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一、解答题1长方形中， ， 是中点（图1）将沿折起，使得（图2）在图2中：（1）求证：平面 平面； （2）在线段上是否存点，使得二面角为大小为，说明理由【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）长方形中，连结，因为， 是中点，所以，从而，所以,再根据，可得线面垂直，从而证明平面 平面（2）建立空间直角坐标系，计算平面的法向量，取面的一个法向量是，利用其夹角为，即可得出. （2）因为平面 平面，交线是，所以在面过垂直于的直线必然垂直平面以为坐标原点， 为轴， 为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系 依题意，即，解方程得，或，取，因此在线段上存点，使得二面角为大小为点睛：立体几何问题对于第一问，要注意结合图形，特别是中点，寻求垂直或平行关系，对于第二问关键是建系写点的坐标，利用求得的法向量来求二面角的余弦，注意对角是锐角钝角的分析.2如图所示，在底面为正方形的四棱柱中， .（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）连交于,由条件可得，又由得到 ，从而可得平面由四边形为平行四边形可得，所以平面，因此平面平面（2）由条件可得两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的法向量，根据两向量的夹角的余弦值可求得线面角的正弦值由题意得，故四边形为平行四边形，平面，又平面内， 平面平面 （2）由题意得两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，为等边三角形，又，则， ， 3如图，在直三棱柱中， 、分别为、的中点， ， .（1）求证：平面平面；（2）若直线和平面所成角的正弦值等于，求二面角的平面角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）要证面面垂直，先证线面垂直， 平面，再由面面垂直的判定得到面面垂直；（2）建系得到面的法向量和直线的方向向量，根据公式得到线面角的正弦值。.（2）由（1）可知以点为坐标原点， 为轴正方向， 为轴正方向， 为轴正方向，建立坐标系.设， ， ， ， ， ， ， 直线的方向向量，平面的法向量可知， ， 设平面的法向量设平面的法向量记二面角的平面角为二面角的平面角的正弦值为.4如图,在几何体中，四边形为矩形，四边形为梯形, ,平面与平面垂直，且.（1）求证： 平面；（2）若,且平面与平面所成锐二面角的余弦值为,求的长.【答案】(1)证明见解析；(2)1.试题解析：（1)证明：因为平面与平面垂直且，平面与平面的交线为 所以面， 又面所以， 在矩形中， 又四边形为梯形， 所以与相交，故平面 （2）由（1）知， 垂直， 垂直，又垂直， 平行，所以垂直，如图，以为坐标原点， 分别为轴建立空间坐标系所以平面的法向量为易知，平面的法向量为，因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为，则，即，解得，即5如图，四棱锥，侧面是边长为2的正三角形，且平面平面，底面是的菱形， 为棱上的动点，且.（）求证： ；（）试确定的值，使得二面角的平面角余弦值为.【答案】()证明见解析；() .试题解析：（）取的中点，连结，由题意可得， 均为正三角形，所以， ，又，所以平面，又平面，所以. 因为，所以.（）由（）可知.又平面平面，平面平面， 平面，所以平面.故可得两两垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ，所以 ，由，可得点的坐标为，所以， ，所以当时，二面角的余弦值为.点睛：解决立体几何中探索性问题的基本策略通常假定题中的数学对象存在（或结论成立），然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在6如下图，在空间直角坐标系中，正四面体（各条棱均相等的三棱锥）的顶点分别在轴， 轴， 轴上.（）求证： 平面；（）求二面角的余弦值.【答案】（）见解析（）.试题解析：（）由，易知.设，则， ， ， ,设点的坐标为，则由，可得 ，解得，所以.又平面的一个法向量为，所以，所以平面. 点睛：立体几何中求直线与平面成的角和二面角，有两种方法：第一种是根据“空间角”的定义作出反应这个“空间角”的“平面角”，然后在三角形中求解，这种方法有三个步骤：一作二证三计算；第二种是根据图形建立适当的空间直角坐标系（充分利用图形中的垂直关系），写出各点坐标，求出平面的法向量，直线的方程向量，利用向量的夹角来求“空间角”，这种方法重在计算，解题步骤固定7如图，三棱柱中， 平面， ， .过的平面交于点，交于点.(l)求证： 平面；()求证：四边形为平行四边形；()若是，求二面角的大小【答案】(1)见解析(2) 见解析(3) 【解析】试题分析：（）由线面垂直的性质 可得，由菱形的性质可得从而由线面垂直的判定定理可得平面；（）先证明平面，再根据线面平行的性质可得，根据面面平行的性质可得，从而得四边形为平行四边形；（）在平面内，过作因为 平面，所以，以 为轴建立空间直角坐标系，可知平面的法向量为，根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果. （）因为 ， 平面，所以 平面因为 平面平面，所以 因为 平面平面，平面平面，平面平面，所以 所以 四边形为平行四边形由（）得平面的法向量为 设平面的法向量为， 则 即 令，则， ，所以 所以 由图知 二面角的平面角是锐角，所以 二面角的大小为 【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理、线面平行的性质、面面平行的直线以及利用空间向量求二面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 8在等腰梯形中， ，将梯形沿着翻折至（如图），使得平面与平面垂直（）求证： ；（）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（）见解析（）.试题解析：（）证明，不妨设，过作垂线交于，则， ， 所以，所以，又因为平面与平面垂直，所以平面,所以 （）建立如图坐标系， 9如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PD平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，DAB=60（1）求证：直线AM平面PNC；（2）求二面角DPCN的余弦值【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）在上取一点，使，连接， ，可得， ， 为平行四边形，即，即可得直线平面（2）取中点，可得， ， 相互垂直，以为原点，如图建立空间直角坐标系，易知平面的法向量，求出面的法向量，计算出两向量夹角即可.试题解析：（1）在上取一点，使，连接， ，（2）取中点，底面是菱形， ，即，又平面，又，直线平面，故， ， 相互垂直，以为原点，如图建立空间直角坐标系10如图，在四棱锥中， 为等边三角形，平面平面， ， ， 为的中点.（1）求二面角的正弦值；（2）若平面，求的值.【答案】（1）（2）. 【解析】试题分析：(1)由题意可知， ， ，据此建立空间直角坐标系，计算可得平面的法向量为，且平面的一个法向量为，据此计算可得二面角的正弦值为. (2)结合(1)中的空间直角坐标系有，据此得到关于实数a的方程： ，解方程有： . 则， ， 设平面的法向量为，则 ,即令，则，于是，又平面的一个法向量为，设二面角为，所以， ，所以二面角的正弦值为. 11已知正四棱锥的各条棱长都相等，且点分别是的中点.（1）求证: ；（2）若平面，且，求的值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：(1)由题意易证： . , 所以平面 ，从而证得结果；(2)建立空间直角坐标系，平面的法向量为，因为平面，所以，从而得到的值.试题解析：（1）设,则为底面正方形中心，连接,因为为正四梭锥.所以平面,所以.又,且,所以平面;因为平面,故.因为平面，所以，即.解得,所以.12如图1 ,在ABC中，AB=BC=2, B=90,D为BC边上一点，以边AC为对角线做平行四边形ADCE，沿AC将ACE折起，使得平面ACE 平面ABC,如图2. (1)在图 2中，设M为AC的中点，求证:BM丄AE；(2)在图2中，当DE最小时，求二面角A -DE-C的平面角.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）根据题设条件推出，再由平面平面推出平面，即可得证；（2）分别以射线， 的方向为， 轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出当最小时，点和的坐标，分别求出平面和平面的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角的平面角.（2）如图，分别以射线， 的方向为， 轴的正方向，建立空间直角坐标系设，则， ， ， ， ，平面平面当且仅当时， 最小，此时， 设， 平面，则，即令，可得， ，则有观察可得二面角的平面角13（本题分）如图， 和所在的平面互相垂直，且， （）求证： （）求直线与面所成角的大小的正弦值（）求二面角的大小的余弦值【答案】(1)详见解析(2) （3）【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，即证；（2）求出平面的一个法向量，利用公式即可得到直线与面所成角的大小的正弦值，（3）求出平面的法向量，结合（2），利用公式求出二面角的大小的余弦值试题解析：（）设，作于，连结，以点为原点， ， ， 的方向分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则， ， ， ， ，所以， ，（）解：设平面的法向量，则，即，令，则， ，又二面角为钝角，二面角的余弦值为点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 14如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ABC60，为正三角形，且侧面PAB底面ABCD， 为线段的中点， 在线段上.（I）当是线段的中点时，求证：PB / 平面ACM；（II）求证： ；（III）是否存在点，使二面角的大小为60，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（）见解析；（）见解析；()当时，二面角的大小为60.试题解析：（I）证明：连接BD交AC于H点，连接MH，因为四边形ABCD是菱形，所以点H为BD的中点. 又因为M为PD的中点，所以MH / BP.又因为 BP 平面ACM, 平面ACM.所以 PB / 平面ACM. 则， ， ， 假设棱上存在点，设点坐标为， ，则，所以，所以， ，设平面的法向量为，则，解得点睛：(1)探索性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法. 15如图，四棱柱的底面是菱形， ， ， （）证明：平面平面；（）若，直线上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由【答案】（）见解析；（） 或.【解析】试题分析：（）用几何法证明，先证得平面，再证平面平面.（）由条件可得两两相互垂直，故可建立坐标系，转化为代数运算求解。（）在菱形中，由，可得， 由，可得.在三角形中，由，可得.故得两两相互垂直.以为原点， 方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.则， ， ， ，由，可得， ，设， ，所以.设平面的法向量为，点睛：（1）用向量法解立体几何问题时，在建立坐标系的基础上，关键是如何确定点的坐标，对于不容易确定坐标的点，可通过向量的运算、相等向量等方法去确定点的坐标。（2）由于本题（）中，要求是“直线上是否存在点”，故求出的点应有两个，解题时要注意对题意的理解。16如图所示，三棱柱中，已知侧面.（1）求证： 平面；（2）是棱长上的一点，若二面角的正弦值为，求的长.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（）证明ABBC1，在CBC1中，由余弦定理求解B1C，然后证明BCBC1，利用直线与平面垂直的判定定理证明C1B平面ABC（）通过AB，BC，BC1两两垂直以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系求出相关点的坐标，求出平面AB1E的一个法向量，平面的一个法向量通过向量的数量积，推出的方程，求解即可 由可以知道， ， ，两两垂直，以为原点， ， ，所在直线为， ， 轴建立空间直角坐标系.则， ， ， ， ， ， .令， .设平面的一个法向量为，令，则， ，平面，是平面的一个法向量，两边平方并化简得，所以或.或.点睛：本题考查面面垂直，线面垂直，线线垂直的判定及性质以及二面角的余弦，属于中档题。对于第一问，要注意结合图形，特别是中点，寻求垂直或平行关系，本题利用了余弦定理，求边长，再利用勾股定理得到线线垂直，对于第二问关键是建系写点的坐标，利用求得的法向量来求二面角的余弦，注意对角是锐角钝角的分析.
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