物理实验的不确定度表示和计算方法

物理实验的不确定度表示和计算方法摘 要 本文在 分析物理 实验中引入 不确定度必 要性的 基 础上 , 介绍了不确定度的有关概念 , 提出了不 确定度的表 示 和计算方法。关键词 物理实验; 不确定度; 置信概率0 引 言在物理实验中总是通过各种测量方法和测量仪 器对各个物理量进行测量, 但如何对测量结果的 可 靠性进行评价, 一直是测量和数据处理环节的 重要 问题。过去的传统方法是用测量误差来评定测 量结果的可靠性, 而测量误差定义为测量值与真 值之差, 由于真值是永远也测不到的 , 所以测量 误差也是一 个不可知量, 即用测量误差来评定测 量结果的可靠性是不科学的。1980 年国际计量局提出了关于实验不确定 度 表示的建议书 R ecomm endation INC- 1C19980, 1992 年发表了测量不确定度表示法 指南,在世界 范围内开展了用不确定度来评价测 量结果的推广和使用。在此基础上, 国际理论与 应用物理联合会与 国际标准化组织 （ ISO） 等7 个国际组织联合颁发了 国际通用计量学基本术语） 之后, 对物理教 学中 有关误差分析和数据处理方法提出了新的要求。1991年我国推出了国家计量技术规范JJG 1027-91测量误差及数据处理,规定测量结果的最终表示形 式用总不确定度或用其相对值相对不确度表示。至 此, 推广与使用不确定度表示是物理学研究和教 学在于某一个量值范围内的评定 , 它反映了可能存 在 的误差分布范围, 其大小给出了测量结果可信 程度 的高低。不确定度实际上具有非常明确的含 义, 它 具有确定的量值, 其量纲与被测量的量纲 相同, 但 通常总是联系于一定的概率。不确定度一 般含有多个分量, 但按其数值的评定方法可归并 成两类:A类分量：由测量列的统计分析评定的不确定 度分量，即随机误差分量， 用表示。B 类分量: 由非统计方法评定的不确定度分量，即未定系统误差分量，用表示。合成不确定度：为A类分量和B类分量按方差合成原理进行合成 用u表示可写为u=I+1 ( 1)总不确定度（ 展伸不确定度） :将合成不确定度u乘以一个与置信概率有关的包含因子K，则得总不确定度,用U表示，U二K u。2不确定度的表示2. 1平均值是测量值的最佳值一般情况下，单位误差间隔内出现某误差值的 概率密度函数f(x)可表示为f(x ) 一二11 e - X OO2no( 2)式中=I (X- o=nTsX )n中的必然趋势, 掌握不确定度的基本概念和简单 称为标准差, 反映一列测量数据的离散程度。的计算方法， 是对理工科物理实验教学的基本要由于lim ( X -)=0( 3)求。X1 不确定度的概念n固有X = lim X =-X(4)不确定度概念表示被测量的真值以较大概率存即在系统误差忽略的情况下,测量的平均值等 于真值。但实际测量不可能是无限次，既使是 有限次的测量，测量值的平均值最接近真值， 即平均值是测量值的最佳值。1=expx -卫X1dx2. 2 平均偏差和标准偏2n。2。差由于物理量的真值X是不可知的，不能用上=0.683( 10)式计算标准误差, 而采用平均值代替真值, 各如对(9)式在区间u X2。，u+2。积分，测量则有值与平均值之差( v = X- -X ) 称残差, 用 残差计算 的平均偏差是平均误差的最佳描述, 其公式 为测量列平均偏差t二( 5)n ( nX 1)z (X- X )平均值的平均偏差t二n nX 1(6)用残差计算的标准偏差是标准误差的最佳描述, 其公式为测量列的标准偏差 Sz (XXXX )n1P=F(x)1expx - u=r-1 J Jdxo22n。=0.955( 11)对(9)式在区间u X3o，u +3o积分得P=F(x)1ex pX - u=1Jdx2n。r-2o=0.997( 12)( 10)、( 11)和 (12)式分别表示， 当一组测量值的准偏差为 。时，则这一组测量值中任一z 7)(XXXX平均值的标准偏差 S= n ( nX次测量值X的偏差V落在u 。的区间的可能性 为68. 3% ,落在u 2o区间的可能性是95. 5% , 落在 u 。区 间的可能性是 99. 7%, 这三个百 分数就是我们常用8)(的三个置信概率。究竟是采用平均偏差还是标准偏差来估算误差更为合 对于物理实验中的有限次测量, 一般为510 适，主要根据国家计量规范的要求和数值计算的方便性次这时测量结果偏离正态分布，而服从t分布。A 计算结果在表征测量列离散程度的有效性、精密性等综类不确定度可由贝塞尔公式求田 ( x -一合考虑, 结果表明, 用标准偏差估算误差更为合适。2. 3 A类不确定度A 类不确定度为随机误差分量 ， 是由随机变量 的概率分布决定。当随机变量呈离散型时， 其 概率 分布是多种多样的， 最主要的有二项分布、 多项分 布、泊松分布、均匀分布、x分布、F分 布、正态分布和t分布，每种分布都有自己的概率密度函 数，彼此相差很大。但当随机变量呈连续型时， 即测 量次数趋于无穷， 则这些分布都趋向于正态分布(高斯分布)， 所以我们可以认为大量的测量误差接近 正 态分布。由于正态分布理论完善， 计算公式简 便， 在n-1考虑到在一组等精度测量值中 ， 算术平均值比任 何 一次测量值的可靠性都高， 为测量值的最佳值， 由误差理论可知，算术平均值的偏差S与一组测 量值的标准偏差S有如下关系：S二汪(X-( 13)nx_)n ( n-1)再考虑到t分布当nT时的极限是正态分布而采取的适当修正， 即6=tS= tS ( 14)多种分布规律中最具典型性， 是误差理论中运用 最多的具体分布规律， 所以我们可以采用正态分布 加修正的方法来表示A类不确定度。对于正态分布的分布函数F ( x )有F ( x )二 1dxe2no(n式中t为置信因子，与置信概率有关。为了与世界上大多数工业化国家所广泛采用的约定概率一致，我国国家计量规范亦取约定概率P二0. 95， 则可取t / n =1(见下表)即有6= S ( p = 0. 95)式中 为x的期待值(实数)，。为标准差(大于0的实数)，x为随机变量分布区间如对o,则有测量次数n表5P6 =卩95时E子15(0t/ 8 n111000000t/n近似值dJ6WnW10 时，1nn$10 时，t/2/ n1n可ouse.算术平均值y-= f (x-)而测量结果的不确定度为U二 一 d U，其中 U二 S + 6 dx当 y= f (x， x，x) 时， 测量结果的总不确定度为Z XX S2. 4 B类不确定度佳值B类不确定度为未定系统误差分量，不能够用统计方法评定， 一般可根据经验和其它信息进行估计，在物理实验中，只考虑由仪器误差所带来的B类分量。如B类分量的误差限为6 ,则B类不 确定度由下式得出6= K 6( 15)U=6UU+6U U+ 6Uu6x6x6x其中u=S+6，U =S+ 6，C式中K为与置信概率有关的置信因子，C为置信系数。K在p二0. 95置信概率时，通常取其结果表达式为y= -yU4结论U =6+6= S+ 6对于受多个误差来源影响的直接测量量， 其测量结果的总不确定度， 用下式表示:K =1. 95=2对于C值的选取，如仪器误差服从均匀分布，C值取3 ;如仪器误差服从正态分布，C值取3，物理实验教学中仪器误差分布一般不 知道，C可取T，这时6=26/ 3_占0. 95)2. 5 总不确定度 (展伸不确定度)将 A 类不确定度分量和 B 类不确定分量在高 置信概率 p= 0. 95 条件下进行方和根合成，即得总 不确定度引入不确定度表示是物理实验教学内容改革的 重要方面, 不确定度概念和体系的发展也 是计量科 学的一个重要进展, 是测量结果评 定和表示国际标准化和规范化的重要体现。不确定度的概念和体系是在现代误差理论 发展 的基础上建立和完善的。不确定度和误差u= Es+ E 6测量结果的表达式为X= -X U3 间接测量结果的不确定度计算方法在间接测量中，测量量y是直接测量量x的 函数。即y二f ( x ),首先仍是求出间接测 量量y的最性引起的。不确定度是对测量结果可信度的合理 的、科学的评定。习惯上仍用误差来定性地描述 理论和概念, 当 要评定测量结果的精确度和计量 器具的精度时, 就应当采用不确定度来描述。参考文献1 朱鹤年. 物理实验研究. 北京: 清华大学出版社 ,1990.12432 朱永生. 实验物理中的概率和统计 . 北京: 科学出版 社,1991. 1093 李惕碚. 实验的数学处理 . 北京: 科学出版社,1980. 39Expression and Calculation of uncertainty in physicalexperimentsZhu L i H an Ye Zhou J ing Zhang BaolinFaculty o f Basic science Studies, Chang chun University, Changchun 130022Abstract T his paper explains the fact that it is necessary to intro duce uncertainty in physicalex periments, presents the rele- vant concepts of uncertaint y , and puts forward the ex pression and calculatio n of uncertaint y .Keywordsuncertainty ；physical!bh?experiment ； confidence level