2019-2020年九年级数学竞赛辅导讲座 第十二讲 方程与函数

2019-2020年九年级数学竞赛辅导讲座第十二讲方程与函数方程思想是指在解决问题时，通过等量关系将已知与未知联系起来，建立方程或方程组，然后运用方程的知识使问题得以解决的方法；函数描述了自然界中量与量之间的依存关系，函数思想的实质是剔除问题的非本质特征，用联系和变化的观点研究问题转化为函数关系去解决方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题，在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答【例题求解】【例1】若关于的方程有解，则实数m的取值范围.思路点拨可以利用绝对值知识讨论，也可以用函数思想探讨：作函数，函数图象，原方程有解，即两函数图象有交点，依此确定m的取值范围.【例2】设关于的方程有两个不相等的实数根，且1，那么取值范围是()ABCD思路点拨因根的表达式复杂，故把原问题转化为二次函数问题来解决，即求对应的二次函数与轴的交点满足1的的值，注意判别式的隐含制约【例3】已知抛物线()与轴交于两点A(,0),B(,0)(工).(1) 求的取值范围，并证明A、B两点都在原点0的左侧；(2) 若抛物线与轴交于点C,且0A+0B=0C一2,求的值.思路点拨、是方程的两个不等实根，于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以解决，利用判别式，根与系数的关系是解题的切入点【例4】抛物线y=1x2-2(m+5)x+2(m+1)与轴的正半轴交于点C,与轴交于A、B两点,并且点B在A的右边，AABC的面积是A0AC面积的3倍.(1) 求这条抛物线的解析式；(2) 判断0BC与厶0CA是否相似，并说明理由.思路点拨综合运用判别式、根与系数关系等知识,可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系，这是解本例的关键对于(1),建立关于m的等式，求出m的值；对于(2)依m的值分类讨论【例5】已知抛物线上有一点M(,)位于轴下方.(1) 求证：此抛物线与轴交于两点；(2) 设此抛物线与轴的交点为A(,0),B(,0),且，求证：.思路点拨对于(1),即要证；对于(2),即要证注：(1)抛物线与轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特征、根的关系来探讨需综合运用判别式、韦达定理等知识(2) 对较复杂的二次方程实根分布问题,常转化为用函数的观点来讨论,基本步骤是：在直角坐标系中作出对应函数图象,由确定函数图象大致位置的约束条件建立不等式组(3) 一个关于二次函数图象的命题：已知二次函数()的图象与轴交于A(，0)，B(，0)两点，顶点为C. AABC是直角三角形的充要条件是：=. 厶ABC是等边三角形的充要条件是：=学历训练1.已知关于的函数y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1的图象与轴有交点，则m的取值范围是.2. 已知抛物线与轴交于A(，0)，B(，0)两点，且，则.3. 已知二次函数y=kx2+(2kl)x1与x轴交点的横坐标为xxjxj，则对于下列结论：当x=2时，y=l；当xx，时，y0；方程kx2+l(2kl)x1=0有两个不相等的实数根X、xjX一1,x/1；X2X二，其中所有正确的结论(只需填写序号).1212214. 设函数的图象如图所示，它与轴交于A、B两点，且线段0A与0B的长的比为1：4,则=().A.8B.4C.1lD.4或115. 已知：二次函数y=x2+bx+c与x轴相交于A(X,O)、Bg0)两点，其顶点坐标为P(,),AB=|xx|,若=1,则b与c的关系式是()12APBA.b24c+1=0B.b24c1=0C.b24c+4=0D.b24c4=06. 已知方程有一个负根而且没有正根，那么的取值范围是()A.-1B.=1C.21D.非上述答案7. 已知在平面直角坐标系内，0为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图，二次函数y=ax2+bx+c(aMO)的图象经过点A、B,与y轴相交于点C.(1) a、c的符号之间有何关系？(2) 如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；(3) 在(2)的条件下，如果b=4，AB=4，求a、c的值.八g(第7题)8. 已知：抛物线过点A(一1，4)，其顶点的横坐标为，与轴分别交于B(X,O)、C(x2，0)两点(其中且)，且.(1) 求此抛物线的解析式及顶点E的坐标；(2) 设此抛物线与轴交于D点，点M是抛物线上的点，若厶MBO的面积DOC面积的倍，求点M的坐标.9. 已知抛物线交x轴于A(，0)、B(，0)，交y轴于C点，且V0V.，(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P,使ZAPB为锐角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由.10. 设是整数，且方程的两根都大于而小于，贝匸.11. 函数的图象与函数的图象的交点个数.12. 已知、为抛物线与轴交点的横坐标,，则的值为.13. 是否存在这样的实数，使得二次方程有两个实数根，且两根都在2与4之间?如果有，试确定的取值范围；如果没有，试述理由14设抛物线的图象与轴只有一个交点(1)求的值；(2)求的值15已知以为自变量的二次函数，该二次函数图象与轴的两个交点的横坐标的差的平方等于关于的方程x2-(7n+6)x+2(n+1)(n+4)=0的一整数根，求的值.16. 已知二次函数的图象开口向上且不过原点0,顶点坐标为(1,一2),与轴交于点A,B,与y轴交于点C,且满足关系式.(1) 求二次函数的解析式；(2) 求厶ABC的面积.17. 设是实数，二次函数的图象与轴有两个不同的交点A(,0)、B(,0).(1)求证：；若A、B两点之间的距离不超过，求P的最大值.参考答案圜方程与函数【例题求解】与y=mx图象，原方程有解.即两图象冇交点，由图象知巾20或一1.选DaHO,记丿=+(1+手&+9,则这个抛物线开口向上，因X!1x2.故当x=l时QV0,92即l+(l+y)+90,解得一jYa0,得a0而寸十形=_(1_2a)=2a_V才_1=_丁0,(?(0,2加+2)是，轴正半轴上的点，则2皿+20,即ml,又0,Xjt2=4(w+l)0,Aj72Xi0,由Sabc=3SAcmc得SaobcuASmhc，工2=4q,由根与系数关系可得/严0,加2=|，对应的抛物线的解析式为严寺宀寻工+彳旷寺严一寻工+石,当m=0时AOCsACOB；当耐=一|时，AOC与COB不相似例5必=拧+皿+9=(口+号)2_牛仏+号)亠0,有卄佃0,即抛物线轴交于応(2)r+上2=P5曲=g代入心+pin+g=yVo有：乂肆一(厂+乜MoV0,(竝zi)(工。花)V0,故t【学力训练】1.一2.23.4.C5.D6.C7.(l)a0,c0或a0,c0；(2)设A(g,0)BQ?，0),则0Vg业.，.OA=x1，OB=x2,OC=id.由OAOBOC2,得ac=l；&b2,aJL丄P(2)设A(xi,0).8(卫，0)口1乜=疔=_10,.j10,OA=-Ti,OB=x2,OC=|c|=|a|，由丽+面二疋仔64庄即a?臣一4X(-1)=16,解得a=5/T,c=干“,故严箱卡2/-苗或y=品去2jt4-5/31若存在满足条件的抛物线，则OA=OB,即一Q=x2,x,+x2=0,-y=0,即6=0与6=2矛盾，故不存在满足条件的抛物线.(Dm=l,y=yxz-j2,(2)存在这样的P点其横坐为使ZAPB为锐角,AC-1,0),5(4,0),C(0,2),AB2+BCAC.ABC为直角三角形，过A、B、C三点作OO】.则AB为的直径，C点关于直线_r=今对称点M是与抛物线的另一交点,M(3,-2),OXo010由题索，得亠“亠，耳3oQ1Q3X(-)2+mX弓2012a+b当x=c时，=?(),则aVcVk