量，其源分布为 （4） 在球坐标系中故矢量是磁场场矢量，其源分布为2.22 通过电流密度为J的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，其横截面如题2.22图所示。试计算各部分的磁感应强度，并证明空腔内的磁场是均匀的。解 将题给的非对称电流分布分解为两个对称电流分布的叠加：一个是电流密度均匀分布在半径为b的圆柱内，另一个是电流密度均匀分布在半径为a的圆柱内。原有的空腔被看作是同时存在和两种电流密度。这样就可以利用安培环路定律分别求出两种对称电流分布的磁场，再进行叠加即可得到解答。由安培环路定律，先求出均匀分布在半径为b的圆柱内的产生的磁场为题2.22图 同样，均匀分布再半径为a的圆柱内的产生的磁场为这里和分别是点和到场点的位置矢量。将和叠加，可得到空间各区域的磁场为 圆柱外： 圆柱内的空腔外： 空腔内： 式中是点和到点的位置矢量。由此可见，空腔内的磁场是均匀的。2.23 在xy平面上沿+x方向有均匀面电流，如题2.23图所示。若将xy平面视为无限大，求空间任一点的H。解 将面流视为很多线电流的组合。由毕奥沙伐尔定律可以判定，沿x方向的线电流不会产生x方向的磁场。而且，沿x方向的一对位置对称的线电流产生的磁场的z分量相抵消。因此，沿x方向的面电流产生的磁场只有分量。xyz题2.23图abcdo由于对称性，面电流的上、下两侧的磁场是等值反向的。取如图示的垂直于xy平面的矩形闭合线abcda，据安培环路定律得因此，在区域，有即而在区域，则有若表示为矢量形式，则为式中的是面电流的外法向单位矢量。2.24 一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场之中，如题2.24图所示。滑片的位置由确定，轨道终端接有电阻；试求感应电流i。B0.2mRyx题2.24图 0.7miabcd解 穿过导体回路abcda的磁通为故得感应电流为2.25 平行双线与一矩形回路共面，如题2.25图所示。设a=0.2m，b=c=d=0.1m，求回路中的感应电动势。abcdii题2.25图解 由安培环路定律求出平行双线中的电流在矩形回路平面任一点产生的磁感应强度分别为它们的方向均为垂直于纸面向内。回路中的感应电动势为式中则2.26 求下列情况下的位移电流密度的大小：（1）某移动天线发射的电磁波的磁场强度；（2）一大功率变压器在空气中产生的磁感应强度；（3）一大功率电容器在填充的油中产生的电场强度设油的相对介电常数；（4）工频下的金属导体中，设金属导体的。解 （1）由得故（2）由得故（3） 故（4） 故2.27 同轴线的内导体半径a=1mm，外导体的内半径b=4mm，内外导体间为空气，如题2.27图所示。假设内、外导体间的电场强度为题2.27图zba（1）求与E相伴的H；（2）确定k的值；（3）求内导体表面的电流密度；（4）求沿轴线区域内的位移电流。解 （1）维系电场E和磁场H的是麦克斯韦方程。将在圆柱坐标系中展开，得将上式对时间t积分，得（2）为确定k值，将上述H代入，得将上式对时间t积分，得将其与题给的比较，得故因此，同轴线内、外导体之间的电场和磁场表示式分别为（3）将内导体视为理想导体，利用理想导体的边界条件即可求出内导体表面的电流密度位移电流密度为在区域中的位移电流则为2.28 试将微分形式的麦克斯韦方程组写成8个标量方程：（1）在直角坐标系中；（2）在圆柱坐标系中；（3）在球坐标系中。解 （1）在直角坐标系中（2）在圆柱坐标系中（体电荷密度）（4）在球坐标系中2.29 由置于和的导体圆柱面和z=0、z=20cm的导体平面围成的圆柱形空间内充满的媒质。若设定媒质中的磁场强度为，利用麦克斯韦方程求：（1）；（2）E。解 （1）将题设的H代入方程，得对时间t积分，得将代入方程，得对时间t积分，得将上式与题设的对比，得故（2）将代入中，得2.30 媒质1的电参数为；媒质2的电参数为、。两种媒质分界面上的法向单位矢量为，由媒质2指向媒质1。若已知媒质1内邻近分界面上的点P处，求P点处下列量的大小：；。解 （1）在分界面法线方向的分量为（2） （3）利用磁场边界条件，得（4）利用磁场边界条件，得2.31 媒质1的电参数为，媒质2可视为理想导体。设y=0为理想导体表面，y0的区域（媒质1）内的电场强度试计算t=6ns时：（1）点P(2,0,0.3)处的面电荷密度；（2）点P处的H；（3）点P处的面电流密度。解 （1）（2）由得对时间t积分，得（3）227
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