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2020年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第四章4.4三角函数的图像与性质考纲要求1能画出ysin x，ycos x，ytan x的图像，了解三角函数的周期性2理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性3了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出函数yAsin(x)的图像；了解参数A，对函数图像变化的影响4了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题知识梳理1周期函数及最小正周期对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有_，则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫作f(x)的最小正周期2正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质函数ysin xycos xytan x图像定义域xRxRxR且xk，kZ值域_单调性在_上递增，kZ；在_上递减，kZ在_上递增，kZ；在_上递减，kZ在_上递增，kZ最值x_(kZ)时，ymax1；x_(kZ)时，ymin1x_(kZ)时，ymax1；x_(kZ)时，ymin1无最值奇偶性_对称对称中心_对称轴_无对称轴最小正周期_3yAsin(x)的有关概念YAsin(x)(A0，0)，x0，)振幅周期频率相位初相AT_f_x4用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示X_x02yAsin(x)0A0A05函数ysin x的图像变换得到yAsin(x)(A0，0)的图像的步骤基础自测1函数ycos的图像的一条对称轴方程是()Ax BxCx Dx2函数f(x)tan x(0)的图像的相邻的两支截直线y所得线段长为，则f的值是()A0 B1 C1 D 3把ysinx的图像上点的横坐标变为原来的2倍得到ysin x的图像，则的值为()A1 B4 C D24已知函数f(x)2sin(x)的最小正周期是，且f(0)，则()A， B， C2， D2，5已知函数f(x)2sin的图像如图所示，则f_.思维拓展1是否每一个周期函数都有最小正周期？提示：不一定如常数函数f(x)a，每一个非零数都是它的周期2正弦函数和余弦函数的图像的对称轴及对称中心与函数图像的关键点有什么关系？提示：ysin x与ycos x的对称轴方程中的x都是它们取得最大值或最小值时相应的x.对称中心的横坐标都是它们的零点3五点法作yAsin(x)的图像，首先确定哪些数据？提示：先确定x，即先使x等于0，2，然后求出x的值4在图像变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样？提示：可以看出，前者平移|个单位，后者平移个单位，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而言的，因此在用这样的变换法作图像时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误一、求三角函数的定义域和值域【例1】求下列函数的值域(1)y；(2)ysin2x2sin xcos x3cos2x.方法提炼1求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解2求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：(1)利用sin x，cos x的值域；(2)形式复杂的函数应化为yAsin(x)k的形式逐步分析x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题请做针对训练3二、三角函数的性质应用【例2】设函数f(x)cos x(sin xcos x)，其中02.(1)若f(x)的周期为，求当x时，f(x)的值域；(2)若函数f(x)的图像的一条对称轴为x，求的值，并求f(x)在哪个区间上是减少的方法提炼1求三角函数周期的方法：(1)利用周期函数的定义(2)利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.(3)利用图像2三角函数的对称性：正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形正切函数的图像只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用3求形如yAsin(x)k的单调区间时，只需把x看作一个整体代入ysin x的相应单调区间即可，注意A的正负以及要先把化为正数求yAcos(x)k和yAtan(x)k的单调区间类似请做针对训练4三、三角函数yAsin(x)的图像【例3】设函数f(x)sin xcos x(0)的周期为.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在一个周期上的图像；(3)说明函数f(x)的图像可由ysin x的图像经过怎样的变换而得到方法提炼1用“五点法”作图应抓住四条：将原函数化为yAsin(x)(A0，0)或yAcos(x)(A0，0)的形式；求出周期T；求出振幅A；列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图像时，应列出该区间内的特殊点2图像变换法(1)平移变换沿x轴平移，按“左加右减”法则；沿y轴平移，按“上加下减”法则(2)伸缩变换沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(01)或缩短(1)为原来的倍(纵坐标y不变)；沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A1)或缩短(0A1)为原来的A倍(横坐标x不变)请做针对训练1四、求函数yAsin(x)b的解析式【例41】已知函数f(x)Asin(x)b的图像的一部分如图所示：(1)求f(x)的表达式；(2)试写出f(x)的对称轴方程【例42】已知函数f(x)sin(x)cos(x)(0，0)为偶函数，且函数yf(x)图像的两相邻对称轴间的距离为.(1)求f的值；(2)将函数yf(x)的图像向右平移个单位后，得到函数yg(x)的图像，求g(x)的单调递减区间方法提炼确定yAsin(x)b(A0，0)的解析式的步骤：(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A，b.(2)求，确定函数的周期T，则.(3)求，常用方法有：代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图像与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口具体如下：“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为x0；“第二点”(即图像的“峰点”)为x；“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为x；“第四点”(即图像的“谷点”)为x；“第五点”为x2.请做针对训练2五、三角函数模型的应用【例5】已知某海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0t24，单位：小时)的函数，记作yf(t)下表是某日各时刻记录的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数yAcos tb.(1)根据以上数据，求函数yAcos tb的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内从上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？方法提炼三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模请做针对训练5考情分析从近两年的高考试题来看，三角函数的周期性、单调性、最值、函数yAsin(x)的图像的平移和伸缩变换，以及根据图像确定A，的问题等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中低档；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法预测2020年高考仍将以三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性以及三角函数图像的变换为主要考点针对训练1将函数ysin x的图像向左平移(02)个单位后，得到函数ysin的图像，则等于()A B C D2如图是函数yAsin(x)(xR)在区间上的图像为了得到这个函数的图像，只要将ysin x(xR)的图像上所有的点()A向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变3函数yln(sin xcos x)的定义域为_4已知函数f(x)2sincoscos.(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；(2)令g(x)f，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由5如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数yAsin x(A0，0)，x0,4的图像，且图像的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定MNP120.(1)求A，的值和M，P两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？参考答案基础梳理自测知识梳理1f(xT)f(x)2y|1y1y|1y1R(2k1)，2k2k，(2k1)2k2k2k2k奇偶奇(k，0)，kZ，kZ，kZxk，kZxk，kZ22345|AA基础自测1B解析：令2xk(kZ)即x(kZ)，检验知，x，故选B.2A解析：由题意，周期T，4.则ftantan 0.故选A.3C解析：ysin xysinsinx，.4D解析：由题意得2，f(x)2sin(2x)，又f(0)，即2sin ，sin ，|，故选D.50解析：由图像知T，所以T.所以3.所以f(x)2sin.故f2sin0.考点探究突破【例1】解：(1)y2sin x(1sin x)22.1sin x1，y，即值域为.(2)ysin2x2sin xcos x3cos2xsin 2xsin 2xcos 2x2sin2.故函数值域为2，2【例2】解：f(x)sin 2xcos 2xsin.(1)因为T，所以1.当x时，2x，所以f(x)的值域为.(2)因为f(x)的图像的一条对称轴为x.所以2k(kZ)，k(kZ)又02，所以k1.又kZ.所以k0，.此时f(x)sin，由2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)，f(x)在区间(kZ)上是减少的【例3】解：(1)f(x)sin xcos x22sin.又T，即2.f(x)2sin.函数f(x)sin xcos x的振幅为2，初相为.(2)列出下表，并描点画出图像如图.2x02xy2sin02020(3)把ysin x图像上所有的点向左平移个单位，得到ysin的图像，再把ysin的图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到ysin的图像，然后把ysin的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin的图像【例41】解：(1)由图像可知，函数的最大值M3，最小值m1，则A2，b1.又T2，2，f(x)2sin(2x)1.将x，y3代入上式，得sin1，2k，kZ，即2k，kZ，又|，f(x)2sin1.(2)由2xk(kZ)，得xk，kZ，f(x)2sin1的对称轴方程为xk，kZ.【例42】解：(1)f(x)sin(x)cos(x)22sin.因为f(x)为偶函数，所以对xR，f(x)f(x)恒成立，因此sinsin，即sin xcoscos xsinsin xcoscos xsin，整理得sin xcos0.因为0，且xR，所以cos0.又因为0，故.所以f(x)2sin2cos x.由题意得2，所以2.故f(x)2cos 2x.因此f2cos .(2)将f(x)的图像向右平移个单位后，得到f的图像所以g(x)f2cos2cos.当2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)时，g(x)是减少的因此g(x)的递减区间为(kZ)【例5】解：(1)由表中数据，知周期T12，.由t0，y1.5，得Ab1.5；由t3，y1.0，得b1.0，A0.5，b1，振幅为，ycost1.(2)由题知，当y1时才可对冲浪者开放，cost11，cost0，2kt2k，kZ，即12k3t12k3，kZ.0t24，故可令中的k分别为0,1,2，得0t3，或9t15，或21t24.在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.演练巩固提升针对训练1D解析：ysinsinsin，.2A解析：由图像知A1，T，2.ysin(2x)又图像过点，sin1.2k，kZ.当k0时，ysin，故A满足条件3解析：由已知得sin xcos x0，即sin xcos x.在0,2内满足sin xcos x的x的集合为.又正弦、余弦函数的周期为2，所求定义域为.4解：(1)f(x)sincos2sin，f(x)的最小正周期T4.当sin1时，f(x)取得最小值2，当sin1时，f(x)取得最大值2.(2)由(1)知f(x)2sin，又g(x)f，g(x)2sin2sin2cos.g(x)2cos2cosg(x)，函数g(x)是偶函数5解：解法一：(1)连接MP.依题意，有A2，3，又T，y2sinx，当x4时，y2sin3，M(4,3)，又P(8,0)，MP5.(2)在MNP中，MNP120，MP5.设PMN，则060.由正弦定理得.NPsin ，MNsin(60)NPMNsin sin(60)sin(60)060，6060120，当30时，折线段赛道MNP最长亦即，将PMN设计为30时，折线段赛道MNP最长解法二：(1)同解法一(2)在MNP中，MNP120，MP5，由余弦定理得MN2NP22MNNPcosMNPMP2，即MN2NP2MNNP25.故(MNNP)225MNNP2，从而(MNNP)225，即MNNP，当且仅当MNNP时等号成立亦即，设计为MNNP时，折线段赛道MNP最长
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