2022年《第九节函数与方程》教案

学习必备欢迎下载第九节函数与方程适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长（分钟）60 知识点1.方程的根与函数零点的关系2.函数零点的判断方法3.二分法的概念4.用二分法求函数零点问题5.函数零点个数问题6.函数与方程的综合问题教学目标1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解. 教学重点函数的零点及二分法教学难点函数的零点及二分法名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载教学过程一、课堂导入前面我们复习了函数有关的性质及几种常的函数，也研究过方程有关的问题那么，函数与方程之间有什么联系呢？今天我们就来研究这个话题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载二、复习预习1.函数图像的作法2.函数图像的变换名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载三、知识讲解考点 1 函数的零点(1)定义：对于函数 yf(x)(xD)，把使 f(x)0 成立的实数 x 叫做函数 yf(x)(xD)的零点(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x 轴交点间的关系：方程 f(x)0 有实数根 ? 函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点 ? 函数 yf(x)有零点(3)函数零点的判定 (零点存在性定理 )：如果函数 yf(x)在区间 a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)0)的图象与零点的关系 0 0 0 二次函数 yax2bxc (a0)的图象与 x 轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载考点 3 二分法的定义对于在区间 a，b上连续不断且 f(a) f(b)0，f 12e124 123e1210， 因此函数 f(x)ex4x3 的零点不在区间34，12上；对于 B， 注意到 f 120， f 14e144 143e14241420，因此在区间12，14上函数 f(x)ex4x3 一定存在零点；对于C，注意到 f 140，f(0)20，因此函数 f(x)ex4x3 的零点不在区间14，0 上；对于 D，注意到 f(0)20，f14e144143e1440， 即函数 f(x)在(0， )上单调递增由 f(2)ln 210，知 x0 (2，e)， g(x0)x02.名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【例题 2】【题干】 已知符号函数 sgn(x)1，x0，0，x0，1，x0，即 x1 时，f(x)1ln x，令 f(x)0 得 xe1；当 x10，即 x1 时，f(x)0ln 10；当 x10，即 x1 时，f(x)1ln x，令 f(x)0 得 x1e0)(1)若 yg(x)m 有零点，求 m 的取值范围；(2)确定 m 的取值范围，使得g(x)f(x)0 有两个相异实根名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【解析】 (1)法一： g(x)xe2x2 e22e，等号成立的条件是xe， g(x)的值域是 2e，)因而只需 m2e，则 yg(x)m就有零点法二： 作出 g(x)xe2x(x0)的大致图象如图：可知若使 yg(x)m 有零点，则只需 m2e. (2)若 g(x)f(x)0 有两个相异的实根，即g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点，作出 g(x)xe2x(x0)的大致图象 f(x)x22exm1(xe)2m1e2. 其图象的对称轴为 xe，开口向下，最大值为m1e2. 故当 m1e22e，即 me22e1 时，g(x)与 f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0 有两个相异实根名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载 m 的取值范围是 (e22e1，)名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【例题 4】【题干】(2012 福建高考 )对于实数 a 和 b，定义运算 “*”：a*ba2ab，a b，b2ab，ab.设 f(x)(2x1)*(x1)，且关于 x 的方程 f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则 x1x2x3的取值范围是 _名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【答案】1316，0【解析】 由定义可知， f(x)(2x1)*( x1)2x12 2x1 x1 ，x0，x12 2x1 x1 ，x0，即 f(x)2x2x，x0 ，x2x，x0.作出函数 f(x)的图象，如图所示，关于 x 的方程 f(x)m 恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，即函数 f(x)的图象与直线 ym 有三个不同的交点，则0m0 时， x2xm，即 x2xm0，x2x31，0 x2x3x2x322，即 0 x2x314；当 x0 时，由2x2x14，x0，得 x134，134x10.0 x1314. 0 x1x2x33116.1316x1x2x31，则函数 f(x)的零点为 () A.12，0B2,0 C.12D0 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解析：选 D当 x1时，由 f(x)2x10，解得 x0；当 x1 时，由 f(x)1log2x0，解得 x12，又因为 x1，所以此时方程无解综上函数 f(x)的零点只有 0. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2函数 f(x)exx2 的零点所在的一个区间是() A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解析：选 C因为函数 f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又 f(2)e240，f(1)e130，f(0)10，f(2)e20，所以 f(0) f(1)0，故函数的零点所在的一个区间是(0,1)名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载3已知函数 f(x)15xlog3x，若 x0是函数 yf(x)的零点，且 0 x1x0，则 f(x1)的值() A恒为正值B等于 0 C恒为负值D不大于 0 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解析：选 A注意到函数 f(x)15xlog3x 在(0，) 上是减函数，因此当0 x1f(x0)，又 x0是函数 f(x)的零点，因此 f(x0)0，所以 f(x1)0，即此时 f(x1)的值恒为正值，选A. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【巩固】4定义在 R 上的奇函数 f(x)满足：当 x0 时，f(x)2 012xlog2 012x，则在 R 上，函数 f(x)零点的个数为 _名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解析：函数 f(x)为 R 上的奇函数，因此f(0)0，当 x0 时，f(x)2 012xlog2 012x 在区间 0，12 012内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在 (0，) 内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在( ，0)内有且仅有一解，从而函数在R 上的零点的个数为3. 答案： 3 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载5已知函数 f(x)满足 f(x1)f(x)，且 f(x)是偶函数，当 x0,1时，f(x)x2.若在区间 1,3内，函数 g(x)f(x)kxk 有 4 个零点，则实数 k 的取值范围为 _名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解析：依题意得 f(x2)f(x1)f(x)，即函数 f(x)是以 2 为周期的函数 g(x)f(x)kxk 在区间 1,3内有 4 个零点，即函数yf(x)与 yk(x1)的图象在区间 1,3内有 4 个不同的交点在坐标平面内画出函数yf(x)的图象 (如图所示 )，注意到直线 yk(x1)恒过点 (1,0)，由图象可知，当k 0，14时，直线与曲线 yf(x)在区间 1,3内有 4 个不同的交点，故实数k 的取值范围是0，14. 答案： 0，14名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【拔高】6若函数 F(x)|4xx2|a 有 4 个零点，求实数 a 的取值范围名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解：若 F(x)|4xx2|a 有 4 个零点，即|4xx2|a0 有四个根，即|4xx2|a 有四个根令 g(x)|4xx2|，h(x)a. 则作出 g(x)的图象，由图象可知要使 |4xx2|a 有四个根，则需 g(x)的图象与 h(x)的图象有四个交点，0a4，即 4a0，a 的取值范围为 (4,0)名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 27 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载7设函数 f(x)log2(2x1)，g(x)log2(2x1)，若关于 x 的函数 F(x)g(x)f(x)m在1,2上有零点，求 m 的取值范围名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 28 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解：法一：令 F(x)0，即 g(x)f(x)m0.所以有mg(x)f(x)log2(2x1)log2(2x1)log22x12x1log2122x1. 1 x2 ，32x15. 2522x123，131 22x135.log213log2122x1log235，即 log213 mlog235.m的取值范围是log213，log235. 法二： log2(2x1)mlog2(2x1)log2(2x1)log22m (2x1)2x12m (2x1)2x(12m)2m1,2x2m112m，即 xlog22m112m. 1 x2 ，1log22m112m2. 22m112m4 ，解得132m35，即 log213 mlog235. m的取值范围是log213，log235.名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 29 页，共 30 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载课程小结1对于函数 yf(x)(xD)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫作函数的零点，注意以下几点：(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零(2)函数的零点也就是函数yf(x)的图像与 x 轴的交点的横坐标(3)一般我们只讨论函数的实数零点(4)函数的零点不是点，是方程f(x)0 的根2对函数零点存在的判断中，必须强调：(1)f(x)在a，b上连续；(2)f(a) f(b)0；(3)在(a，b)内存在零点事实上，这是零点存在的一个充分条件，但不必要3二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法其实质是通过不断地“ 取中点 ” 来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值4要熟练掌握二分法的解题步骤，尤其是初始区间的选取和最后精确度的判断名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 30 页，共 30 页 - - - - - - - - -