六年级奥林匹克数学基础教程 17 操作问题

小学数学奥数基础教程 操作问题所谓操作问题，实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换，这种变换可以具体执行。例如，对任意一个自然数，是奇数就加1，是偶数就除以2。这就是一次操作，是可以具体执行的。操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果。例1 对于任意一个自然数 n，当 n为奇数时，加上121；当n为偶数时，除以2。这算一次操作。现在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100？为什么？讨论：同学们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到这个过程还可以继续下去，虽然一直没有得到100，但也不能肯定得不到100。当然，连续操作下去会发现，数字一旦重复出现后，这一过程就进入循环，这时就可以肯定不会出现100。因为这一过程很长，所以这不是好方法。解：因为231和121都是11的倍数，2不是11的倍数，所以在操作过程中产生的数也应当是11的倍数。100不是11的倍数，所以不可能出现。由例1看出，操作问题不要一味地去“操作”，而要找到解决问题的窍门。例2 对任意两个不同的自然数，将其中较大的数换成这两数之差，称为一次变换。如对18和42可进行这样的连续变换：18， 42 18， 24 18， 6 12， 6 6， 6。直到两数相同为止。问：对12345和54321进行这样的连续变换，最后得到的两个相同的数是几？分析与解：如果两个数的最大公约数是a，那么这两个数之差与这两个数中的任何一个的最大公约数也是a。因此在每次变换的过程中，所得两数的最大公约数始终不变，所以最后得到的两个相同的数就是它们的最大公约数。因为12345和54321的最大公约数是3，所以最后得到的两个相同的数是3。注：这个变换的过程实际上就是求两数最大公约数的辗转相除法。例3 右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上。开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着0。然后转动圆盘，每次可以转动90的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上。问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是999？解：不可能。因为每次加上的数之和是 1234=10，所以黑板上的四个数之和永远是10的整数倍。 9994=3996，不是10的倍数，所以黑板上的四个数不可都是999。例4 在左下图中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1，这算作一次操作。经过若干次操作后，左下图变为右下图。问：右下图中A格中的数字是几？分析与解：每次操作都是在相邻的两格，我们将相邻的两格染上不同的颜色（见右图）。因为每次操作总是一个黑格与一个白格的数字同时加1或减1，所以所有黑格内的数字之和与所有白格内的数字之和的差保持不变。因为原题左图的这个差是13，所以原题右图的这个差也是13。由（A12）-12=13解得 A=13。例5 将110十个数随意排成一排。如果相邻两个数中，前面的数大于后面的数，那么就交换它们的位置。如此操作下去，直到前面的数都小于后面的数为止。当110十个数如下排列时，需交换多少次？8，5，2，6，10，7，9，1，4，3。分析与解：为了不打乱仗，我们按照一定的方法来交换。例如，从最大的数10开始交换，将10交换到它应在的位置后，再依次对9，8，7，实施交换，直至按从小到大排列为止。因为10后面有5个比它小的数，所以对10连续交换5次，10到了最右边，而其它各数的前后顺序没有改变；再看9，9后面有3个比它小的数，需交换3次，9到了右边第二位，排在10前面；再依次对8，7，6，实施这样的交换。10后面有5个比它小的数，我们说10有5个逆序；9后面有3个比它小的数，我们说9有3个逆序；类似地，8，7，6，5，4，3，2依次有7，3，3，4，1，0，1个逆序。因为每个数要交换的次数就是它的逆序数，所以需交换537334101= 27（次）。例6右图是一个56的方格盘。先将其中的任意5个方格染黑。然后按以下规则继续染色：如果某个格至少与两个黑格都有公共边，那么就将这个格染黑。这样操作下去，能否将整个方格盘都染成黑色？分析与解：以一个方格的边长为1，开始时5个黑格的总周长不会超过45=20。以后每染一个格，因为这个格至少与两个黑格都有公共边，所以染黑后所有黑格的总周长不会增加。左下图中，A与4个黑格有公共边，染黑后，黑格的总周长将减少4；下中图中，A与3个黑格有公共边，染黑后，黑格的总周长将减少2；右下图中，A与2个黑格有公共边，染黑后，黑格的总周长不变。也就是说按照这种方法染色，所有黑格的总周长永远不会超过20，而56方格盘的周长是 22，所以不能将整个方格盘染成黑色。练习171.黑板上写着115共15个数，每次任意擦去两个数，再写上这两个数的和减1。例如，擦掉5和11，要写上15。经过若干次后，黑板上就会只剩下一个数，这个数是几？2.在黑板上任意写一个自然数，然后用与这个自然数互质并且大于1的最小自然数替换这个数，称为一次操作。问：最多经过多少次操作，黑板上就会出现2？3.口袋里装有101张小纸片，上面分别写着1101。每次从袋中任意摸出5张小纸片，然后算出这5张小纸片上各数的和，再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中。经过若干次这样的操作后，袋中还剩下一张纸片，这张纸片上的数是几？4.在一个圆上标出一些数：第一次先把圆周二等分，在两个分点分别标上2和4。第二次把两段半圆弧分别二等分，在分点标上相邻两分点两数的平均数3（见右图）。第三次把四段弧再分别二等分，在四个分点分别标上相邻两分点两数的平均数。如此下去，当第8次标完后，圆周上所有标出的数的总和是多少？5.六个盘子中各放有一块糖，每次从任选的两个盘子中各取一块放入另一个盘子中，这样至少要做多少次，才能把所有的糖都集中到一个盘子中？6.将110十个数随意排成一排。如果相邻两个数中，前面的大于后面的，那么就交换它们的位置。如此操作下去，直到前面的数都小于后面的数为止。已知10在这列数的第4位，那么最少要交换多少次？最多要交换多少次？7.在右图的方格表中，每次给同一行或同一列的两个数加1，经过若干次后，能否使表中的四个数同时都是5的倍数？为什么？答案与提示练习171.106。提示：操作一次，黑板上的数减少1个，数字总和减少1。经过14次操作，剩下的一个数是（1+2+15）-14=106。2.2次。提示：若写的是奇数，则只需1次操作；若写的是大于2的偶数，则经过1次操作变为奇数，再操作1次变为2。3.51。提示：口袋中所有纸片的数字之和的后两位数保持不变。4.758。提示：第一次标完数后，以后每次标上的数字之和都等于上次圆周上的所有数字之和，即每次标完数后，圆周上的所有数字之和是原来的2倍。第8次标完后的总和是628-1=627=768。5.4次。提示：将各次操作表示如下：（1，1，1，1，1，1）（0，3，1，1，1，0）（2，2，1，1，0，0）（4，1，1，0，0，0）（6，0，0，0，0，0）。6.6次；42次。提示：与例5类似，当十个数按1，2，3，10，4，5，6，7，8，9排列时，交换的次数最少，要交换6次；当十个数按9，8，7，10，6，5，4，3，2，1排列时，交换的次数最多，要交换42次。7.不能。解：要使第一列的两个数1，4都变成5的倍数，第一行应比第二行多变（3+5n）次；要使第二列的两个数2，3都变成5的倍数，第一行应比第二行多变（1+5m）次。因为（3+5n）除以5余3，（1+5m）除以5余1，所以上述两个结论矛盾，不能同时实现。注：m，n可以是0或负数。