2019-2020学年新教材高中数学 课时素养评价十一 余弦定理 新人教A版必修2

课时素养评价 十一余 弦 定 理(25分钟50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2019嘉兴高一检测)在ABC中，如果BC=6，AB=4，cos B=，则AC=()A.6B.2C.3D.4【解析】选A.由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=42+62-246=36，所以AC=6.2.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=，c=2，cos A=，则b=()A.B.C.2D.3【解析】选D.由余弦定理，得5=b2+22-2b2，解得b=3.3.在ABC中，若abc，且c2a2+b2，则ABC为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不存在【解析】选B.因为c2a2+b2，所以C为锐角.因为ab0，则ABC()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形【解析】选C.由题意知0，即cos C0，所以ABC为钝角三角形.4.若a，b，c为ABC的三边，B=120，则a2+c2+ac-b2的值()A.大于0B.小于0C.等于0D.不确定【解析】选C.由题意知，cos B=cos 120=-，所以a2+c2-b2=-ac，所以a2+c2+ac-b2=-ac+ac=0.二、填空题(每小题4分，共8分)5.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=，b=2，A=60，则c=_.【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，所以7=4+c2-2c，解得c=3(负值舍去)答案：36.ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2ccos B=2a+b，则C=_.【解析】因为2ccos B=2a+b，所以由余弦定理得2c=2a+b，整理得a2+b2-c2=-ab，所以cos C=-，又因为0C180，所以C=120.答案：120三、解答题(共26分)7.(12分)在ABC中，A+C=2B，a+c=8，ac=15，求b.【解析】在ABC中，因为A+C=2B，A+B+C=180，所以B=60.由余弦定理，得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B=82-215-215=19.所以b=.8.(14分)在ABC中，BC=a，AC=b，且a，b是方程x2-2x+2=0的两根，2cos(A+B)=1，(1)求角C的度数.(2)求AB的长.【解析】(1)因为cos C=cos-(A+B)=-cos(A+B)=-，且C(0，)，所以C=.(2)因为a，b是方程x2-2x+2=0的两根，所以所以AB2=b2+a2-2abcos 120=(a+b)2-ab=10，所以AB=.(15分钟30分)1.(4分)(2018全国卷)在ABC中，cos =，BC=1，AC=5，则AB=()A.4B.C.D.2【解析】选A.cos C=2cos2-1=2-1=-，在ABC中，由余弦定理得AB2=CA2+CB2-2CACBcos C，所以AB2=1+25-215=32，所以AB=4.2.(4分)ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p=(a+c，b)，q=(b-a，c-a)，若pq，则C的大小为()A.B.C.D.【解析】选B.因为p=(a+c，b)，q=(b-a，c-a)，pq，所以(a+c)(c-a)-b(b-a)=0，即a2+b2-c2=ab.由余弦定理，得cos C=，因为0C0)，结合已知条件，由余弦定理得142=(8k)2+(5k)2-28k5kcos ，解得k=2，所以该三角形三边长分别为14，16，10，长度为16的边上的高为10sin，所以此三角形的面积为1610sin=40.答案：404.(4分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2+c2-b2)tan B=ac，则角B的度数为_.【解析】由余弦定理，得2accos Btan B=ac，整理，得sin B=，所以B=60或120.答案：60或1205.(14分)(2019北京高考)在ABC中，a=3，b-c=2，cos B=-.(1)求b，c的值.(2)求sin(B+C)的值.【解析】(1)由已知及余弦定理，cos B=-，即9-2b+c=0，又b-c=2，所以b=7，c=5.(2)由(1)及余弦定理，cos C=，又sin2C+cos2C=1，0C3，则x对角的余弦值x，解得x5.(2)若x3，则3对角的余弦值3，解得1x0.设最大边(c+x)所对的角为，则cos =0，所以为锐角，故三角形的形状为锐角三角形.2.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2-(b-c)2=(2-)bc，sin Asin B=cos2，BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小.(2)求ABC的周长.【解析】(1)由a2-(b-c)2=(2-)bc，得a2-b2-c2=-bc所以cos A=.又0A，所以A=.由sin Asin B=cos2，得sin B=，即sin B=1+cos C，则cos C0，即C为钝角.所以B为锐角，且B+C=，则sin=1+cos C，化简得cos=-1，解得C=，所以B=.(2)由(1)知，a=b，在ACM中，由余弦定理得AM2=b2+-2bcos C=b2+=()2，解得b=2，所以a=2.在ABC中c2=a2+b2-2abcos C=22+22-222cos =12，所以c=2.所以ABC的周长为4+2.- 8 -