332第2课时简单线性规划的应用

第2课时 简单线性规划的应用 1 1. .体会线性规划的基本思想，并能借助几何直观解决体会线性规划的基本思想，并能借助几何直观解决 一些简单的实际问题；一些简单的实际问题；2.2.利用利用线性规划线性规划解决解决具有限制条件的不等式具有限制条件的不等式；3.3.培养搜集、整理和分析信息的能力，提高数学建模培养搜集、整理和分析信息的能力，提高数学建模 和解决实际问题的能力和解决实际问题的能力. .在实际问题中常遇到两类问题：在实际问题中常遇到两类问题： 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成如何使用它们来完成最多最多的任务；的任务； 下面我们来看看线性规划在实际中的一些应用下面我们来看看线性规划在实际中的一些应用. . 二是给定一项任务，如何合理安排和规划能以二是给定一项任务，如何合理安排和规划能以最少最少的人力、物力、资金等资源来完成它的人力、物力、资金等资源来完成它. .简单线性规划问题及在实际问题中的应用简单线性规划问题及在实际问题中的应用一一. .用量最省问题用量最省问题例例1 1 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg0.075kg的碳水化合物的碳水化合物,0.06kg,0.06kg的蛋白质的蛋白质,0.06kg,0.06kg的脂肪的脂肪.1kg.1kg食物食物A A含有含有0.105kg0.105kg碳水化合物碳水化合物,0.07kg,0.07kg蛋白质蛋白质,0.14kg,0.14kg脂肪脂肪, ,花费花费2828元元; ;而而1kg1kg食物食物B B含有含有0.105kg0.105kg碳水化合物碳水化合物,0.14kg,0.14kg蛋白蛋白质质,0.07kg,0.07kg脂肪脂肪, ,花费花费2121元元. .为了满足营养专家指出的日常饮为了满足营养专家指出的日常饮食要求食要求, ,同时使花费最低同时使花费最低, ,需要同时食用食物需要同时食用食物A A和食物和食物B B多少多少kg?kg?分析分析: :将已知数据列成下表：将已知数据列成下表：0.070.070.140.140.1050.1050.140.140.070.070.1050.105B BA A脂肪脂肪/kg/kg蛋白质蛋白质/kg/kg碳水化合物碳水化合物/kg/kg食物食物/kg/kg解解: :设每天食用设每天食用xkgxkg食物食物A, ykgA, ykg食物食物B, B, 总成本为总成本为z.z. 那么那么x,yx,y满足的约束条件是满足的约束条件是: :0 1050 1050 0750 070 140 060 140 070 06 00.x.y.,.x.y.,.x.y.,x,y.目标函数为目标函数为z=28x+21y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域可行域. . 775,7146,1476, 0,0.xyxyxyxy 二元一次不等式组等价于二元一次不等式组等价于zz2121yz是 直 线 在轴 上 的 截 距 ， 当取 最 小 值 时 ，的 值 最 小 .当 然 直 线 要 与 可 行 域 相 交 ， 即 在满 足 约 束 条 件 时 目 标 函 数 z=28x+21y取 得 最 小值 .428213214-z3 zzxyyx 考 虑， 将 它 变 形 为，这 是 斜 率 为， 随 变 化 的 一 族 平 行 直 线 .7146xyxyO1476xy7146xy37475767137576743yx y775xyM由图知由图知, ,当直线当直线经过可行域上点经过可行域上点M M时时, ,截距截距最小最小, , 即即z z最小最小.4321zyx 21z解方程组解方程组得得M M的坐标为的坐标为7751476xy,xy, 14()77,.所以所以zmin=28x+21y=16. .答：每天食用食物答：每天食用食物A A约为约为143g143g，食物，食物B B约约571g571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为最低成本为1616元元. . 解线性规划应用问题的解线性规划应用问题的一般步骤一般步骤： 1.1.理清题意，列出表格；理清题意，列出表格； 2.2.设好变元，列出线性约束条件（不等式组）与目标函数；设好变元，列出线性约束条件（不等式组）与目标函数； 3.3.准确作图；准确作图； 4.4.根据题设精度计算根据题设精度计算. .例例2 2 要将两种大小不同的钢板截成要将两种大小不同的钢板截成A A、B B、C C三种规格三种规格, ,每张每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示: :A A规格规格B B规格规格C C规格规格第一种钢板第一种钢板第二种钢板第二种钢板2 21 11 12 21 13 3 今需要今需要A A、B B、C C三种规格的成品分别三种规格的成品分别15,18,2715,18,27块，块，用数学关系式和图形表示上述要求问各截这两种钢用数学关系式和图形表示上述要求问各截这两种钢板多少张可得所需板多少张可得所需A A、B B、C C三种规格成品，且使所用三种规格成品，且使所用钢板张数最少？钢板张数最少？规格类型规格类型钢板类型钢板类型分分析：析：列列表表A A规格规格B B规格规格C C规格规格第一种钢板第一种钢板第二种钢板第二种钢板2 21 11 12 21 13 3张数张数成品块数成品块数xy2xy2xy3xy解：解：设需截第一种钢板设需截第一种钢板x x张，第二种钢板张，第二种钢板y y张，共需截张，共需截这两种钢板共这两种钢板共z z张，则张，则21521832700 xy,xy,xy,x,y.线性目标函数线性目标函数.zxy2x+y=15x+3y=27x+2y=18xOy0 xyM作出一组平行直线作出一组平行直线 z=x+yz=x+y，当直线经过可行域上的点，当直线经过可行域上的点M M时，时，z最小最小. .作出可行域如图所示：作出可行域如图所示：由于由于 都不是整数，而此问题中的最优解都不是整数，而此问题中的最优解中，中， 必须都是整数，所以点必须都是整数，所以点 不是最优解不是最优解. .在可行域内打出网格线，在可行域内打出网格线，解方程组解方程组327,215,xyxy 18 39(,).55M18 39,55得得( , )x y, x y18 39(,)552x+y=15x+3y=27x+2y=18B(3,9)C(4,8)xOy18 39(,)55M0 xy经过整点经过整点B(3,9)B(3,9)和和C(4,8)C(4,8)，=12xy 直线直线它们是最优解它们是最优解. .z=12.最小值答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板张数最小的方法有两种，第一种截法是第一种钢板张数最小的方法有两种，第一种截法是第一种钢板3 3张，第二种钢板张，第二种钢板9 9张；第二种截法是截第一种钢板张；第二种截法是截第一种钢板4 4张，张，第二种钢板第二种钢板8 8张；这两种截法都至少要两种钢板张；这两种截法都至少要两种钢板1212张张. . 求线性规划问题的最优整数解时，常用打网格线求线性规划问题的最优整数解时，常用打网格线和调整优值的方法，这要求作图必须精确，线性目标和调整优值的方法，这要求作图必须精确，线性目标函数对应的直线斜率与其他直线的斜率关系要把握准函数对应的直线斜率与其他直线的斜率关系要把握准确确. .例例3 3 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 1车皮车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t4t、硝酸盐、硝酸盐18t18t；生产；生产1 1车皮车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t1t、硝酸盐、硝酸盐15t15t现在库存现在库存磷酸盐磷酸盐10t10t、硝酸盐、硝酸盐66t66t，在此基础上生产这两种混合肥料，在此基础上生产这两种混合肥料，列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域若生产域若生产1 1车皮甲种肥料，产生的利润为车皮甲种肥料，产生的利润为10 00010 000元；生元；生产产1 1车皮乙种肥料，产生的利润为车皮乙种肥料，产生的利润为5 0005 000元元. .那么分别生产那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？二、效益最佳问题二、效益最佳问题解：解：设生产设生产x x车皮甲种肥料、车皮甲种肥料、y y车皮乙种肥料，车皮乙种肥料， 能够产生利润为能够产生利润为z z万元，万元， 则目标函数为则目标函数为分析：分析：列表列表4 418181 11515甲种肥料甲种肥料乙种肥料乙种肥料磷酸盐磷酸盐t t硝酸盐硝酸盐t t总吨数总吨数车皮数车皮数4xy1815xyxy利润利润10 00010 000元元50005000元元41018156600.，xyxyxy0.5zxyyxO123452468104=10 xy1815 =66xy作出可行域，作出可行域，2yx M22yxzMz 当直线经过可行域上的点时， 最大.0.522 .zxyyxz 把变形为得到斜率为得到斜率为-2-2，在，在y y轴轴上的截距为上的截距为2z2z，随，随z z变变化的一族平行直线化的一族平行直线max181566,(2,2).410,2 2 0.53.xyMxyz 解方程组得 的坐标为答：生产甲、乙两种肥料各答：生产甲、乙两种肥料各2 2车皮，能够产生最大利车皮，能够产生最大利润，最大利润为润，最大利润为3 3万元万元. .利用简单线性规划求变量的范围利用简单线性规划求变量的范围例例4 4 若二次函数若二次函数 的图象过原点，且的图象过原点，且 求求 的范围的范围. .( )yf x ( 2)f 3(1)4.f1( 1)2,f 2f(x)=ax +bx,y=f(x)a,bf(-2)=4a-2b.分析：设由已知条件可以得到关于二次函数的系数的不等式，而的范围可用线性规划知识求解2yf(x)f(x)axbx(a0).f( 1)ab,f(1)ab.1ab2,3ab4.f( 2)4a2b.z4a2b. 的图象过原点， 设令解：作出如图所示的可行域，作出如图所示的可行域，0zz4a2bb2a.2l :b2a.可变形为作及其平行线Oba1 2 2424AB2ba 3ab1ab4ab2ab由图可知，由图可知，=2222当直线经过可行域上的点 时，截距最大，即 最小，经过点 时，截距最小，即 最大.zbaAzzzBz minmaxab1,A(2,1).ab3z4a2b4 22 16.ab2,B(3,1).ab4z4a2b4 32 110.6f( 2)10.由方程组得由方程组得 巧妙的转化为简单的线性规划问题进行求解，巧妙的转化为简单的线性规划问题进行求解，减少了失误减少了失误. .1.f(x)(3a1)xba,x0,1,f(x)1ab已知若恒成立，则的最大值是f(x)x0,1f(x)1f(0)1,ba1,f(1)1,2ab2.分析：为一次函数，欲使时，恒成立，只要即然后利用线性规划求解. .532.2.某工厂生产甲、乙两种产品某工厂生产甲、乙两种产品. .已知生产甲种产品已知生产甲种产品1 1t t需耗需耗A A种矿石种矿石10t10t、B B种矿石种矿石5t5t、煤、煤4t4t；生产乙种产品；生产乙种产品1t1t需耗需耗A A种种 矿石矿石4t4t、B B种矿石种矿石4t4t、煤、煤9t. 9t. 每每1t1t甲种产品的利润是甲种产品的利润是600600元，元，每每1t1t乙种产品的利润是乙种产品的利润是10001000元元. . 工厂在生产这两种产品的工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗计划中要求消耗A A种矿石不超过种矿石不超过300t300t、B B种矿石不超过种矿石不超过200t200t、煤不超过煤不超过363t.363t.甲、乙两种产品应各生产多少，能使利润甲、乙两种产品应各生产多少，能使利润总额达到最大总额达到最大? ?将已知数据列成下表：将已知数据列成下表：分析：分析：A A种矿石种矿石(t)(t)B B种矿石种矿石(t)(t)煤煤(t)(t)甲产品甲产品(1t)(1t) 乙产品乙产品(1t)(1t)资源限额资源限额(t)(t)利润利润( (元元) )10105 54 46006004 44 49 910001000300300200200363363解：解：设生产甲、乙两种产品分别为设生产甲、乙两种产品分别为xtxt、ytyt，利润总额为，利润总额为z z元，元， 则则10 x4y300,5x4y200,4x9y363,x0,y0;作出如图所示的可行域作出如图所示的可行域. .3zz600 x1000yyx.51000 可变形为z600 x1000y54200 xyyxO1010104300 xy49363xy03:5lyx 03:5lyx 作及其平行线.M3zyx+Mz.51000 直线经过点时， 最大解方程组：解方程组：5x4y200,4x9y363,M (12, 35).得的坐标为答：甲、乙两种产品应各生产答：甲、乙两种产品应各生产12t,35t12t,35t，能使利润总额，能使利润总额 达到最大达到最大. .利润总额最大为利润总额最大为4220042200元元. .maxz600 12 1000 3542200 1.1.设立所求的未知数；设立所求的未知数； 2.2.列出约束条件；列出约束条件； 3.3.建立目标函数；建立目标函数； 4.4.作出可行域；作出可行域； 5.5.运用图解法，求出最优解运用图解法，求出最优解; ; 6. 6.实际问题需要整数解时，适当调整，确定最优解实际问题需要整数解时，适当调整，确定最优解. .一、简单的线性规划解决实际问题一般步骤：一、简单的线性规划解决实际问题一般步骤：二、利用线性规划知识解决具有限制条件的函数不等式二、利用线性规划知识解决具有限制条件的函数不等式. .这一刻，有我最深的思念。让云捎去满心的祝福，点缀你甜蜜的梦，愿你拥有一个幸福快乐的人生！