控制系统的状态空间设计

第六次课小结一、Lyapunov意义下的稳定性问题基本概念平衡状态的概念Lyapunov意义下的稳定性定义（稳定，一致稳定，渐进稳定,一致渐进稳定，大范围渐进稳定等）纯量函数的正定性，负定性，正半定性，负半定性，不定性二次型，复二次型（Hermite型）二、Lyapunov稳定性理论第一方法第二方法三、线性定常系统的Lyapunov稳定性分析应用Lyapunov方程AHPPA=Q来进行判别稳定性四、线性定常系统的稳定自由运动的衰减率性能估计衰减系数，一旦定出听min，贝u可定出V（x）随时间t衰减上界。计算nmin的关系式五、离散时间系统的状态运动稳定性及其判据离散系统的大范围淅近稳定判据，Lyapunov稳定判据在离散系统中的应用六、线性多变量系统的综合与设计的基本问题问题的提法性能指标的类型研究的主要内容七、极点配置问题问题的提出可配置条件极点配置算法5.2.5爱克曼公式(AckermannsFormula)考虑由式(5.1)给出的系统，重写为x=AxBu假设该被控系统是状态完全能控的，又设期望闭环极点为s=L,s=2,s=n。利用线性状态反馈控制律u=-Kx将系统状态方程改写为x=(A-BK)x(5.14)定义A=A-BK则所期望的特征方程为si-A+BK=si-A=(s-)(s，广(sD=sna1sn-1an_1san=0由于凯莱-哈密尔顿定理指出A应满足其自身的特征方程，所以*(A)=Ana;Aa；_1Aa；l=0(5.15)我们用式(5.15)来推导爱克曼公式。为简化推导，考虑n=3的情况。需要指出的是，对任意正整数，下面的推导可方便地加以推广。考虑下列恒等式l=lA=A-BKA?=(A-BK)?=A-ABK-BKA33322A3=(A-BK)3=A3-A2BK-ABKA-BKA2将上述方程分别乘以a3,a2,a1,a0(a0=1)，并相加,则可得*-*23a3la2Aa1AA=a3la2(A-BK)a1(A2-ABK-BKA)A3-2-A2BK-ABKA-BKA2*23*2=asla2AaiA2A3a2BKaABK&BKAA2BK-2-ABKA-BKA2(5.16)参照式（5.15）可得*123a3Ia2Aa1AA=(A)=0也可得到*OR*a3Ia2Aa1AA=(A广0将上述两式代入式(5.16),可得*。*(A)=巾(A)-a2BK-a1BKA-BKA2-a1ABK-ABKA-A2BK由于令(A)=0,故(A广B(a2Ka1KAKA2)AB(a1KKA)A2BKa2KaiKAKA2=BMBM2Bia;K+KA|(5.17)K由于系统是状态完全能控的，所以能控性矩阵Q=BABA2B的逆存在。在式（5.17）的两端均左乘能控性矩阵Q的逆，可得2a?KaiKAKA221BABA2B(A广a1KKA上式两端左乘001,可得a2KaKAKA2I001BABA2B(A)=001a1KKA=K!KJ重写为K=001BABA2B*(A)从而给出了所需的状态反馈增益矩阵K。对任一正整数n,有K=0001BABA1Br*(A)(5.18)式(5.18)称为用于确定状态反馈增益矩阵K的爱克曼方程例5.1考虑如下线性定常系统式中x=AxBu0100A=001,B=0IL_156il1利用状态反馈控制u=-Kx,希望该系统的闭环极点为s=-2毛4和s=-10。试确定状态反馈增益矩阵K。首先需检验该系统的能控性矩阵。由于能控性矩阵为：001Q=BABA2B=0161631所以得出detQ=-1,因此,rankQ=3。因而该系统是状态完全能控的，可任意配置极点。下面，我们来求解这个问题，并用本章介绍的3种方法中的每一种求解。方法1:第一种方法是利用式（5.13）。该系统的特征方程为：s101|sI-A|=0s-1II15s63=s26s5s1=s3a甘a2sa3=0因此ai=6,a?=5,a3=1期望的特征方程为(s2-j4)(s2j4)(s10)=s314s260s200*a1s*2*a1sa2sa3=0因此*a1=14,a2=60,a3=200参照式（5.13）,可得K=200-160-514-6=199558方法2:设期望的状态反馈增益矩阵为K=kik2k3并使|sl-A+BK|和期望的特征多项式相等，可得s00010|slABK|=0s000100sIL15600kik2k31s-10=0sT1+k15+k2s+6+k3=s3(6k3)s2(5k2)s1k1=s314s260s200因此6k3=14,5k2=60,1k1=200从中可得k广199,k2=55,k3=8或K=199558方法3:第三种方法是利用爱克曼公式。参见式(5.18),可得K=001BABA2B1*(A)由于*(A广A314A260A200I32010010=00114001IL-1-561-5-60110111006000120001c10_1-5-6001199155811=一8159711743117且001BABA2B=0161631可得00-111995581K=0010168159711一16317-431175611995581=0016108159711_1007-43117=199558显然，这3种方法所得到的反馈增益矩阵K是相同的c使用状态反馈方法，正如所期望的那样，可将闭环极点配置在s=-2毛4和s=-10处。应当注意，如果系统的阶次n等于或大于4，则推荐使用方法1和3,因为所有的矩阵计算都可由计算机实现。如果使用方法2,由于计算机不能处理含有未知参数k1,k2,kn的特征方程，因此必须进行手工计算。5.2.6注释对于一个给定的系统，矩阵K不是唯一的，而是依赖于选择期望闭环极点的位置（这决定了响应速度与阻尼），这一点很重要。注意，所期望的闭环极点或所期望状态方程的选择是在误差向量的快速性和干扰、测量噪声的灵敏性之间的一种折衷。也就是说，如果加快误差响应速度，则干扰和测量噪声的影响通常也随之增大。如果系统是2阶的，那么系统的动态特性（响应特性）正好与系统期望的闭环极点和零点的位置联系起来。对于更高阶的系统，期望的闭环极点位置不能和系统的动态特性（响应特性）联系起来。因此，在决定给定系统的状态反馈增益矩阵K时，最好通过计算机仿真来检验系统在几种不同矩阵（基于几种不同的期望特征方程）下的响应特性，并且选出使系统总体性能最好的矩阵K。5.3利用MATLAB求解极点配置问题用MATLAB易于求解极点配置问题。现在我们来求解在例5.1中讨论的同样问题。系统方程为x=AxBu式中0100AK八,I-WA-|001:B_10IL_156il1采用状态反馈控制u=-Kx,希望系统的闭环极点为s=Ai(i=1,2,3),其中=2j4,2=-2-j4,3=10现求所需的状态反馈增益矩阵K。如果在设计状态反馈控制矩阵K时采用变换矩阵P,则必须求特征方程|sI-A|=0的系数a1、a2、和a3。这可通过给计算机输入语句P=poly(A)来实现。在计算机房幕上将显示如下一组系数:A=010;001;-1-5-6;P=poly(A)P=P(4)。W输入计算1.00006.00005.00001.0000则a1=a1=P(2),a2=a2=P(3),a3=a3=为了得到变换矩阵P,首先将矩阵Q和机，其中Q=BABA2Ba2a11IiW=a110100然后可以很容易地采用MATLAB完成Q和W相乘其次，再求期望的特征方程。可定义矩阵J,使得P1001一-2+j4001J=0七0广；0_2-j40!00010010从而口利用如下poly(J)命令来完成，即J=-24*i0Q0-2-4*iQ00-10;Q=poly(J)Q=11460200因此，有a1=aa1=Q(2),a2=aa2=Q(3),a3=aa3=Q(4)即对于ai，可米用aai。故状态反馈增益矩阵K可由下式确定:=033a2-a21a1一a1PK=aa3a3aa2-a2aa1-a1*(inv(P)采用变换矩阵P求解该例题的MATLAB程序如MATLABProgram5.1所示。MATLABProgram5.1%Poleplacement%*DeterminatonofstatefeedbackgainmatrixKbyuesof%transformationmatrixP*%*EntermatricesAandB*A=010;001;-1-5-6;%*DefinethecontrollabilitymatrixQ*Q=BA*BAA2*B;%*ChecktherankofmatrixQ*rank(Q)ans=3%*SincetherankofQis3,arbitrarypoleplacementis%possible*%*Obtainthecoefficientsofthecharacteristicpolynomial%|sI-A|.Thiscanbedonebyenteringstatementpoly(A)*JA=poly(A)JA=1.00006.00005.00001.0000a1=JA(2);a2=JA(3);a3=JA(4);%*DefinematricesWandPasfollows*W=a2a11;a110;100;P=Q*W;%*Obtainthedesiredchracteristicpolynomialbydefining%thefollowingmatrixJandenteringstatementpoly(J)*J=-2+j*400;0-2-j*40;00-10;JJ=poly(J)JJ=11460200aa1=JJ(2);aa2=JJ(3);aa3=JJ(4);%*StatefeedbackgainmatrixKcanbegivenby*K=aa3-a3aa2-a2aa1-a1*(inv(P)K=199558%*Hence,k1,k2,andk3aregivenby*k1=K(1),k2=K(2),k3=K(3)k1=199k2=55k3=8如果采用爱克曼公式来确定状态反馈增益矩阵K,必须首先计算矩阵特征方程(A)。对于该系统.一一一一R*-9*-*_(A)=Aa1Aa2Aa3I在MATLAB中，利用Polyvalm可计算矩阵多项式(|)(A)。对于给定的矩阵J,如前所示，poly(J)可计算特征多项式的系数。对于010A=001IL_156利用MATLAB命令Polyvalm(Poly(J),A),可计算下列6(A),即199558(A)=A314A260A200I=81597-743117实际上，Polyvalm(poly(J),A)ans=199558-81597-7-4褰117利用爱克曼公式，MATLABProgram5.2将求出状态反馈增益矩阵K。MATLABProgram5.2%Poleplacement%*DeterminationofstatefeedbackgainmatrixKbyuseof%Ackermannsformula*%*EntermatricesAandB*A=010;001;-1-5-6;B=0；0；1；%*DefinethecontrollabilitymatrixQ*Q=BA*BAA2*B;%*ChecktherankofmatrixQ*rank(Q)ans=3%*SincetherankofQis3,arbitrarypoleplacementis%possible*%*Obtainthedesiredcharacteristicpolynomialbydefining%thefollowingmatrixJandenteringstatementpoly(J)*J=-2+j*400;0-2-j*40;00-10;Poly(J)ans=11460200%*Computethecharacteristicpolynomial%Phi=polyvalm(poly(J),A)*Phi=polyvalm(poly(J),A);%*StatefeedbackgainmatrixKcanbegivenby*K=001*(inv(Q)*PhiK=199558%*Hence,k1,k2,andk3aregivenby*k1=k(1),k2=k(2),k3=k(3)k1=199k2=55k3=85.4利用极点配置法设计调节器型系统考虑如图5.2所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。图5.2倒立摆系统希望在有干扰（如作用于质量m上的阵风施加于小车的这类外力）时，保持摆垂直。当以合适的控制力施加于小车时，可将该倾斜的摆返回到垂直位置，且在每一控制过程结束时，小车都将返回到参考位置X=0。设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件（由干扰引起）时，用合理的阻尼（如对主导闭环极点有W=0.5）,可快速地（如调整时间约为2秒）使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置（x=0）。假设M、m和l的值为M=2千克,m=0.1千克,l=0.5米进一步设摆的质量集中在杆的顶端，且杆是无质量的。对于给定的角度。和（/或）角速度B的初始条件，设计一个使倒立摆保持在垂直位置的控制系统。此外，还要求控制系统在每一控制过程结束时，小车返回到参考位置。该系统对初始条件的干扰有效地做出响应（所期望的角ed总为零，并且期望的小车的位置总在参考位置上。因此,该系统是一个调节器系统）。这里，我们采用极点配置的状态反馈控制方法来设计控制器。如前所述，对任意极点配置的充要条件为系统状态完全能控设计的第一步是推导倒立摆系统的数学模型。5.4.1数学建模我们首先推导了如下图5.a所示的倒立摆系统的数学模型图5.a（a）倒立摆系统（b）隔体受力图结论：当角度。不大时，描述系统动态特性的方程可以写(Mm)xmF=u2(lml尸mlx=mgr式中，I是摆杆围绕其重心的转动惯量。推导过程：考虑上图（b）的隔体受力图，摆干绕其中心的转动运动可以用下式描述h-Vlsn-Hlcos摆干的水平运动可以写为d2m(xlsin)=Hdt2摆干的垂直运动为d.m-(lcosu)=V-mgdt2小车的水平运动为(5.3)当9很小时，上述四个运动方程可以分别线性化为r=vr-hi(5.b)m(x1口)=HO=V-mg(5.c)M=u-H(5.d)将(5.b)和(5.d)两边相加得:(Mm)x=u-H由(5.a),(5.b)和(5.c)可得h-mg-lm(xl)整理得(I-ml2尸-mlx=mgl=这样，我们就得到了倒立摆的运动方程。我们在来研究图5.2的倒立摆系统。由于该系统的质量集中在杆的顶端，所以重心就是摆球的中心。在分析中，假设摆围绕其重心的转动惯量为零，即I=0。那么，其数学模型为(Mm)xml=u(5.19)mlmix=mgb（5.20）式（5.19）和（5.20）定义了如图5.2所示的倒立摆系统的数学模型（只要。不大，线性化方程就是有效的）。式（5.19）和（5.20）可改写为Ml口=（Mm）g-u（5.21）Mx=u-mg（5.22）式（5.21）可由式（5.19）和（5.20）消去x得到。式（5.22）可由式（5.19）和（5.20）消去G得到。从式（5.21）可得系统的传递函数为5（s）1-U（s）Mis2-（Mm）g代入给定的数值，且注意到g=9.81米/秒2,可得一（S）11-U（s）s2-20.601s2-（4.539）2显然，该倒立摆系统在负实轴上有一个极点（s=-4.539），另一个极点在正实轴上（s=4.539）,因此，该系统是开环不稳7E的o定义状态变量为X1=71X2=71X3=XX4=X注意，。表示摆杆围绕点P的旋转角，X表示小车的位置,将。和X作为系统的输出，即yiX1y=i=i=iy2.x_x3乂由于e和x均是易于量测的量。由状态变量的定义和式（5.21）和（5.22）,可得X=Xc2Mm1xgxuMl1MlX3=X4m1xgxu4M1M以向量-矩阵方程的形式表示，可得01000x1Mmgx2ml1001011x11-x2Mlux30I.J1x4m0011x301J1d1x41Mg000JM(5.23)*1yj10001x21=1.(5.24)V一0010一凶1I乂式（5.23）和（5.24）给出了该倒立摆系统的状态空间表达式（注意，该系统的状态空间表达式不是唯一的，存在无穷多个这样的表达式）。代入给定的M、m和l的值，可得Mmm11mg=20.601,g=0.4905,1,0.5MlMMlM于是，式（5.23）和（5.24）可重写为x=AxBuy=Cx式中01001一0120.601000-110001A-1,B=1,C=|100011101_0010一llll-0.49050000.5采用下列线性状态反馈控制方案u=-Kx为此首先检验该系统是否状态完全能控。由于Q=BABA2BA3B0110-20.601-1020.60101100.500.4905110.500.49050J的秩为4,所以系统是状态完全能控的系统的特征方程为s100-20.601s00|sl-A|=00s-10.490500s=s4-20.601s232=s4a1sa2sa3sa4=0因此a1=0,ar20.601,a0,a0其次，选择期望的闭环极点位置。由于要求系统具有相当短的调整时间（约2秒）和合适的阻尼（在标准的二阶系统中等价于=0.5）,所以我们选择期望的闭环极点为s=七（i=1,2,3,4）,其中1=2j23,2=-2-j23,3=-10,4=10在这种情况下，已1,和叩是一对具有E=0.5和3n=4的主导闭环极点。剩余的两个极点113和N4位于远离主导闭环极点对的左边。因此，13和已4响应的影响很小。所以，可满足快速性和阻尼的要求。期望的特征方程为(s-*)(s-2)(s-3)(s-4)=(S2-j2.3)(s2j23)(s10)(s10)=(s24s16)(s220s100)=s424s3196s2720s16004*3*2*=sa1sa2sa3sa4=0因此*a1=24,a2=196,a3=720,a4=1600a1P1现米用式（5.13）来确定状态反馈增益矩阵K,即-a4一a4a3一a3a2一a2a1-式中P由式（5.4）得到，即P=QW这里Q和W分别由式（5.5）和（5.6）得出。于是01020.601Q=BABA2BA3B=-10-20.601000.500.4905a31a2ai10-20.601011a2W二ai1c110二一20.60401011ail100110100111000-1000一变换矩阵P成为00-101000-111P=QW=11-9.8100.501109.8100.5因此0.59.81019.81011八0.51P1=001119.819.811100011-01001J故状态反馈增益矩阵K为K=a：-瓦a；-aa；-a2a-aP=1600072001962Q60124-0P0.5I-0109.819.8111一.Ic0.51=16007202166024|019.81019.811000110-1001J=298.150460.6972-163.0989-73.3945反馈控制输入为uKx=2981504x160.6972x21630989x373.3945x4注意，这是一个调节器系统。期望的角ed总为零，且期望的小车的位置Xd也总为零。因此，参考输入为零（将在5.6节考虑有参考输入时，对应的小车的运动问题）。图5.3为用于倒立摆系统的状态反馈控制结构图（因为该系统中的参考输入总为零，所以在图中没有画出）。图5.3具有线性状态反馈控制的倒立摆系统5.4.2利用MATLAB确定状态反馈增益矩阵KMATLABProgram5.3是一种能求出所需状态反馈增益矩阵K的MATLAB程序。MATLABProgram5.3%Designofaninvertedpendulumcontrolsystem%*Thisprogramdeterminesthestate-feedbackgain%matrixK=k1,k2k3k4byuseofAckermanns%formula*%*EntermatricesA,B,C,and*A=0100;20.601000;000;-0.4905000;B=0;-1;0;0.5；C=1000;0010;D=0；0；%*DefinethecontrollabilitymatrixMandcheckitsrank*Q=BA*BAA2*BAA3*B;rank(Q)ans=4%*SincetherankofQis4,thesystemiscompletely%statecontrollable.Hence,arbitrarypoleplacementis%possible*%*Enterthedesiredcharacteristicpolynomial,which$canbeobtaineddefiningthefollowingmatrixJand%enteringstatementpoly(J)*J=-2+2*sqrt(3)*i000;0-2-2*sprt(3)*i00;00-100;000-10JJ=poly(J)JJ=1.0e+003*0.00100.02400.19600.72001.6000%*EntercharacteristicpolynomialPhi*Phi=polyvalm(poly(J),A);%*StatefeedbackgainmatrixKcanbedetermined%from*K=0001*(inv(Q)*PhiK=-298.1504-60.6972-163.09889-73.39455.4.3所得系统对初始条件的响应当状态反馈增益矩阵确定后，系统的性能就可由计算机仿真来检验。为了求得对任意初始条件的响应，可按下列步骤进行：系统的基本方程为状态方程x=AxBu和线性反馈控制律u=-Kx将上述控制输入代入状态方程，可得x=(A-BK)x将有关数据代入上式，即xi0100xi*2277.5494-60.6972T630989-733945屋x30001x3IIIIII_x4148584730.348681.5494366972J.x4J(5.25)下面我们用MATLAB来求所设计的系统对初始条件的响应。系统的状态方程为式(5.25)。假设初始条件为*(0)110.1IuX2(0)0IU111_1_(5.26)X3(0)01111x4(0)-0将式(5.25)重写为x=Ax式中01.000000o-2775494-60.6972163.0989733945A0001.0000148584730.348681.549436.6972将初始条件向量定义为！？，即0.1IcI?0II一0则系统对初始条件的响应可通过求解下列方程得到(见随后的补充部分)，即z=&zBux=(?zDu式中(=A?=B补充：考虑如下定义的系统x=Ax,x(0)=X0当初始条件给定时，我们求其响应x(t)。首先，我们对两边进行拉普拉斯变换得sX(s)-x(0)=AX(s)