保险精算原理与实务讲义上

1第一章 导论2精算科学(Actuarial Science) n精算科学是以概率论与数理统计为基础的，与经济学、金融学及保险理论相结合的应用与交叉性的学科。在保险和社会保障领域，精算科学通过对风险事件及其损失的预先评价，实现科学的风险管理，为保险和社会保障事业的财务稳健发展提供基本保障。3保险精算学的基本原理(1) 要素n未来事件n不确定性n财务收支n预先评估(2) 模型和方法n模型：各因素相互关系的数学公式n方法：借助精算模型实现预先评估(3) 精算假设n对未来风险发生规律的假设n在过去经验的基础上，根据对未来的判断预先做出4基本精算原理-例n按照收支对等原则 如果1人投保1年期100,000元寿险，假设1年内死亡概率4.3%，在不考虑保险公司的费用、投资收益、利润的情况下： 保费=期望损失=100,0000.004 3=430元（忽略利息）5精算师n精算师被称为金融、保险、投资和风险管理的工程师n通过对风险和损失的预先评价，对风险事件做出预先的财务安排，保证风险经营的财务稳健性。6精算师的主要职业领域n保险公司（寿险、非寿险、健康保险）n养老金计划n社会保障n银行、投资、公司财务、金融工程n法律法规n教育7精算管理控制系统环境因素（法律、社会、人口、税收等）风险分析产品设计定价监测和分析经验数据偿付能力评估资产负债管理资产评估利润分析负债评估8怎样成为精算师n考试制度：英国精算学会、北美寿险精算学、北美非寿险精算学会、美国养老金精算师学会、加拿大精算学会。n教育认可制度：澳大利亚：初级课程认可，高级课程考试；德国、意大利、法国、瑞士、西班牙、荷兰、巴西、墨西哥等国家主要采取学历认可制度。n国际精算协会的精算师后续教育制度9精算职业发展n1775年，英国的公平人寿社团最早将精算师引入保险领域。n1848年，英国在世界上最早成立了精算学会n1889年，美国精算学会n1892年，法国精算学会n1895年，国际精算协会n2006年，中国精算师协会10第二章 利息理论11累积函数n累积函数是单位本金的累计额，以 表示。 n其中， ， 。)(ta)0()()(AtAta1)0(a)()0()(taAtA12累积函数a(t)01ta(t)01ta(t)01t 图2-1 图2-2 图2-3na(t)通常为t 的连续函数，在坐标平面上表现为通过（0，1）点的曲线，如图2-1和图2-2所示na(t)为增函数时才能保证总额函数的递增性和存在正的利息。n有时，当利息定期结算时，也表现为不连续的阶梯函数，在定期内，为常数，定期结算后，上一个台阶，如图2-3所示。13利息率n利息率l1年内1单位本金的利息就是实际年利息率 以 表示第n个基本计息时间单位的实际利率 ) 1() 1()(1)(nAnAnAnainni)0()0() 1 (1) 1 (1AAAai14单利和复利n单利单利：只在本金上生息n设第t年实际利率it，1年末的累积额为:n n第2年末的累积额为:n当各年利率均为i时，有itta1)()1)(0()0()0() 1 (11iAiAAA1212(2)(0)(1)(0)(0)(1)AAiAiAii)1)(0()(itAtA15单利和复利n复利复利：在本金和利息上生息n设第t年实际利率it，1年末的累积额为:n n第2年末的累积额为:n当各年利率均为i时，有)1)(0()0()0() 1 (11iAiAAA)1)(1)(0()1)(0()1)(0()2(21211iiAiiAiAAniAnA)1)(0()(tita)1 ()(16现值和贴现率17现值和贴现率n在复利下，tti)1 (118现值和贴现率n在单利下，19现值和贴现率n贴现率：单位货币在单位时间内的贴现额，单位时间以年度衡量时，成为实际贴现率。 d表示一年的贴现率: dn表示第n年贴现率: iiiiaaAAAd1111) 1 (1) 1 () 1 ()0() 1 ()() 1()()() 1()(nanananAnAnAdn20iiiiiaad111)1 () 1 (1) 1 (iiid11111ddi1可见， di现值和贴现率21现值和贴现率22现值和贴现率23名义利率与名义贴现率n名义利率:一年结算多次的规定的年利率。 以 表示，m表示结算次数， )(mimmmii11)(24名义利率与名义贴现率n名义贴现率:一年结算多次的规定的年贴现率。 以 表示，m表示结算次数， ()mdid111mmmdd1 1)(25利息力n利息力：衡量确切时点上利率水平的指标。 定义利息力为，)1ln(11)1 (lim 11 limlim11)(imiimimmmmmmie 1故， e26年金n年金：每隔一个相等的时间间隔的一系列固定数额的收付款方式。 n期首付年金n期末付年金27期首付年金现值1321nna 11n=dn1=28期末付年金现值nna321)1 (n=in1=29期首付年金终值(1)(1)1nnnnsaiid30期末付年金终值nnnias)1(nnii)1 (1iin1)1 (31等额确定年金的终值和现值n年定期的每年1单位元期首付年金、期末付年金的现值和终值间关系图 32一年多次收付的年金 对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金现值，以 表示，()1/2/(1) (1)/1/()11111111mmmnmmnnmnmammmmmd )(mna 33一年多次收付的年金 对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期末付年金现值以 表示，)(mna()1/2/()1111mmmnnnmammmi34一年多次收付的年金 对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期首付年金在n 年末的终值为，()()1nmmnsd35一年多次收付的年金 对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期末付年金在n 年末的终值为，()()1nmmnsi36永续年金 定义：收付时期没有限制，每隔一个间隔永远连续收付的年金，相当于前面定期年金当时期n趋于无穷大时的值。 每年一元期末付永续年金现值为， iaann1lim37永续年金daann1lim )()(1mmia )()(1mmda 其他永续年金现值为： 38变额年金变额年金是每次收付额不等的年金常见的有，n每次收付额等差递增或递减n每次收付额等比递增39变额递增年金如果在n年定期内，第一年末收付1单位元，第2年末收付2单位元，以后每次比上一次递增1单位元的期末付年金现值以 表示。 （nIa)23()23nnIan 40变额递增年金21(1) ()123nniIan 21()1nnnnniIanan inaIannn )(dnaaInnn )(两者相减后得代入上式后得 上述年金期首付时，年金现值为41变额递减年金当第一年收付n元，以后每隔一年收付额减少一单位元的n年定期递减的期末付年金为， ianDann)(上述定期递减年金在期首付时，为 iainaDnn )1 ()( 变额年金的终值是相应年金现值与利率累积系数之积 42等比递增年金对等比递增的年金，如果第一年1单位元，以后收付额每年递增j比例，n年定期的年金现值为：2211211(1)(1)(1)(1)11111nnnnPVjjjjPVdiijdiij 设， 上 式 成 为 ：其 中 ，43等额分期偿还n等额分期偿还债务的方法是在规定的还款期内每次偿还相等数额的还款方式。n每次偿还金额为n第k 期末的未偿还本金余额 贷款本金是B0 ，是Bk,还款期限为n 年，每年末还款，年实际利率为i 44等额分期偿还表 时期时期 付款金额付款金额 支付利息支付利息 偿还本金偿还本金 未偿还贷款未偿还贷款余额余额 0 1 R R(1-vn)Rvnk R R(1-vn-k+1) Rvn-k+1 n R R(1-v) Rv0 总计总计 nR innR RainRa1inRa in kRa0inRaB45变额分期偿还n变额分期偿还指每期偿还的金额不等的还款方式。 原始贷款金额为B0 ，第k 期偿还的金额为Rk （k=1，2， ,n）46例 2.26一笔金额为nR 元的贷款，年利率为i ，期限为n 年，每年偿还R 元本金，其分期偿还表如下： 时期时期 付款金额付款金额 支付利息支付利息 偿还本金偿还本金 未偿还贷款未偿还贷款余额余额 0 nR1 R (1+in)inRR(n-1)Rk R 1+i(n-k+1) i(n-k+1)R R(n-k)R n R (1+i)iR R0 总计总计 nR +i n(n+1)/2 i n(n+1)/2 nR47偿债基金n偿债基金的还款方法是借款人在贷款期间分期偿还贷款的利息，同时为了能够在贷款期末一次性偿还贷款的本金，定期向一个“基金”供款，使该“基金”在贷款期末的积累值正好等于贷款本金。这一基金称为偿债基金，其基金累计的利率与贷款利率可能相等，也可能不等。48等额偿债基金n等额偿债基金方法下借款人每期向偿债基金的储蓄金额相等，设为D ，如果该偿债基金每期的利率恒为j，n 为贷款期限，当期支付的利息设为I，则借款人每期支付总金额为：n假设偿债基金的利率与贷款利率相等，即j =i ，则借款人每期支付总金额为，49变额偿债基金n设原始贷款本金为B0 ，贷款利率为i ，偿债基金利率为j ，借款人在第k 期末支付的总金额为Rk （k=1，2， ，n），则，第k 期末向偿债基金的储蓄额为(Rk iB0)，偿债基金在第n 期末的累积值等于原始贷款本金B0 ，即，n当i= j时，50债券价值n按利息的支付方式，债券可分为零息债券和附息债券两种。零息债券在债券到期前不支付利息，而是在债券到期时随本金一次性支付所累计的利息。附息债券由发行人在到期日前定期支付利息，投资者可定期获得固定的息票收入。n债券定价原理：债券定价原理：债券的理论价格就是债券未来息票收入的现值和到期偿还值的现值之和。n基本符号和概念：基本符号和概念：P债券的理论价格； i投资者要求的收益率或市场利率；F债券的面值；C债券的偿还值；r债券的息票率；rF每期的息票收入；g债券的修正息票率；n息票的偿还次数；K偿还值按收益率i 计算的现值； G债券的基价，51债券价值n基本公式：基本公式：n溢价公式：溢价公式：n基价公式：基价公式：nMakeham公式：公式：52债券的账面价值n整数息票支付周期的债券价格和账面值整数息票支付周期的债券价格和账面值第k 期末的账面值为：n任意时点的账面值任意时点的账面值53第三章 生命表54生命表相关定义n生命表：反映在封闭人口的条件下，一批人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。n封闭人口：指所观察的一批人只有死亡变动，没有因出生的新增人口和迁入或迁出人口。 55生命表基本函数nlx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,-1。 nndx：在xx+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dxnnqx：x岁的人在xx+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为qx56生命表基本函数nxnxxldl100 xxdl1112110nxxxx nnxxxxxxxnnxttddddqllqqqqq (1)(2)(3)57生命表基本函数xxxx nx nxdqldllnpx： xx+n岁的存活概率,与nqx相对的一个函数。 当n=1，简记为px 。xnxxnllp1nxnxqp58生命表基本函数)(22nxxxnnxxnllndnnlL)(211xxxllLnLx：x岁的人在xx+n生存的人年数。人年数是表示人群存活时间的复合单位，1个人存活了1年是1人年，2个人每人存活半年也是1人年，在死亡均匀分布假设下，xx+n岁的死亡人数ndx平均来说存活了n/2年，而活到lx+n岁的人存活了n年，故当n=1时，59n ：x岁人群的平均余寿，表明未来平均存活的时间。当x为0时，表示出生时平均余寿，即出生同批人从出生到死亡平均每人存活的年数。 生命表基本函数1110 xxxxx ttTLLLL 1012xx ix iiTll nTx：x岁的人群未来累积生存人年数。在均匀分布假设下，xe00 xx txtxxxTlep dtdtll60生命表基本函数xnqnxxnnxnxxnxxnxxnqpldllldqxmnqnxmxnxmnxnxmnxnxxnxmxmnqppplllldq：表示x岁的人存活n年并在第n+1年死亡的概率， 或x岁的人在x+nx+n+1岁死亡的概率。：表示x岁的人在x+nx+n+m岁之间死亡的概率。01001xxxxxnxnn mnnnmqmqqqmqp 当时，；当时，；当时，。61生存分布n一、新生儿的生存函数n二、x岁余寿的生存函数n三、死亡力n四、整值平均余寿与中值余寿62nF(x)：新生儿未来存活时间（新生儿的死亡年龄）为x的分布函数。ns(x)：生存函数，它是新生儿活到x岁的概率，以概率表示为xp0。 新生儿在xz岁间死亡的概率，以概率的方式表示为：新生儿的生存函数)0()Pr()(xxXxF ,0f xFxx)0()Pr()(1)(xxXxFxs)()()()()Pr(zsxsxFzFzXx63新生儿的生存函数生命表函数中的存活人数lx 正是生命表基数l0与x岁生存函数之积，lx=l0s(x)而s(x)曲线形状如下图所示，64x岁余寿的生存函数Pr ( )(0)txqT xtt1Pr ( )(0)txtxpqT xtt 以（x）表示年龄是x岁的人，（x）的余寿以T(x)表示nx岁的人在t时间内存活的概率 tpx 当x=0时，T(0)=X ，正是新生儿未来余寿随机变量。nx岁的人在t时间内死亡的概率tqx65x岁余寿的生存函数n考虑x岁的人的剩余寿命时，往往知道这个人已经活到了x岁 ，tqx实际是一个条件概率)()()()(1)()(|PrxstxsxsxFxFxtFxXxtXxqxt66nx岁的人在x+tx+t+u的死亡概率 ，以概率的方式表示为： x岁余寿的生存函数xutqtxuxtxutxtxtxutxutqpppqqutxTtq)(Pr67整值剩余寿命n定义： 未来存活的完整年数，简记n概率函数(),( )1,0,1,K XkkT xkk( )x( )K x11Pr()Pr( )1)kxkxkxkxkxx kxkK XkkT xkqqpppqq68死亡力n定义： 的瞬时死亡率，简记n死亡力与生存函数的关系( )( )ln ( )( )( )xs xf xs xs xs x ( )xx0( )expexpxsx ttxsxs xdspds69死亡力70实际上生命表x岁平均余寿正是T(x)随机变量的期望值死亡力xe00 ( )xtxx ttxeE T xt pdtp dt71死亡力dtldtxtxx10dtlLtxx10dtlTtxx0n生命表x岁死亡人数dx正是生存人数函数lx+t与死亡力之积在 01上的积分n生命表x岁生存人年数Lx正是生存人数函数lx+t在01上的积分n生命表x岁累积生存人年数Tx正是生存人数函数lx+t在0上的积分72死亡力000000()txtxx ttxtxxtxdpt pdttdtdtp tp dtp dte 对于x岁期望剩余寿命 ，可以证明：0 xe73整值平均余寿与中值余寿 nx岁的整值平均余寿是指x岁未来平均存活的整数年数，不包括不满1年的零数余寿，它是整值余寿随机变量K(x)的期望值，以ex表示，xkkkkxxkxqkqpkxKEe00)(74整值平均余寿与中值余寿 1txtxqp22txtxqpxkkxxxxxxxkkpqqqqqqqk013323210由于，所以 75整值平均余寿与中值余寿 )()()(xSxKxT)()()(xSExKExTE21)(xSE1 2xxee由于故，在死亡均匀分布假设下，故，76整值平均余寿与中值余寿 21)()(Pr)()(PrxmxTxmxT5 . 0)()(xsxmxs中值余寿是(x)的余寿T(x)的中值，（x）在这一年龄之前死亡和之后死亡的概率均等于50 %，以m(x)表示x岁的中值余寿，则即， 77非整数年龄存活函数的估计n死亡均匀分布假设n死亡力恒定假设n巴尔杜奇(Balducci) 假设78有关非整数年龄的假设 n使用背景:n生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定， 估计分数年龄的生存状况n基本原理:插值法n常用方法n均匀分布假定(线性插值)n常数死亡力假定(几何插值)nBalducci假定(调和插值)79死亡均匀分布假设)() 1()() 10() 1()()1 ()(xsxstxstxxstxsttxs为整数，xxttqxsxsxstxstxsxsq)()1()()()()(假设死亡在整数年龄之间均匀发生，此时存活函数是线性的。80死亡均匀分布假设xxyxtyqtqyxstyxsyxsq1)()()(xxtxtqqxsxstxsxsxstxstxs1)1()()() 1()()()( (0t, 0y,0t+y) 81当假设死亡力在xx+1上恒定时， (x为整数，0t1)，死亡力恒定假设 txxttxpdtdln0txtdtpee由死亡力的定义，82死亡力恒定假设2/1xtx 1/2lnxxp 1/2()txtxxtpep若以表示，有此时，83巴尔杜奇(Balducci)假设以意大利精算师巴尔杜奇的名字命名，这一假设是当x为整数，0t1时，生存函数的倒数是t的线性函数，即) 1()()1 ()(1xstxsttxs84巴尔杜奇(Balducci)假设xxxtqttqq)1 (1xxyxtqtytqq)1 (1xtxtqtq)1 (1 （其中，0t1, 0y1, 0t+y1） 此时，85三种假定下的生命表函数函数均匀分布常数死亡力Balluccixtqxtptxyq()Ttx x tf tpxtqute1xtq1ute1(1)xxpt qxxtqyq11(1)xxyqyt qxqueut21(1)xxxpqt qute1txxxtqq11(1)xxqt q1 (1)xxt qtq86生命表的编制n一、生命表编制的一般方法n二、选择生命表87生命表编制的一般方法 n时期生命表(假设同批人生命表)：采用假设同批人方法编制，描述某一时期处于不同年龄人群的死亡水平，反映了假定一批人按这一时期各年龄死亡水平度过一生时的生命过程。 Dx：某年龄x岁的死亡人数； ： x岁的平均人数，即年初x岁人数与年末x岁人数的平均数，有时也用年中人数代替。 xP88nx岁的中心死亡率 （分年龄死亡率）为，生命表编制的一般方法xmxxxPDm n生命表分年龄中心死亡率 ：生命表分年龄死亡人数在分年龄生存人年数中的比例。 xmxxxLdm 89生命表编制的一般方法xxxLdm xxxxxxxxxqqdldlldm2222)(211xxxmmq22xmxmxmxm在死亡均匀分布假设下，有，变换后，通常 与 非常接近，实际中常用 近似90选择生命表n选择生命表构造的原因n需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。n需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失n选择生命表的使用91nxnxnxldq选择生命表函数关系1nxnxnxlldnxnxnxllp1nxnxmnxmldqnxmnxmnxnxmlllq192第四章 多减因表93定义n研究同批人受两个或两个以上减因影响陆续减少的数学模型就是多减因模型。与生命表一样，多减因模型通常用多减因表的形式表示，称为多减因表。94多减因表基本函数n ：确切年龄x 岁时，受(1),(2), （m)等m 个减因影响的人数。或者说x 岁暴露于m 个减因下的人数。n ：xx+n 岁由(k)减因减少的人数，k=1,2, m，当n=1 时，记为n ：xx+n 岁由所有减因减少的总人数，当n=1 时，记为( )Txl( )knxd( )Tnxd( )kxd( )Txd95多减因表基本函数n ：xx+n 岁由（k）减因产生的减少概率，也就是（k）减因使（x）离开 的概率，当n=1 时，记n ：x 岁的人在xx+n 由所有减因导致的减少概率n ：x 岁的人在xx+n 保留在原群体中的概率( )knxq( )Txl( )Tnxq( )Tnxp( )kxq96减因力n与生命表死亡力类似，在多减因下也有减因力，xt 时的总减因力定义为：97中心减力( )( )( )TTxxTxdmLn与中心死亡率的概念类似，在多减因分析中也有总中心减率和分减因中心减率，以 表示总中心减率，定义为，( )Txm( )( )mTkxxkmm( )( )( )112kkxxTxmqm( )( )( )112TTxxTxmqm98n构成多减因表的各个减因都可以依各自独立的死亡力构成单减因表，把由多减因表的各个减因构成的单减因表称为联合单减因表，它是单独考虑各个减因时生成的生命表。设联合单减因表的存活函数联合单减因表( )ktxp99各减因力的估计n恒定假设下恒定假设下n均匀分布假设下均匀分布假设下100联合单减因表的各减因均匀分布假设下的估计101联合单减因表的各减因均匀分布假设下的估计n当m=2 时，有，n当m=3时，有，102第五章 人寿保险103传统人寿保险产品n传统个人寿险产品的被保险人是单个人，以被保险人在保险期内死亡或生存为保险赔付或给付条件，预先规定保险金额的水平及其给付方式，并根据经验生命表和预定利率等预先确定保费水平和保单退保现金价值。n在实践中，传统个人寿险产品又分为定期寿险、终身寿险、两全保险等。104定期寿险n均衡保费定期寿险均衡保费定期寿险简称为定期寿险，保险费在约定的缴费期内均衡缴付，通常缴费期与保险期相同。n递增保费定期寿险递增保费定期寿险的保险费在缴费期内递增，在实践中常见的递增保费定期寿险是每年更新定期寿险。n保额递减定期寿险保额递减定期寿险的死亡赔付金额随着已投保时期的延长而降低，保险费通常采取均衡方式。实践中最常见的保额递减寿险是以抵押贷款余额为死亡赔付额，以还款期为保险期的定期保险。105两全保险n定义：定义：在规定的保险期内，如果被保险人死亡，保险人赔付死亡保险金，如果被保险人在保险满期存活，保险人给付生存保险金的保险产品。n非分红保险非分红保险根据精算假设和规定的保险金额确定保费和现金价值，投保人不分享公司红利。n分红保险分红保险的投保人每年以红利方式分享公司利润的一部分，实际上相当于增加了保险金额，或者在规定的保险金额下减少了保险费。106死亡年年末赔付寿险精算现值引例：定期寿险假如有100个40岁的人投保了1 000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末。如果预定年利率为3，各年预计的死亡人数为分别为1、2、3、4、5人，这时，每年的赔付支出及其折现值如表4-1所示： 107保单精算现值将各年的赔付现值加总，可以得到发行100张保单的未来赔付支出现值（元）：123451000 1.032000 1.033000 1.034000 1.035000 1.0313468.48 所以，平均每一保单的未来赔付现值为134.68元。这一现值被称为这一保单的保单的精算精算现值现值。108n(x) ：x岁开始投保的人 n ：对(x)的1单位元死亡年年末赔付的n年期定期寿险 的精算现值。n ：(x)在x+kx+k+1岁间死亡，年末x+k+1岁上的1单位 元赔付在利率i下折现到投保时的现值。n ：被保险人(x)在x+kx+k+1岁间死亡的概率n ：被保险人(x)在x+kx+k+1岁间死亡产生的死亡 赔付期望现值基本符号1k1: x nA1kxkqxkq1k109定期寿险1: x nA112n11n 1:0nkxxxxkx nkAqqqq定期寿险精算现值在投保时一次性缴清方式的净保费称为趸缴净趸缴净保费保费， 也就是保单发行时的精算现值。110终身寿险nAx：对(x)的1单位元死亡年年末赔付的终身寿险的精算现值。由于投保人(x)可能在k=0,1,2上死亡，因此，终身寿险精算现值Ax正是(x)在各年死亡赔付期望现值之和。01kxkkxqA上式的求和上限实际为-x-1其中，是生命表极限年龄，-1是按生命表能够存活的最大年龄。111生存保险n ：n年纯生存保险精算现值。 n定义：n年纯生存保险是以满期被保险人仍然存活为给付条件的生存保险。1:nnxnxkx nk nAqp1:nxA112两全保险xnnnkxkknxnxnxpqAAA101:= 11n ：对(x)的1单位元n年两全保险精算现值。n定义：对(x)的1单位元n年两全保险，是对(x)的n年定期寿险和n年纯生存保险的合险。nxA:113n ：对(x)的1单位元m年延期终身寿险的精算现值。n定义：对(x)的1单位元m年延期终身寿险，是从x+m岁起到被保险人终身止的1单位元寿险。延期m年终身寿险xmAmkxkkxmqA1终身寿险可以看成由一个n年定期寿险与一个延期n年终身寿险组合xnnxxAAA:1 114n ：对(x)的1单位元延期m年n年定期寿险的精算现值。n定义：对(x)的1单位元延期m年n年定期寿险是从x+m岁起到x+m+n年的定期寿险。延期m年的n年定期寿险 xnmA11nmmkxkkxnmqAmxnmxAA:11115标准递增变额寿险n定义：标准递增的变额寿险，是赔付额bK+1=k+1，k是从投保开始到死亡时存活的整数年数的变额寿险。n(IA)x ：标准递增的终身寿险的精算现值。n ：标准递增的n年定期寿险的精算现值。100()(1)kxxxkkkkIAkqA nxIA:1)(1111:00()(1)nnkxxkk n kx nkkIAkqA116标准递增变额寿险xnnkxknxAnAIA10:1)(11:111)(nkknxnxnxAAnIA从标准递增定期寿险的意义出发，可以得出另外两个不同的公式：11:)()(nxnxnxAnIAIAnn年标准递增的两全保险两全保险：是n年定期递增寿险精算现值与n年n单位元纯生存保险现值之和。其精算现值为， 117标准递减变额年金nxDA:1)(11111:00()()nnkxkx nx n kkkDAnkqAn定义：变额寿险当bK+1=n-k时，称为标准递减的定期寿险。 n ：标准递减的定期寿险精算现值。118死亡时赔付的寿险精算现值n定期寿险：n终身寿险： n两全保险：1:0ntx ntxx tApdt0txtxx txApdtiA11111:(1)x nx nx nx nx nx nx nAAAiiAAAA（死亡均匀分布假设下）（死亡均匀分布假设下）119死亡时赔付的寿险精算现值n终身递增寿险：nn 年定期的死亡时赔付标准递增寿险： nn 年标准递减的死亡时赔付寿险：()()xxiIAIA11:()()x nx niIAIA（死亡均匀分布假设下）11:()()xnxniDADA（死亡均匀分布假设下）（死亡均匀分布假设下）120关于 的计算n死亡时给付的寿险相当于把死亡发生年划分成m 个相等的部分，在死亡发生的那个部分的期末给付，并对m 趋于无穷大取极限。若以 表示在死亡发生的那个m 部分末给付1 单位元的终身寿险现值，则，121递推公式n寿险现值的递推公式给出了相邻年龄上寿险现值的关系，为寿险现值的计算提供了一种工具，也有利于深入理解寿险现值的意义。n对死亡年末赔付的1 单位元的终身寿险，有，122第六章 生存年金123生存年金产品n生存年金是以年金方式在被保险人生存期内的一系列给付，保险费通常采取在投保时一次性缴付的趸缴方式或者在一定时期内的均衡缴付的方式。n生存年金形式：l即期年金（immediate annuities）l延期年金(deferred annuities)l定期确定的生存年金l指数化年金l联合生存年金124生存年金精算现值 n纯生存保险纯生存保险：在约定的保险期满时，如果被保险人存活将得到规定的保险金额的保险。 n【例6.1】李明今年20岁，如果他能活到60岁，将能从保险公司得到1 000元的一次性给付。设利率i=6%，试写出这笔给付在李明20岁时的现值。 1:nxA125解：解：李明从20岁活到60岁的概率是 ，他在60岁获得这笔给付的期望值是：纯生存保险40204020402010000 (1)1000ppp 4020p40402010001.06p这笔给付在李明20岁时的现值通过利率折现得到：60402020877 6710.89195983 992lpl根据附表中国人寿保险业经验生命表（19901993年）（男女混合表）的资料得，l20 =983 992，l40=877 671，可以计算得, 所以，这笔给付的现值是：1 0000.891951.06-40=86.72（元）。126一般地：假设某人 x岁时开始投保，经过n年后如果仍然存活将得到k单位元的保险金，（x）存活n年的概率为 ，得到给付金的期望现值为：表明现在x岁的人有lx个，每人存入 元，到年末在利率i的作用下，形成的资金正好满足n年末存活的人每人1元的给付。 以 表示1单位单位元元n年纯粹生存保险现值年纯粹生存保险现值，即 纯生存保险nxpnxnnxnqpk0nxE1: xnA10nnnnxnxnxnxEvpvqvp (1)nxnxx nlEilnxE变换上式得，127与在复利下的现值系数vt和累积系数(1+i)t的作用类似，nEx是在利率和生者利下n年的折现系数， 为在利率和生者利下n年的累积系数。 纯生存保险1nxE11(1)nxnxnnxx nlpiElnxxxnllp1它是利率累积因子(1+i)t与生存累积因子之积。128年付一次生存年金的精算现值n定义：生存年金生存年金是以生存为条件发生给付的年金。如果被保险人在规定的时期内存活，则发生年金的收付，否则，停止收付。n一般类型：终身年金、定期年金、延期年金129终身生存年金n【例6.3】 张华今年30岁，从今年起，只要他存活，可以每年年初获得1000元的给付。计算这一年金的精算现值。12302303001 000+1 0001.091 0001.09=1 0001.09kkkppp解：解： 代入相应的存活概率和利率，就可以计算出这一年金的精算现值。130期首付终身生存年金12001kxxxkxkxkkaEEEp 一般地，对(x)的每年1单位元期首终身生存年金，其精算现值以表示，它是一系列保险期逐步延长的纯粹生存保险之和，如下图所示：其中， 0Ex=1，求和上限实际是-x-1，为方便通常写成。xa 131期末付终身生存年金1kxkxEa对（x）每年1单位元期末付终身年金，如下图所示：其精算现值以ax表示： 132定期生存年金nxa: 1xx n:0 xNNDnkxx nkaEx 1x n 1:1xNNDnkxx nkaE n一般地，对（x）的每年1单位元n年定期期首付生存年金，精算现值以 表示， n类似地，对(x)的每年1单位元n年定期期末付生存年金精算现值为：133对（x）的n年延期每年1单位元延期期首付年金的精算现值以延期生存年金xna xxNDxkxnk naExnnxxaaa :nxxnxnaEa n年延期生存年金年延期生存年金: 从计算时点起延迟n年开始收付的生存年金表示。根据定义,显然，134延期生存年金1nkxkxnEaxnnxxaaa:nxxnxnaEan年延期的期末付终身生存年金现值为：同样地， 135延期定期生存年金延期定期生存年金：延期年金和定期年金的一种组合形式。对(x)的n年延期m年定期每年1单位元期首付生存年金，是从x+n 起到x+n+m-1的生存年金。其支付情况下图所示：其精算现值以 或 表示，根据定义,延期定期生存年金xmna :nx ma 1mnnkxkxmnEa 136对(x)的n年延期m年定期每年1单位元期末付生存期末付生存年金年金，是从x+n+1 起到x+n+m的生存年金。其精算现值以延期定期生存年金xmna:nx mamnnkxkxmnEa1或 表示，根据定义： 137期首付年金和期末付年金精算现值的关系式。1xxaa xnnxnxEaa:1 1:1nxnxaa xnxnxnEaa xnxnaa1 xmnxmnaa1 延期定期生存年金138连续生存年金给付现值n终身连续生存年金n定期连续生存年金139连续生存年金给付现值n延期连续生存年金n延期定期连续生存年金140生存年金与寿险的关系141n背景背景：实践中年金常常是每半年、一季度或一个月支付一次，由于生命表不直接提供非整数年龄的存活概率和死亡概率，必须在一定的假设下近似计算。 对（x）的每年给付1元，一年给付m次的期首付终身生存年金，其精算现值以 表示，这一年金在每个 (k=0,1,2,)上收付1/m，直到被保险人死亡为止。年付m次生存年金)(mxa kxm00)(11kxmkmkkxmkmxpmEma 142近似公式()12mxxmmaa()12mxxmmaa()12nxmxxnnmEmaa()12nxmxxnnmEmaan对（x）的每年1单位元，每次1/m的期末付的终身生存年金精算现值n对（x）的n年延期每年1单位元，一年m次收付的期末付生存年金精算现值n对（x）的n年延期每年1单位元一年m次收付的期末付生存年金精算现值n对（x）的每年1单位元，每次1/m的期首付的终身生存年金精算现值143近似公式)1 (21:)(:xnnxmnxEmmaa)1 (21:)(:xnnxmnxEmmaa n对（x）的n年定期一年m次期末付年金，精算现值为：n对（x）的n年定期一年m次期末付年金，精算现值为：144当 时，上面的年金称为终身变额年金。n变额年金变额年金：年金收付的数额随给付时期的不同而变动。n变额年金的精算现值是一系列收付款在利率和生者利下现值之和。如果对(x)的n年定期生存年金，给付额在年龄x，x+1，x+n-1上分别为 ，则精算现值（Actuarial Present Value，简记为 APV）为，变额生存年金11,nxxxbbb1)(nxxyxxyxyyxpbAPVxn145n一年给付m次，期首付变额年金精算现值：n一年给付m次，期末付变额年金精算现值：变额生存年金1():1()x nmy xxyy xxyy xAPVbap 1():1()x nmy xxyy xxyy xAPVbap 146如果年金收付额 系列为1，2，3 等差递增，这一年金称为标准等差递增年金，对终身期首付标准递增年金，其精算现值用 表示，如下图所示：等差递增生存年金ybxaI )( 0) 1()(kxkkxpkaI 147n期末付终身标准递增年金精算现值，n期首付n年定期标准等差递增年金精算现值n期末付n年定期标准等差递增年金精算现值等差递增生存年金1)(kxkkxpkIa1-n0:) 1()(kxkknxpkaI nkxkknxpkIa1:)( 148等差递增生存年金0 xx ttSN1111121100()txtxtttttxtxtxtttxxxx kxxkkkxxIatvpvpvpvpaaaNSaDD 为了得出数字结果，引入转换函数，设有，149当变额年金收付额 系列为n，n-1， 1等差递减时，这时期首付的年金现值以 表示，如下图所示：等差递减生存年金 ybnxaD:)( 1-n0:)-()(kxkknxpknaD n1:)-()(kxkknxpknDa期末付的年金现值150设 ，即 上式成为，n实践中，某些给付确定型养老金计划和社会养老保险的收付额等比例递增，这种等比例递增的年金精算现值有一个简化计算公式。n如果对(x)的n年定期期首付生存年金，给付额在年龄x，x+1，x+n-1上分别为b，b(1+g)，b(1+g)2，b(1+g)n-1，其精算现值为，1)1 ()(nxxyxxyxyxyxpgbAPVjg11)1 (ggij1jnxnxxyxxyxyxabpbAPV:1)()( （这是一个以利率j计算的给付额为b的确定年金的精算现值）等比例变额生存年金151生存年金递推公式n可见，对(x)的终身生存年金的趸缴净保费，等于永续年金与一系列逐年因死亡不能得到的将来年金部分之差。152第七章 保险费153总保费与净保费的意义n保险产品的出售价格就是购买保险必须缴付的总保费，或简称保费。理论上，保险产品的总保费可以分为性质不同的两部分，一部分是作为保险金给付来源的保费，称为净保费或纯保费另一部分是作为保险公司补偿费用支出并获得一定利润的保费，称为附加保费。154n设保险金的现值为A，每次净保费为P，每次1单位的生存年金现值为 ，有：均衡净保费 a a A=P155一般地，对(x)的1单位元n年定期寿险，保险金在死亡年末赔付，如保险费在t年内缴清(tn)，这时，年缴净保费用 表示，由收支平衡关系式，有，nxtP:1当缴费期与保险期限相等时，用 表示年缴净保费，定期寿险年缴净保费 txnxnxtaAP:11 nxP:111:x nx nx nAPa156txnxnxtaAAP:11)( nxtPi:111:()x nx nx nAP AanxPi:1净保费若保险金在被保险人死亡时赔付，t年限期缴费的年缴净保费以 表示，（在死亡均匀分布假设下） 当t=n时，以 表示年缴净保费， （在死亡均匀分布假设下） )(:1nxtAP)(:1nxAP157对(x)的死亡年末赔付1单位元终身寿险，如果规定保费每年一次终身缴付，这时保险费的现值是终身生存年金精算现值，以Px表示这一保险的年缴均衡净保费，有，终身寿险年缴净保费xxxAaP xxxaAP 158n死亡时赔付年缴净保费nn年缴清保费、1元死亡年末赔付终身寿险的年缴净保费nn年缴清保费、1元死亡时赔付终身寿险的年缴净保费终身寿险年缴净保费()xxxxAiP APanxxxnaAP: :()xxnnxx nAiP APa（在死亡均匀分布假设下）实践中，终身寿险往往采取在n年内缴费的方式。缴费期越多，保险公司收回成本的时间越短，相应的风险就越低。（在死亡均匀分布假设下）159当t=n时，年缴净保费以 表示，有，采取定期寿险和终身寿险相同的计算方法，很容易给出两全保险的年缴净保费计算公式。对(x)的1单位元n年定期两全保险，如果死亡赔付在死亡年年末，保费在t年内每年一次、均衡缴付，tn，这时，年缴净保费以 表示。两全保险年缴净保费 nxtP:txnxnxtaAP: nxP:nxnxnxaAP: 160两全保险年缴净保费txnxnxtaAAP:)( nxnxnxaAAP:)( txnxnxtaAP:11 nt年缴清死亡时赔付两全保险的年缴净保费n在上式中，当t=n时的年缴净保费nn年1元纯粹生存保险，t年缴清的年缴净保费161对（x）的n年延期生存年金，若年金每年支付一次，每次1单位元，保费在t年内缴清(tn)。年缴均衡净保费以 表示，按照保险金支付与净保费收入的平衡关系，有，延期年金年缴净保费 )(xntaP txxnxntaaaP:)( 162表示每年分次等额缴费的年缴净保费年缴净保费， 表示每年元缴付次的年金现值，表示保险金现值，以收支平衡原则，有，如果保费每半年、一季、一月等缴付一次，这时未来净保费现值是一个一年多次收付的生存年金现值。如果以一年多次缴费的净保费 )(mP)(ma AaPmm)()( )()(mmaAP 163一年次缴费净保费计算公式 164一年次缴费净保费计算公式 165一年多次缴费的净保费n期首期首支付，一年m次缴费的延期生存年金延期生存年金，年缴净保费：n期末期末支付，一年m次缴费的延期生存年金延期生存年金，年缴净保费：)(:)()(mnxxnxnmaaap )(:)()(mnxxnxnmaaap 166退还保费保单的净保费n【例7.10】对(x)的n 年定期寿险，如果被保险人在保险期内死亡，除了赔付10 000 元外，还退还过去已缴净保费的累积，假设保险赔付在死亡年年末，保险费每年缴付一次，n年付清。计算下面两种情况下的年缴均衡净保费。n(1)退还的保费部分不计利息。n(2)退还的保费部分以不同于保单预定利率i 的利率j 复利累计。n(3)退还的保费部分以保单定价预定利率复利累计。167例题解答n(1) 设每年的净保费为P，如果退还的保费不计息，这时，在被保险人死亡年年末退还的保费部分是过去已缴净保费的累加，其给付以被保险人死亡为条件，故，构成一个定期递增的寿险，其收支平衡公式为，168例题解答n(2) 如果退还的保费部分以利率j 计息，退还保费部分的给付额是一个随被保险人死亡时间变动的年金终值。即， ，其现值变量为，169例题解答n(3) 如果退还保费的累积利率等于预定利率，这时在(2)中的E(w)成为，170总保费n在保险精算实务中，传统的总保费计算方法是将总保费分解为净保费和附加保费两部分，在净保费上，加上补偿费用和预防不利偏差的附加保费，形成总保费，这种方法称为净保费加成法。随着精算技术和计算机技术的发展，考虑更多未来变动因素的现金流量定价法开始使用，在这种方法下，保费不需要分解为净保费和附加保费，而是按照满足未来赔付或给付、费用、退保、税金、红利等所有可能支出并获得合理利润的原则下，根据对未来现金流量的预测确定。171净保费加成法n固定比例法固定比例法n变动比例法变动比例法n三元素法三元素法172现金流量法n现金流量法是通过对一组保单未来保单年度预期收入和预期支出的估计，研究保单组随被保险人死亡、退保、分红、满期等的过程，在一定的定价策略和利润目标下，给出保单的定价。在现金流量方法下，对一个保单组，年度收入为保单组的所有保费收入和投资收入，年度支出包括保险赔付、费用、退保、满期给付、红利、准备金增加额等，年度利润就是年度收入与年度支出的差。这样，n利润利润= 保费保费+投资收入投资收入 费用赔付支出退保支出红利准备金增加费用赔付支出退保支出红利准备金增加173第八章 责任准备金174准备金的意义n准备金(reserve)：为将来某项支出而预先留存的储备金，是将来给付支出现值与将来净保费收入现值之差。 n准备金数额由准备金计算方法、相关的保险法律、法规、会计实务标准等决定。在保险实践中，给付准备金的积累保证了保险公司的到期偿付能力。 175准备金的种类 n偿付能力准备金(Solvency Reserves) ：为评估保险公司的偿付能力而计算的准备金。 n收入准备金(Earnings Reserves) ：为评估收入和盈利而计算的准备金。(收益=保费收入+投资收入赔付支出展业费用维持费用准备金提存)n税收准备金(Tax Reserves) ：为评估应税收入或应税收益而计算的准备金。 176净保费责任准备金计算方法n未来法（prospective method） ：责任准备金是保险人未来的净责任，用未来给付现值减去未来净保费现值来衡量。n过去法（retrospective method） ：责任准备金是保险人过去净保费收入大于赔付支出的部分，用过去净保费终值减去过去给付的保险金终值计算。 177将来法引例8.1 假如有100个40岁的人同时投保1 000元5年定期寿险，保费在5年内均衡缴付。设预定利率为6，预定死亡率采用CL 90-93表数据，保费缴付在保单年初，保险赔付在保单年末，不考虑费用、退保和分红等。计算未来5年的预期净保费收入和预期赔付支出。178解答人均年缴均衡净保费为，预期净保费收入、预期赔付支出，如下表所示，404540451460.7 1339.5100010003.013134156.4 93953.9MMPNN元179180推导1n从表中数据可见，在2年内，当年净保费收入大于当年保险赔付支出，净保费有结余；但从3年起，当年净保费收入不足当年赔付支出。为了保证赔付，必须动用过去积累的准备金。 准备金的数额正是保证未来赔付支出超出未来净准备金的数额正是保证未来赔付支出超出未来净保费收入的金额。保费收入的金额。n 某时点的给付准备金某时点的给付准备金+未来净保费收入现值未来净保费收入现值=未来未来赔付支出现值赔付支出现值某时点的给付准备金某时点的给付准备金=未来赔付支出现值未来赔付支出现值-未来净保费收未来净保费收入现值入现值181推导2 引例8.1中，未来净保费收入和赔付支出现金流如下图所示： 依据上面现金流，可以计算净保费收入和赔付支出的现值，以及各年的给付准备金。182第1年末的给付准备金总额=1 140.305-1 098.75=41.329(元)第1年末人均给付准备金=41.329/99.72 =0.414(元)第2年末，未来赔付支出现值=第1年末，未来赔付支出现值=推导3234297.35318.33341.19366.121140.3051.061.061.061.06 元23299.65298.69297.66300.541098.9751.061.061.06 元23318.33341.19366.12910.3731.061.061.06元12298.69297.66299.65846.3401.061.06元 未来净保费收入现值未来净保费收入现值= 未来净保费收入现值未来净保费收入现值=第2年末的给付准备金=910.373-846.340=65.033 (元)第2年末人均给付准备金=65.033/99.42=0.654 (元)人均给付准备金正是每张有效保单需要积存的准备金数额。人均给付准备金正是每张有效保单需要积存的准备金数额。183对于（x）岁的1单位元终身寿险，如果保费每年缴付一次、终身缴付，假设死亡赔付在死亡年年末。这时，年缴净保费为 ，在投保后第k年末，未来给付的精算现值为 ，未来净保费的精算现值为 ，k年末的给付准备金用 表示，有，终身寿险责任准备金xxxaAP kxAkxxaP xkVkxxkxxkaPAV 184如果终身寿险的保险费在h年内缴清，k年末的责任准备金用 表示。k年末的未来保费缴付期为h-k，当kh时，未来净保费现值为 ，当kh时，未来净保费现值为0。因此，有，保险费在h年内缴清xhkV:hxx h h kP a:hkxx khxx k h kVAPakh hkxx kVAkh 185如果终身寿险限期在h年缴费， 表示为k年末责任准备金如果保费一年缴付m次，这时， 表示为终身寿险终身缴费的t年末责任准备金保费一年缴付m次)(mxkV)()()(mkxmxkxmxkaPAV )(mxhkV()()():hmmmkxx khxx k h kVAPakh hkxx kVAkh 186如果保险费每年一次，h年限期缴清，这时，t年末的准备金 为，如果终身寿险在死亡时赔付，相应的k年末保险金现值为 ，对每年一次的终身缴费寿险，责任准备金相应的表示为保费一年缴付m次()()xx kxkx kV AAP A a:()()hxx kxkhx k h kV AAP A akh ()hxx kkV AAkh kxA)(xkAV)(xhtAV187定期寿险责任准备金定期寿险给付准备金的计算公式与终身寿险类似，对(x)的1单位元n年死亡年末赔付定期寿险，如果保险费每年一次、n年缴清，k年末的给付准备金为，111:kx k n kx nx nx k n kVAP a188定期寿险责任准备金111:hkhx k h kx nx nx k n kVAP akh 11: hkx nx k n kVAkh 如果保费在h年内缴付，（hn），k年末的给付准备金为，189定期寿险责任准备金如果保费在h年内缴付（hn）、一年m次，k年末的给付准备金为， 111:()()():xnxnhmmmkhx k h kx k n kVAPakh 11(): hmkx nx k n kVAkh 190定期寿险责任准备金111:()()():()xnxnhmmmx k n kkhx k h kVAAPakh 11(): hmx k n kkx nVAkh 如果死亡赔付在死亡时，上面的保险k年末给付准备金为，在均匀死亡假定下，11:xnxniAA，其他的计算方法同上 191n对于两全保险，合同到期时保险公司将要支付被保险人生存保险金，从而最后一年末单位保额两全保险的责任准备金应该等于1。n对(x)的n年两全保险，如果死亡赔付在死亡年年末，保险费在h年内缴清、每年一次，(