三角函数图象的对称性

三角函数图象的对称性质及其应用观察三角函数的图象，不难发现它们都具有对称性，虽然历届高考中关于三角函数图象的对称性问题屡有涉及，但教材中却是一个盲点。为此，本文谈谈三角函数图象的对称性质及其应用。一、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形性质1函数y=Asingx，)和y=Acos(x+)的图象关于过最值点且垂直于x轴的直线分别成轴对称图形；y=Asin(wx，)对称轴方程的求法是：令sin(wx，)=1，得x，=k，(keZ),贝Vx=(2k十5_2,所以函数y=Asin(wx，)的图2 2象的对称轴方程为x=(2k+D2；2y=Acos(x+)对称轴方程的求法是：令cos(x+)=1，得x，=k(keZ),则x=竺_,所以函数y=Acos(x+)的图象的对称轴方程为x=竺二里。例1、函数y=3sin(2x,)图象的一条对称轴方程是()62(A)x=0(B)x=丝(C)x=-(D)x=3 63解：由性质1知，令3sin(2x,)=1得2x,=k,(keZ)，即662k2x=+(keZ)，取k=1时，x=，故选(B)。2 63例2、函数f(x)=cos(3x+)的图象的对称轴方程23解：由性质1知，令cos(3x,)=1得3x,=k(keZ),即kx=3-9(keZ),所以f(x)=cos(3x,)的图象的对称轴方程是kx=一(keZ)。3 9二、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形性质2、函数y=Asin(x，)和y=Acos(x，)的图象关于其与x轴的交点分别成中心对称图形；y=Asingx，)的对称中心求法是：令singx，)=0，得kx，=k(kZ),则x=(kZ),所以函数y=Asingx，)的图象关于点(竺二土,0)(kZ)成中心对称；y=Acos(Dx+)对称中心的求法是：令cos(Dx+)=0，得x，=k,(kZ)，贝Ux=*+_(kZ)，所以函数y=Acos(x+)22的图象关于点(2k+卩兀2,0)(kz)成中心对称；例3、函数y=4sin(2x)的图象的一个对称中心是()6（A）（0）(B)(了,0)（C）（三,0）6(D)(三,0)6解：由性质2知，令sin(2x)=0得2x=k(kZ)，即66kx=+(kZ),取k=0时，x=,故选(A)。21212例4、函数y=2cos(|x8)的图象的对称中心解：由性质2知，令cosx)=0得x=k+(kZ),即2828251x=2k+才(kZ),所以函数y=2cos$xR的图象的对称中心是5(2k,0)(kZ)。4三、正切曲线和余切曲线都是中心对称图形性质3、函数y=Atan(x，)和y=Acot(x,)的图象关于其与x轴的交点分别成中心对称图形；y=Atan(x，)对称中心的求法是：令tan(x，)=0，得x，=k(kZ)，则x=_，所以函数y=Atan(x，)的图象关于点(k二土,0)(kZ)成中心对称；y=Acot(x+)对称中心求法是：令cot(x，)=0,得x，=k，(kZ),贝Ux=(2k+)一2,所以函数y=Acot(x，)的图22象关于点(出1戸,)(kZ)成中心对称;例5、求函数y=3tan(2x-3)的对称中心的坐标。解：由性质3知，令tan(2x,)=0得2x,=k,(kZ)，即33x=2,(kZ)，所以函数y=3tan(2x+葺)的图象的对称中心是k,(-，_-,0)(kZ)。4