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系列4部分选修4-4坐标系与参数方程第一节坐标系【教材基础回顾】1.伸缩变换_其中点P(x,y)对应到点P(x,y).xx,(0),yy,0)（2.极坐标系与点的极坐标在如图极坐标系中,点O是_,射线Ox是_,为_(通常取逆时针方向),为_(表示极点O与点M的距离),点M的极坐标是_.极点极轴极角极径M(,)3.直角坐标与极坐标的互化设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(,),则 2_,x _,y _,tan_. y(x 0)xcos sin x2+y2 【金榜状元笔记】1.明辨两个坐标伸缩变换关系式 点(x,y)在原曲线上,点(x,y)在变换后的曲线上,因此点(x,y)的坐标满足原来的曲线方程,点(x,y)的坐标满足变换后的曲线方程.xx(0)yy(0) ，2.极坐标方程与直角坐标方程互化(1)公式代入:直角坐标方程化为极坐标方程公式x=cos 及y=sin 直接代入并化简.(2)整体代换:极坐标方程化为直角坐标方程,变形构造形如cos ,sin ,2的形式,进行整体代换. 【教材母题变式】1.在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换 后,曲线C变为曲线2x2+8y2=1,求曲线C的方程.【解析】把 代入曲线2x2+8y2=1,可得2(5x)2+8(3y)2=1,化为50 x2+72y2=1,即为曲线C的方程.x5xy3y，x5xy3y2.已知点M的直角坐标是(-1, ),求点M的极坐标.【解析】因为点M的直角坐标是(-1, ),所以 所以= 所以点M的极坐标为 33 223132 tan301， ， ），23；2(2).3，3.在极坐标系中,求过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程.【解析】在直角坐标系中,过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是x=1,其极坐标方程为cos =1.4.已知直线l的极坐标方程为2sin求点 到直线l的距离.【解析】直线l的极坐标方程为2sin 对应的直角坐标方程为:y-x=1,点A的极坐标为 它的直角坐标为(2,-2).点A到直线l的距离为: ()24，7A(2 2)4，()24，7A(2 2)4， ，2 2 15 2.22 【母题变式溯源】题号题号知识点知识点源自教材源自教材1 1伸缩变换伸缩变换P8T5P8T52 2求点的极坐标求点的极坐标P12T5P12T53 3求直线的极坐标方求直线的极坐标方程程P15T2(2)P15T2(2)4 4极坐标方程的应用极坐标方程的应用P15T5P15T5考向一 伸缩变换【典例1】在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 后的图形.(1)5x+2y=0.(2)x2+y2=1.1xx21yy3，【解析】伸缩变换 (1)若5x+2y=0,则5(2x)+2(3y)=0,所以5x+2y=0经过伸缩变换后的方程为5x+3y=0,为一条直线.1xxx 2x21y 3yyy3则，(2)若x2+y2=1,则(2x)2+(3y)2=1,则x2+y2=1经过伸缩变换后的方程为4x2+9y2=1,为椭圆.【一题多变】经过伸缩变换 后,曲线C变为本例(2)中变换前的曲线,求曲线C的方程.【解析】把 代入方程x2+y2=1,得25x2+9y2=1,所以曲线C的方程为25x2+9y2=1.x5xy3y，x5xy3y【技法点拨】伸缩变换后方程的求法平面上的曲线y=f(x)在变换: 的作用下的变换方程的求法是将 代入y=f(x),得xx(0),yy(0) xx,yy 整理之后得到y=h(x),即为所求变换之后的方程.提醒:应用伸缩变换时,要分清变换前的点的坐标(x,y)与变换后的坐标(x,y).yxf( )，【同源异考金榜原创】1.求曲线x2+y2=1经过: 变换后得到的新曲线的方程.x3x,y4y【解析】曲线x2+y2=1经过: 变换后,即将 代入圆的方程.可得 即所求新曲线方程为: x3x,y4yxx,3yy422xy1916 ，22xy1.9162.在同一坐标系中,求将曲线y= sin 3x变为曲线y=sin x的伸缩变换公式.【解析】将曲线y= sin 3x经过伸缩变换变为y=sin x即y=sin x,设伸缩变换公式是1212xx(0,0)yy ，把伸缩变换关系式代入式得:y=sin x与的系数对应相等得到: 变换公式为: 23，x3xy2y.，考向二 极坐标与直角坐标的互化【典例2】在极坐标系下,已知圆O:=cos +sin 和直线l: 2sin().42(1)求圆O和直线l的直角坐标方程.(2)当(0,)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.【解析】(1)圆O:=cos +sin ,即2=cos +sin ,圆O的直角坐标方程为:x2+y2=x+y,即x2+y2-x-y=0,直线l: 即sin -cos =1,2sin()42，则直线l的直角坐标方程为:y-x=1,即x-y+1=0.(2)由 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为 22x 0 xyx y 0y 1x y 1 0 ，得，(1, ).2【误区警示】1.极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式.2.在极坐标系下,点的极坐标不唯一性易忽视.如极坐标(,)(,+2k)(kZ),(-, +2k)(kZ)表示同一点的坐标.【技法点拨】1.极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程:将公式x=cos 及y=sin 直接代入直角坐标方程并化简即可.(2)极坐标方程化为直角坐标方程:通过变形,构造出形如cos ,sin ,2的形式,再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形技巧.2.极角的确定由tan 确定角时,应根据点P所在象限取最小正角.(1)当x0时,角才能由tan = 按上述方法确定.(2)当x=0时,tan 没有意义,这时可分三种情况处理:当x=0,y=0时,可取任何值;当x=0,y0时,可取= 当x=0,y0),M的极坐标为(0,)(00),由题设知|OP|=,|OM|=0,由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程=4cos (0),因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).(2)设点B的极坐标为(B,)(B0),由题设知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB的面积S= Bsin AOB=4cos 当= 时,S取得最大值2+ 所以OAB面积的最大值为2+ 1|OA|2|sin ()|332|sin (2)| 23.32 123.3.【技法点拨】判断位置关系和求最值问题的方法(1)已知极坐标方程讨论位置关系时,可以先化为直角坐标方程,化陌生为熟悉再进行解答.(2)已知极坐标方程解答最值问题时,通常可转化为三角函数模型求最值问题,比直角坐标系中求最值的运算量小.提醒:在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,注意转化的等价性. 【同源异考金榜原创】命题点1位置关系问题1.在极坐标系中,判断直线4cos (- )+1=0与圆=2sin 的公共点的个数.6【解析】直线方程可化为2sin + cos +1=0,即 x+2y+1=0,圆为x2+(y-1)2=1,因为圆心到直线的距离d= 1,所以有两个交点.2 32 334命题点2弦长问题2.在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x- )2+(y+1)2=9,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的极坐标方程.(2)直线OP:= (R)与圆C交于点M,N,求线段MN的长.36【解题指南】(1)利用直角坐标方程化极坐标方程的方法,求圆C的极坐标方程.(2)利用|MN|=|1-2|,求线段MN的长.【解析】(1)(x- )2+(y+1)2=9可化为x2+y2-2 x+2y-5=0,故其极坐标方程为2-2 cos +2sin -5=0.333(2)将= 代入2-2 cos +2sin -5=0,得2-2-5=0,所以1+2=2,12=-5,所以|MN|=|1-2|= 634 202 6.命题点3最值问题3.在极坐标系中,点A在圆C:2-2cos -4sin +4=0上,点P的坐标为(1,0),求|AP|的最小值【解析】圆C:x2+y2-2x-4y+4=0(x-1)2+(y-2)2=1,所以|AP|min=|PC|-r=2-1=1.4.在极坐标系中,已知点 点P是曲线sin 2=4cos 上任意一点,设点P到直线cos +1=0的距离为d,求|PA|+d的最小值A(1)2，【解析】点 化为直角坐标为(0,1).曲线sin 2=4cos ,即2sin 2=4cos ,可得直角坐标方程:y2=4x.焦点F(1,0).直线cos +1=0化为直角坐标方程:x+1=0.由抛物线的定义可得:d=|PF|.A(1)2，所以|PA|+d=|PA|+|PF|AF|= 则|PA|+d的最小值为 22112.2.核心素养系列（六十）数学建模极坐标方程中的核心素养建立有关曲线的极坐标方程,研究解析几何中位置关系、交点坐标、弦长和最值问题.【典例】(2015全国卷)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程.(2)若直线C3的极坐标方程为= (R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.4【解析】(1)因为x=cos ,y=sin ,所以C1的极坐标方程为cos =-2,C2的极坐标方程为2-2cos -4sin +4=0.(2)将= 代入2-2cos -4sin +4=0,得2-3 +4=0,解得1=2 ,2= .故1-2= ,即|MN|= .由于C2的半径为1,所以C2MN的面积为 .42222212
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