312导数的概念

导数的概念导数的概念3.1 3.1 导数的概念导数的概念 1.曲线的切线曲线的切线y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy 如图如图,曲线曲线C是函数是函数y=f(x)的图象的图象,P(x0,y0)是曲线是曲线C上的上的任意一点任意一点,Q(x0+x,y0+y)为为P邻近一点邻近一点,PQ为为C的割线的割线,PM/x轴轴,QM/y轴轴,为为PQ的的倾斜角倾斜角.tan,: xyyMQxMP则则.就就是是割割线线的的斜斜率率表表明明：xy PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T请看当请看当点点Q沿沿着曲线着曲线逐渐向逐渐向点点P接接近时近时,割割线线PQ绕着点绕着点P逐渐逐渐转动的转动的情况情况. 我们发现我们发现,当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PQ有一个极限位置有一个极限位置PT.则我们把直线则我们把直线PT称为曲称为曲线在点线在点P处的处的切线切线. 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0时时,割线割线PQ的的斜率斜率,称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率.即即:xxfxxfxykxx )()(limlimtan0000 切切线线 这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数平均变化率的极限函数平均变化率的极限. 要注意要注意,曲线在某点处的切线曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限如有极限,则在此点有切线则在此点有切线,且切线是唯一的且切线是唯一的;如不存在如不存在,则在此点则在此点处无切线处无切线;3)曲线的切线曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个可以有多个,甚至可以无穷多个甚至可以无穷多个.例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程的基本步骤的基本步骤:先利用切线斜率先利用切线斜率的定义求出切线的斜率的定义求出切线的斜率,然后然后利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.例例2:已知曲线已知曲线 上一点上一点P(1,2),用斜率的定义求用斜率的定义求 过点过点P的切线的倾斜角和切线方程的切线的倾斜角和切线方程.222 xy, 22)1 ( 2) 1 ()1 (,lim:20 xfxfyxyKxP而而解解. 12212422)1 ( 24lim22)1 ( 2)( 24lim22)1 ( 2limlim20220200 xxxxxxxxxyxxxx.45,45, 1tan等等于于点点切切线线的的倾倾斜斜角角即即过过PKP 故过点故过点P的切线方程为的切线方程为:y-2=1(x-1),即即y=x+1.练习练习:求曲线求曲线 上一点上一点P(1,-1)处的切线方程处的切线方程.31xy 答案答案:y=3x-4.2.瞬时速度瞬时速度 已知物体作变速直线运动已知物体作变速直线运动,其运动方程为其运动方程为ss(t)(表示位移表示位移,t表示时间表示时间),求物体在求物体在t0时刻的速度时刻的速度 如图设该物体在时刻如图设该物体在时刻t0的位置是的位置是(t0)OA0,在时在时刻刻t0 +t 的位置是的位置是s(t0+ t)=OA1,则从则从t0 到到 t0 +t 这这段时间内段时间内,物体的位移是物体的位移是:在时间段在时间段( t0+ t) t0 = t 内，物体的平均速度为内，物体的平均速度为:tsttttsttsv 0000_)()()()()(0001tsttsOAOAs 平均速度反映了物体运动时的快慢程度程度平均速度反映了物体运动时的快慢程度程度,但要但要精确地描述非匀速直线运动精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度运动的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映也既需要通过瞬时速度来反映. 如果物体的运动规律是如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻，那么物体在时刻t的的瞬时速度瞬时速度v，就是物体在，就是物体在t到到 t+t这段时间内，当这段时间内，当 t0 时平均速度时平均速度:.)()(limlim00ttsttstsvtt 例例1:物体作自由落体运动物体作自由落体运动,运动方程为：运动方程为： 其中位其中位 移单位是移单位是m,时间单位是时间单位是s,g=10m/s2.求：求： (1) 物体在时间区间物体在时间区间2,2.1上的平均速度；上的平均速度； (2) 物体在时间区间物体在时间区间2,2.01上的平均速度；上的平均速度； (3) 物体在物体在t=2(s)时的瞬时速度时的瞬时速度. 221gts 解解:)(212_tggtsv s ss(2+t)Os(2)(1)将将 t=0.1代入上式，得代入上式，得: ./5 .2005. 2_smgv (2)将将 t=0.01代入上式，得代入上式，得: ./05.20005. 2_smgv 的的极极限限为为：从从而而平平均均速速度度当当_, 22 , 0)3(vtt ./202limlim0_0smgtsvvtt 即物体在时刻即物体在时刻t0=2(s)的的瞬时速度瞬时速度等于等于20(m/s).当时间间隔当时间间隔t 逐渐变小时逐渐变小时,平均速度就越接近平均速度就越接近t0=2(s) 时的时的瞬时速度瞬时速度v=20(m/s).练习练习:某质点沿直线运动某质点沿直线运动,运动规律是运动规律是s=5t2+6,求求: (1)2t2+t这段时间内的平均速度这段时间内的平均速度,这里这里t取值取值 范围为范围为1; (2)t=2时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度.520,)(520)625(6)2(5)1(:222ttsttts 故故平平均均速速度度为为：解解.25,1 tst时时当当.20)520(limlim:2)2(00 ttsttt时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度为为3.导数的概念导数的概念 从上面两个实例从上面两个实例,一个是曲线的切线的斜率一个是曲线的切线的斜率,一个是一个是瞬时速度瞬时速度,具体意义不同具体意义不同,但通过比较可以看出它们的数但通过比较可以看出它们的数学表达式结构是一样的学表达式结构是一样的,即计算极限即计算极限 ,这就是我这就是我们要学习的导数的定义们要学习的导数的定义.xyx 0lim 定义定义：设函数：设函数y=f(x)在点在点x0处及其附近有定义处及其附近有定义,当当自变量自变量x在点在点x0处有改变量处有改变量x时函数有相应的改变量时函数有相应的改变量y=f(x0+ x)- f(x0).如果当如果当x0 时时,y/x的极限的极限存在存在,这个极限就叫做函数这个极限就叫做函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数(或变化或变化率率)记作记作 即即:,|)(00 xxyxf 或或.)()(limlim)(00000 xxfxxfxyxfxx 如瞬时速度就是位移函数如瞬时速度就是位移函数s(t)对时间对时间t的导数的导数. 是函数是函数f(x)在以在以x0与与x0+x 为端点的区间为端点的区间x0,x0+x(或或x0+x,x0)上的上的平均变化平均变化率率,而导数则是函数而导数则是函数f(x)在点在点x0 处的处的变化率变化率,它反映了函它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度数随自变量变化而变化的快慢程度 xxfxxfxy )()(00 如果函数如果函数y=f(x)在点在点x=x0存在导数存在导数,就说函数就说函数y=f(x)在点在点x0处处可导可导,如果极限不存在如果极限不存在,就说函数就说函数 f(x)在点在点x0处处不可导不可导.000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 下下式式表表示示：事事实实上上，导导数数也也可可以以用用 由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数的基本方法是的基本方法是:);()()1(00 xfxxfy 求求函函数数的的增增量量;)()()2(00 xxfxxfxy 求求平平均均变变化化率率.lim)()3(00 xyxfx 取取极极限限，得得导导数数注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负. 自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x选择选择 哪种形式哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.例例1:(1)求函数求函数y=x2在在x=1处的导数处的导数; (2)求函数求函数y=x+1/x在在x=2处的导数处的导数.,)(21)1 () 1 (222xxxy 解解：,2)(22xxxxxy . 2|, 2)2(limlim100 xxxyxxy,)2( 2)212(21)2() 2(xxxxxy ,)2( 211)2( 2xxxxxxy .43|,43411)2( 211 limlim200 xxxyxxy.,21| ,:2000的的值值求求且且处处附附近近有有定定义义在在已已知知函函数数例例xyxxxyxx ,:00 xxxy 解解.1)()(0000000000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxy ,211limlim00000 xxxxxyxx . 1,2121,21| 000 xxyxx得得由由 如果函数如果函数yf(x)在区间在区间(a,b)内每一点都可导内每一点都可导,就说就说函数函数yf(x)在区间在区间(a,b)内可导内可导.这时这时,对每一个对每一个x (a,b)都有唯一确定的导数值与它对应都有唯一确定的导数值与它对应,这样在区间这样在区间(a，b)内内就构成一个新的函数就构成一个新的函数.这个新的函数叫做函数这个新的函数叫做函数f(x)在区在区间间(a,b)内的内的导函数导函数,记作记作 ,即即:)()(xyyxf 必必要要时时记记作作或或xxfxxfxyyxfxx )()(limlim)(00在不致发生混淆时，导函数也简称在不致发生混淆时，导函数也简称导数导数.)()(),()()()(,),(0000函函数数值值处处的的在在点点数数函函内内的的导导在在开开区区间间等等于于函函数数处处的的导导数数在在点点函函数数时时当当xxfbaxfxfxxfybax 如果函数如果函数y=f(x)在点在点x0处可导处可导,那么函数在点那么函数在点x0处处连续连续求函数求函数y=f(x)的导数可分如下三步的导数可分如下三步:);()()1(xfxxfy 求函数的增量求函数的增量;)()(:)2(xxfxxfxy 的的增增量量的的比比值值求求函函数数的的增增量量与与自自变变量量.lim)()3(0 xyxfyx 求求极极限限，得得导导函函数数.1yxy ，求求：已已知知例例,xxxy 解解：,xxxxxxy .211limlimlim000 xxxxxxxxxyyxxx .)0( |2的的导导数数数数：利利用用导导数数的的定定义义求求函函例例 xxy; 1lim, 1)(,0|,|0 xyxxxxxyxyxxyx则则时时当当解解： ; 1lim, 1)()(,00 xyxxxxxyxyxx时时当当.0101 xxy4.导数的几何意义导数的几何意义 函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义，就是曲处的导数的几何意义，就是曲线线 y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率，即曲线处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0) 处的切线的斜率是处的切线的斜率是 .)(0 xf 故曲线故曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是处的切线方程是:)()(000 xxxfxfy 例例1:设设f(x)为可导函数为可导函数,且满足条件且满足条件 , 求曲线求曲线y=f(x)在点在点(1,f(1)处的切线的斜率处的切线的斜率.12)1 () 1 (lim0 xxffx, 12)1()1(lim)(0 xxffxfx是是可可导导函函数数且且解解： , 21)1 () 1 ()1 (lim, 1)1 (1)1 () 1 (lim2100 xfxfxxffxx. 2) 1 ( f故所求的斜率为故所求的斜率为-2.例例2:如图如图,已知曲线已知曲线 ,求求: (1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率; (2)点点P处的切线方程处的切线方程.)38, 2(313Pxy上上一一点点 yx-2-112-2-11234OP313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.例例1:判断下列各命题的真假判断下列各命题的真假: (1)已知函数已知函数y=f(x)的图象上的点列的图象上的点列P1,P2,P3,Pn, 则过则过P0与与Pn两点的直线的两点的直线的 斜率就是函数在点斜率就是函数在点P0处的导数处的导数.,0PPnn 时时当当答答:由函数在点由函数在点P0处的导数的几何意义知处的导数的几何意义知:函数在点函数在点 P0处的导数是过处的导数是过P0点曲线点曲线(即函数即函数y=f(x)的图象的图象) 的切线的斜率的切线的斜率,而不是割线而不是割线P0Pn的斜率的斜率,故它是一故它是一 个假命题个假命题.(2)若物体的运动规律是若物体的运动规律是S=f(t),则物体在时刻则物体在时刻t0的瞬的瞬 时速度时速度V等于等于.|)(0tttf 答答:由于它完全符合瞬时速度的定义由于它完全符合瞬时速度的定义,故它是一个真故它是一个真 命题命题.(3)若函数若函数y=f(x)的定义域为的定义域为A,则对任一则对任一 只要只要 函数在函数在x0处连续处连续,则则 就必存在就必存在.,0Ax )(0 xf 5.例题选讲例题选讲答答:它是一个假命题它是一个假命题.例如例如,函数函数 在在x=0处连续处连续,但但 它在它在x=0处的导数不存在处的导数不存在.3xy (4)设设 是函数是函数y=f(x)的图象上的三点的图象上的三点,且函数在且函数在P1,P2,P3 三点处的导数均存在三点处的导数均存在.若若 ,则必有则必有)(,(),(),(321333222111xxxyxPyxPyxP 其其中中)()(31xfxf )(2xf).(),(31xfxf 答答: ,由于由于f(x)的导函的导函 数数 未必是单调增函数未必是单调增函数.因此因此, 不一定成立不一定成立,例如例如f(x)=x3,则则 显然有显然有 故是假命题故是假命题.时时且且当当)()(21321xfxfxxx )(xf )(),()(312xfxfxf ,3)(2xxf ) 1( f).2(),1()0(),2(ffff 但但说明说明:要正确判断命题的真假要正确判断命题的真假,需真正理解需真正理解:曲线在点曲线在点P处处 切线的斜率、瞬时速度、连续与可导等概念切线的斜率、瞬时速度、连续与可导等概念,还要还要 把握好要确定一个命题为真命题把握好要确定一个命题为真命题,则需给出论证则需给出论证, 而要给出否定的结论而要给出否定的结论,举一个反例就足够了举一个反例就足够了.例例2:设函数设函数f(x)在点在点x0处可导处可导,求下列各极限值求下列各极限值:.2)()(lim)2(;)()(lim) 1 (000000hhxfhxfxxfxxfhx 分析分析:利用函数利用函数f(x)在点在点x0处可导的条件处可导的条件,将题目中给定将题目中给定 的极限恒等变形为导数定义的形式的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定注意在导数定 义中义中,自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x 选择哪种形式选择哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.);()()(lim)()()(lim)1(0000000 xfxxfxxfxxfxxfxx 原原式式解解：).( )( )( 21)()(lim)()(lim212)()()()(lim)2(00000000000000 xfxfxfhxfhxfhxfhxfhxfhxfxfhxfhhh 原原式式例例3:证明证明:(1)可导的偶函数的导函数为奇函数可导的偶函数的导函数为奇函数; (2)可导的奇函数的导函数为偶函数可导的奇函数的导函数为偶函数.证证:(1)设偶函数设偶函数f(x),则有则有f(-x)=f(x).).()()(lim,)(0 xfxxfxxfxfyx 可可导导函函数数).()()(lim)()(lim)()(lim)(000 xfxxfxxfxxfxxfxxfxxfxfxxx .)(立立是奇函数，从而命题成是奇函数，从而命题成xf (2)仿仿(1)可证命题成立可证命题成立,在此略去在此略去,供同学们在课后练供同学们在课后练 习用习用.练习练习1:设函数设函数f(x)在点在点x0处可导处可导,求下列各极限值求下列各极限值:xxftxxfxxfxmxfxx )()(lim)2( ;)()(lim) 1 (000000).(1)2();()1(00 xftxfm 答答案案：练习练习2:设函数设函数f(x)在点在点x=a处可导处可导,试用试用a、f(a)和和.)()(lim)(axaxfxafafax 表表示示).()()()()(lim)()()()(lim)()(lim:afafaafaxafxfaaxafaxafxfaaxaxfxafaxaxax 解解例例4:判断函数判断函数y=|3x-1|在在x=1/3处是否可导处是否可导.;)31(31)31(13|13| xxxxxy解解：; 3) 1313( 1)31( 3limlim00 xxxyxx; 3)3131()31(31 limlim00 xxxyxx.lim,limlim000不不存存在在xyxyxyxxx 从而函数从而函数y=|3x-1|在在x=1/3处不可导处不可导.注注:这是一个函数在某点连续但不可导的例子这是一个函数在某点连续但不可导的例子.练习练习3:函数函数f(x)=|x|(1+x)在点在点x0=0处是否有导数处是否有导数?若有若有, 求出来求出来,若没有若没有,说明理由说明理由. 0)(0)()()0()0(,)0()0()(:2222xxxxxxxffxfyxxxxxxxf故故有有显显然然解解, 1)1 (limlim00 xxyxx. 1)1(limlim00 xxyxx.,0,limlim00无无极极限限时时xyxxyxyxx 故函数故函数f(x)=|x|(1+x)在点在点x0=0处没有导数处没有导数,即不可导即不可导.6.小结小结a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物 理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过 程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。 b.要切实掌握求导数的三个步骤：（要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增）求函数的增 量；（量；（2）求平均变化率；（）求平均变化率；（3）取极限，得导数。）取极限，得导数。c.弄清弄清“函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数”、“导函数导函数”、“导数导数” 之间的区别与联系。之间的区别与联系。（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。常数，不是变数。（2）函数的导数，是指某一区间内任意点）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的而言的, 就是函数就是函数f(x)的导函数的导函数 。)(xf （3）如果函数）如果函数yf(x)在开区间在开区间(a,b)内每一点都可导内每一点都可导, 就说函数就说函数yf(x)在开区间在开区间(a,b)内可导，这时，内可导，这时， 对于开区间内每一个确定的值对于开区间内每一个确定的值x0，都对应着一，都对应着一 个确定的导数个确定的导数 ，这样就在开区间，这样就在开区间(a,b)内内 可构成一个新的函数，称作可构成一个新的函数，称作f(x)的导函数。的导函数。 )(0 xf （4）函数）函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x0处的函数值，即处的函数值，即 。这也是。这也是 求函数在点求函数在点x0处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。 )(0 xf )(xf 0| )()(0 xxxfxf d.函数函数f(x)在点在点x0处有导数，则在该点处函数处有导数，则在该点处函数f(x)的曲的曲 线必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数线必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x) 的曲线在点的曲线在点x0处有切线，而函数处有切线，而函数f(x)在该点处不一定在该点处不一定 可导。如函数可导。如函数 在在x=0处有切线，但不可导。处有切线，但不可导。xxf )(e.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy f.无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求 函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。数概念。