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专题三 数列、推理与证明第1讲等差数列、等比数列自主学习导引真题感悟1(2012浙江)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn，若S23a22，S43a42，则q_.解析利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解解法一S4S2a3a43a22a3a43a42，将a3a2q，a4a2q2代入得，3a22a2qa2q23a2q22，化简得2q2q30，解得q(q1不合题意，舍去)解法二设等比数列an的首项为a1，由S23a22，得a1(1q)3a1q2.由S43a42，得a1(1q)(1q2)3a1q32.由得a1q2(1q)3a1q(q21)q0，q.答案2(2012课标全国卷)已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10A7B5C5D7解析解法一利用等比数列的通项公式求解由题意得或a1a10a1(1q9)7.解法二利用等比数列的性质求解由解得或或a1a10a1(1q9)7.答案D考题分析等差数列与等比数列的基本性质与运算是各地高考考查的热点，突出了通性通法三种题型都有可能出现，有较容易的低档题，也有与其他知识交汇命题的压轴题网络构建高频考点突破考点一：等差、等比数列的基本运算【例1】(2012盘锦模拟)已知数列an是各项均为正数的等比数列，且a1a22，a3a432.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnalog2an，求数列bn的前n项和Sn.审题导引(1)利用所给的条件式求出a1与q，可求an；(2)把数列bn分解为一个等差数列与一个等比数列，分组求和规范解答(1)a1a222，a3a43232，数列an各项均为正数，a1a22，a3a432，q416，q2，又a1a2a1a1q2，a11，ana1qn12n1.(2)bnalog2an，bn4n1(n1)，Snb1b2b3bn(4041424n1)(012n1).【规律总结】方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a1、d(或q)、n、an与Sn这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个其中a1和d(或q)是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现易错提示等差(比)数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量【变式训练】1(2012安徽师大附中模拟)等差数列an的前n项和为Sn，已知a58，S36，则S10S7的值是A24B36C48D72解析S33a26，a22，又a58，3da5a26，d2.S10S7a8a9a103a93a5(95)d48.答案C2(2012青岛模拟)设等比数列an的各项均为正数，公比为q，前n项和为Sn.若对nN，有S2n3Sn，则q的取值范围是A(0,1 B(0,2) C1,2) D(0，)解析当q1时，显然有S2n3Sn，当q1时，S2n3Sn，即S2n3Sn(qn2)0.0，qn20恒成立，0q1，故q(0,1答案A考点二：等差、等比数列的判定与证明【例2】已知数列an的前n项和为Sn，且满足：an2SnSn10(n2，nN，Sn0)，a1，判断与an是否为等差数列，并说明你的理由审题导引因为已知关系式中包含an，Sn，Sn1，所以应根据an与Sn的关系式：anSnSn1(n2)将已知条件转化为关于Sn与Sn1之间的关系，从而判断是否为等差数列，并求出Sn的表达式，然后求出数列an的通项公式，并判断其是否为等差数列规范解答因为anSnSn1(n2)，所以由an2SnSn10，可得SnSn12SnSn10(n2)，所以2(n2)，又因为S1a1，所以是以2为首项，2为公差的等差数列所以2(n1)22n，故Sn.所以当n2时，anSnSn1，所以an1，而an1an.所以当n2时，an1an的值不是一个与n无关的常数，故数列an不是一个等差数列综上，是等差数列，an不是等差数列【规律总结】判断数列是否为等差(比)数列的方法在判断一个数列是否为等差(比)数列时，应该根据已知条件灵活选用不同的方法，一般是先建立an1与an的关系式或递推关系式，表示出an1an，然后验证其是否为一个与n无关的常数另外，常数列an的通项公式ana，它是一个首项a1a，公差d0的等差数列，若a0，则该数列也是一个首项a1a，公比q1的等比数列如果一个数列中包含有0的项，那么这个数列一定不是等比数列【变式训练】3(2012西安模拟)已知数列an满足：a12，an12an2.(1)求证：数列an2是等比数列(要求指出首项与公比)；(2)求数列an的前n项和Sn.解析(1)证明由an12an2，得an122an4，即an122(an2)，即2(nN)，又由a12得a124，所以数列an2是以4为首项，以2为公比的等比数列(2)由(1)知an242n12n1，所以an2n12，所以Sn22232n12n2n2n22n4.考点三：等差、等比数列的性质及应用【例3】(1)已知正数组成的等差数列an，前20项和为100，则a7a14的最大值是A25 B50 C100 D不存在(2)(2012株洲模拟)设等比数列an各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10A12B10 C8D2log35审题导引(1)求出a1a20，利用a1a20a7a14与基本不等式求解；(2)利用等比数列的性质结合对数的运算法则解题规范解答(1)an为等差数列，S2020(a1a20)100，a7a14a1a2010.a70，a140，a7a14225，当且仅当a7a145时，等号成立(2)a5a6a4a7，a5a6a4a718，a5a69，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a5a6)55log3910.答案(1)A(2)B【规律总结】等差、等比数列性质的应用技巧(1)等差数列与等比数列有很多性质很类似，但又有区别，学习时需对比记忆，灵活应用(2)等差数列与等比数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用(3)应用等差数列、等比数列的性质要注意结合其通项公式、前n项和公式【变式训练】4设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13等于A120 B105 C90 D75解析设公差为d且d0，a1a2a315，a2da2a2d15，a25.又a1a2a380，d29.d0，d3.则a11a12a133a123(a210d)105.答案B名师押题高考【押题1】在等比数列an中，a18，a4a3a5，则a7A.B.C.D.解析解法一设等比数列an的公比为q.a4a3a5，a18，8q38q28q4，即q3，q，a7a1q686.解法二a4a3a5a，且a40，a41.又aa1a7，即18a7，a7.答案B押题依据本题可根据给出的条件利用等比数列的通项公式求解，也可以利用等比数列的性质求解，解题切口较宽，不仅考查数列的通性通法，同时也突出了对能力的考查，符合高考的要求，故押此题【押题2】在数列an中，a11，an12an2n.(1)设bn，证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的前n项和Sn.解析(1)证明由已知an12an2n，得bn11bn1.又b1a11，因此bn是首项为1，公差为1的等差数列(2)由(1)知n，即ann2n1，Sn1221322n2n1，两边乘以2得2Sn2222323n2n，两式相减得Sn121222n1n2n(2n1)n2n(n1)2n1.押题依据等差数列、等比数列的判定与证明、数列的求和一直是高考的热点，本题综合考查了等差数列的证明、通项公式的求法、错位相减法求和等知识点，难度中等，故押此题 - 7 -
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