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第1章 1.1-1.2 变化率与导数、导数的计算看一看1.导数（1）导数的概念：当趋近于零时，趋近于常数c。可用符号“”记作：当时，或记作，（2）导函数的定义：如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导。这样，对开区间内每个值，都对应一个确定的导数。于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数。记为或（或）。2.导数的四则运算法则：（I）几种常见函数的导数：（1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) （II）导数的四则运算法则：若f(x)、g(x)均为可导函数，则(1) f(x)g(x)=；(2)f(x)g(x)；(3) cf(x)(c为常数)；(4) f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(5) （III）复合函数的导数：设函数在点处有导数,函数在点的对应点处有导数,则复合函数在点处有导数,且.想一想1若直线与曲线相切，则它们只有一个交点吗？2曲线C在点P处的切线与过点P的切线有何差异？练一练1. 曲线在点处的切线方程是 （ ）A. B. C. D. 2. 若函数满足2，则等于 （ ）A1 B2 C2 D03若点P是曲线上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为 （ ）A1 B. C. D.4. (安徽省安庆五校联盟2020届高三下学期3月联考数学理)设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的部分图像为 （ ）5( 2020学年度上学期辽宁省丹东五校协作体高三期末考试理9)若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，则实数 （ ） 6. ( 甘肃省兰州市2020年高三诊断考试理10)在直角坐标系中，设是曲线：上任意一点，是曲线在点处的切线，且交坐标轴于,两点，则以下结论正确的是 （ ）A的面积为定值 B的面积有最小值为C的面积有最大值为 D的面积的取值范围是7.已知实数满足其中是自然对数的底数,的最小值为 （ ）A B C D8若，则_.9. (江苏省扬州中学2020届高三3月期初考试数学试题10)在平面直角坐标系中，若曲线(为常数)在点处的切线与直线垂直，则的值为 10. 曲线在处的切线平行于直线，则点 乐一乐数学的起源-结绳记数和土地丈量 大约在300万年前，处于原始社会的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小。数的概念就是这样逐渐发展起来的。在距今约五六千年前，古埃及的国王派人将被洪水冲垮了的土地测量出来，这种对于土地的测量，最终产生了几何学。数学就是从“结绳记数”和“土地测量”开始的。古希腊人，继承和发展了这些数学知识，并将数学发展成为一门科学。第1章 1.3 导数在研究函数中的应用（1）看一看1. 与 为增函数的关系： 能推出 为增函数，但反之不一定温馨提醒：如函数 在 上单调递增，但 ， 是 为增函数的充分不必要条件2. 时， 与 为增函数的关系：若将 的根作为分界点，因为规定 ，即抠去了分界点，此时 为增函数，就一定有，所以当 时， 是 为增函数的充分必要条件3. 与 为增函数的关系：为增函数，一定可以推出 ，但反之不一定，因为 ，即为 或 。当函数在某个区间内恒有 ，则 为常数，函数不具有单调性，所以 是 为增函数的必要不充分条件4.单调区间的求解过程：已知可导函数（1）分析 的定义域； （2）求导数 （3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间5.函数单调区间的合并：函数单调区间的合并主要依据是函数 在 单调递增，在 单调递增，又知函数在 处连续，因此 在单调递增同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为一个区间6.已知，（1）若恒成立，则在上递增，对不等式 恒成立;（2）若恒成立，则在上递减，对不等式恒成立想一想1、 您知道 与为增函数之间的关系吗？2、导数应用需要注意些什么？练一练1.已知函数的图像上任一点处的切线方程为，那么函数的单调减区间是 （ ）A B C，(1,2) D2函数在1，3上是单调增函数，则实数m的取值范围是 （ ）A. B. C. D.3. 若的导函数=4x+3，则的单调递减区间是（）A. B. C.（1，3） D.（0，2）4.己知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，则不等式的解集为 （ ）A B C D5. (安徽省安庆五校联盟2020届高三下学期3月联考数学理10)定义在R上的函数满足，当时，,函数若，不等式成立，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 6已知定义在R上的奇函数，设其导函数为，当x(，0时，恒有，令，则满足的实数x的取值范围是_7设函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围为_8. 已知函数的图象在点(1,2)处的切线恰好与直线3xy0平行若在区间上单调递减，则实数t的取值范围是_9. ( 甘肃省兰州市2020年高三诊断考试理15)已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 10.(2020年3月德阳市四校高三联合测试数学理14)已知函数在处取得极值0，则= .乐一乐世界杯半数球队有同生日队员 数学家做解答世界杯参赛的32个球队里，有16支队伍都有生日相同的球员，而其中有5个球队甚至有两对生日相同的球员。虽然这听起来很巧合，但日本科学家彼得弗兰克尔(PeterFrankl)表示，世界杯每支球队的人数都是23人，这正好和“生日悖论”相符，也就是说，如果一个群体里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率就会大于50%，对于拥有60或者更多人的群体，这种概率要大于99%。第1章 1.4 导数在研究函数中的应用（2）看一看1.可导函数的极值（1）极值的概念：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或），则称为函数的一个极大（小）值，称为极大（小）值点.（2）求可导函数极值的步骤:求导数。求方程的根. 求方程的根.检验在方程的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数在这个根处取得极小值.(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数的导数，在点处有，即点是的驻点，但从在上为增函数可知，点不是的极值点.(2) 求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.2.函数的最大值和最小值（1）设是定义在区间上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行.求在内的极值.将在各极值点的极值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）若函数在上单调增加，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值.想一想1利用导数解决不等式恒成立的基本步骤是什么？2. 极大（小）值与最大（小）值的区别与联系你清楚吗？练一练1设函数，则 （）A. 为的极大值点B. 为的极小值点C. 为的极大值点D. 为的极小值点2. 函数有极值的充要条件是 （ ）A. a0B. a0C. a0D. a03. 设aR，若函数有大于零的极值点，则 （ ）A. B. C. D. 4设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为( )A1ln2 B.(1ln2)C1ln2 D.(1ln2)5.设函数在R上可导，其导函数为，且函数在x2处取得极小值，则函数的图像可能是 （ ）ACBD 6.(东北三省三校2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题11)已知数列满足，若数列的最小项为，则的值为（ ）A BC D7.已知函数，对于任意，都存在，使得，则的最小值为 （ ）A B C D8. 已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是_9. 若函数在1，e上的最小值为，则c_.10关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是_乐一乐马云数学1分的落榜考生（一）从小学开始，各门功课中最让马云感到头疼的，非数学莫属。那可不是一般的头疼，简直糟糕得一塌糊涂。马云考了两年才考上一所极其普通的高中，其中一次数学得了31分；在1982年高考，他的数学考了1分。这个成绩，说是全国倒数第一未免太过武断，但在整个浙江省是“榜下有名”的。在第一次高考成绩面前，马云充满了挫败感。第1章 1.5-1.7 定积分的概念及应用看一看一、定积分（1）对定积分概念的理解要注意以下三点： 积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关。即； 定义中区间的分法和的取法都是任意的； 在定积分的定义中，限定下限小于限，即，为了方便计算，可以把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：、（2）定积分的性质： （）（3）定积分的几何意义在区间上，若既可取正值又可取负值时，曲线的某些部分在轴上方，而其他部分在轴下方，如果我们将在轴上方的面积赋予正值，在轴上方的面积赋予负值，那么在一般情形下，定积分的几何意义是曲线以及直线、与轴所围成的曲边梯形的面积的代数和.3.微积分基本定理（牛顿莱布尼兹公式）一般地，如果是区间上的的连续函数并且函数，那么：.2.定积分的应用定积分的应用常见的是以下几方面： 平面图形的面积：如果平面图形由连续曲线、，与直线、所围成，那么这块图形的面积为：变速直线运动的路程：作变速直线运动物体所经过的路程等于其速度函数（）在时间区间上的定积分，即：变力作功：一物体沿变力相同方向从移动到时，变力所作的功为：想一想1求定积分常用的基本技巧有哪些？2利用定积分求曲边图形面积时，需要注意什么？练一练1.已知，若，则t的值等于 （ ）(A)2(B)3(C)6(D)82. 由曲线与以及x轴所围成的封闭图形的面积是 （ ）A. B.C. D. ln4+13.（黄冈中学2020届高三（上）期末考试数学试题理8）近期由于雨雪天气，路况不好，某人驾车遇到紧急情况而刹车，以速度（为时间单位s）行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离（单位；）是 （ ）A B C D 4. 若，则的大小关系是（ ）(A) (B) (C) (D)5. (广东省汕头市2020年高三第一次模拟考试数学理)已知等差数列的前项和为，又且，则为（ ）A B C D6.已知，则 7. (吉林省长春市普通高中2020届高三质量监测（二）理14)已知且曲线、与所围成的封闭区域的面积为，则 8.定义一个对应法则，现有点与，点是线段上一动点，按定义的对应法则，当点在线段上从点的开始运动到点结束时，则点的对应点所形成的轨迹与x轴围成的面积为9. ( 吉林省吉林市第一中学校2020届高三3月“教与学”质量检测（一）数学理13)设 (其中e为自然对数的底数)，则的值为 _10.已知函数，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求的值，结果是_.乐一乐马云数学1分的落榜考生（二）命运在马云最需要的时候指引了他。马云捡到一本路遥的人生。书中的一段话“人生的道路虽然漫长，但紧要处常常只有几步，特别是当人年轻的时候。没有一个人的生活道路是笔直的、没有岔道的。有些岔道口你走错一步，就会影响人生的一个时期，甚至会影响一生。”激活了马云的理想和勇气，马云再次走进高考的考场。那一次，他的数学考了19分。第2章 2.1 合情推理与演绎推理看一看一、推理1.合情推理（1）合情推理的概念根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理.（2）归纳推理的特点（1）归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；（2）归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况有可能发生的（如教科书所述的“费马猜想”）；（3）类比推理的几个特点（1）类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；（2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；（3）类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能2.演绎推理（1）演绎推理的概念：从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理.演绎推理是由一般到特殊的推理（2）一般模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，常用的一种格式：大前提已知的一般原理； 小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的结论.温馨提醒：如果一个推理规则能用符号表示为“如果ab，bc，则ac”，那么这种推理规则叫做三段论推理三段论推理包含了三个命题，第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题称为小前提，它指出了一个特殊对象，两者结合起来，揭示了一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到第三个命题结论想一想1、如何理解演绎推理的一般模式？2、进行合情推理、演绎推理时需注意那些方面？练一练1.推理“矩形是平行四边形；正方形是矩形；正方形是平行四边形”中的小前提是 （ ）(A) (B) (C) (D)以上均错2、甲、乙、丙、丁与小强一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘，到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁只赛了1盘，则小强已经赛了 （）A. 4盘 B. 3盘 C. 2盘 D. 1盘3.（2020年高考原创预测卷三（广东版）已知“有序整数对”按如图所示的规律排列: ,则第62个“有序整数对”是 ( )A. B. C. D.4、在如图所示的数阵中，第9行的第2个数为5.(福建省莆田一中、泉州五中、漳州一中2020届高三上学期三校联考数学理14)正偶数列有一个有趣的现象：；按照这样的规律，则2020在第个等式中。6.（2020届山东高三数学预测卷）已知下列等式：观察上式的规律,写出第个等式_.7. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_8.已知，若，则的表达式为_9.在平面几何中：ABC的C内角平分线CE分AB所成线段的比为.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图)DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是_10对于命题：若O是线段AB上一点，则有.将它类比到平面的情形是：若O是ABC内一点，则有，将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有_乐一乐马云数学1分的落榜考生（三）然而，连续两次高考失利，反而让他越战越勇。马云只得一边打工，一边复习。为了找一个好的学习环境，每到星期日，他就早早起床，赶到离家有一个多小时路程的浙江大学图书馆去复习。20岁那年，马云参加了第三次高考。从考场出来，很自信地说：“这次肯定能及格了！”，这一次，他的数学考了79分(当时数学一科满分是120分)，终于上了大学。第2章 2.2 直接证明与间接证明看一看1.综合法（1）综合法的的定义：一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.（2）综合法的思维框图：用表示已知条件，为定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：（已知） （逐步推导结论成立的必要条件） （结论）2.分析法（1）分析法的定义：一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.（2）分析法的思维框图用表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：（结论） （逐步寻找使结论成立的充分条件） （已知）3.反证法证题（1）反证法定义：一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.（2）反证法的一般步骤：（1）反设：假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立；（2）归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；（2） 结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立想一想1、你知道综合法与分析法之间的关系吗？2、使用分析法、反证法需要注意那些方面？练一练1用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为 （ ）A中至少有两个偶数 B中至少有两个偶数或都是奇数C都是奇数 D都是偶数2.若实数满足，则 ( )(A) 都小于0(B) 都大于0(C) 中至少有一个大于0 (D) 中至少有一个小于03分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设，且，求证”索的因应是 ( )A BC D4若，则的大小关系是( )A B C D由的取值确定5设，则三数 ()A至少有一个不大于2 B都小于2C至少有一个不小于2 D都大于26不相等的三个正数成等差数列，并且x是的等比中项，y是，的等比中项，则三数 （ ）A成等比数列而非等差数列 B成等差数列而非等比数列C既成等差数列又成等比数列 D既非等差数列又非等比数列7要证：，只要证明 （ ）A BC. D8设是两个实数，给出下列条件：；.其中能推出：“中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)9.如果，则应满足的条件是_.10在不等边三角形中，为最大边，要想得到A为钝角的结论，则三边应满足_乐一乐古寺有多少僧人-中学生数学趣题巧解 巍巍古寺在云中，不知寺内多少僧。三百六十四只碗，看看用尽不差争。三人共食一只碗，四人共吃一碗羹。请问先生明算者，算来寺内几多僧?这是一首清朝数学家徐子云诗，你能算出诗中有多少僧人吗?解答：三人共食一只碗：则吃饭时一人用三分之一个碗，四人共吃一碗羹：则吃羹时一人用四分之一个碗，两项合计，则每人用1/3+1/4=7/12个碗，设共有和尚X人，依题意得：7/12X=364,解之得，X=624。第三章 3.1 -3.2数系的扩充和复数的概念、运算看一看1. 复数的概念(1) 虚数单位i: ；i和实数在一起，服从实数的运算律(2) 代数形式：，其中a叫实部，b叫虚部2. 复数的分类：复数中，z是实数aR，b0，z是虚数b0，z是纯虚数a0，b0.3. 与互为共轭复数4. 复数相等的条件：abicdi(a、b、c、dR)ac且bd.特殊的，abi0(a、bR)a0且b0.5. 设复数，z在复平面内对应点为Z，则的长度叫做复数z的模(或绝对值)，即|z|.6. 运算法则：1、2、复数的加减（类比合并同类项）3、复数的相乘（类比整式乘法）4、复数的相除：7.复数的乘法的运算律：对于任何，有交换律: .结合律: ，分配律: .8注意点（1）复数的确定可以多考虑用待定系数法。先设再根据题意及复数有关知识列出关于的方程。解方程得，从而可以确定复数。（2）数的概念扩展为复数后，实数集中一些运算性质、概念、关系不一定适用了，如不等式的性质，绝对值的定义，偶次方非负等。3、两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小，两个复数的模可以比较大小。想一想1、解决复数问题的基本方法是什么？2、解决复数问题常用的两条性质是什么？练一练1. 若复数z满足是虚数单位)，则z的共轭复数等于（ ）(A)-i (B) (C)i (D)2. 若复数z满足,则复数z对应的点位于 （ ）(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限3.已知复数z1i，则等于 ( )(A)2i (B)-2i (C)2 (D)-24. 设，“”是“复数是纯虚数”的 （）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5.下面是关于复数的四个命题:, ，的共轭复数为，的虚部为，其中真命题为 （ ）A B CD6. 设a是实数，且是实数，则a= （ ）A B1 C D27. 设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则z= （ ）A1+i B C1+i D1i8. (宁夏回族自治区银川一中2020届高三第一次模拟考试数学理4)已知复数，函数图象的一个对称中心是_9若是虚数单位)，则|a+bi|=_10.定义一种运算如下：则复数(i是虚数单位)的共轭复数是_.乐一乐四色猜想 四色定理又称四色猜想、四色问题，是世界三大数学猜想之一。1852年，毕业于伦敦大学的格斯里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现每幅地图都可以只用四种颜色着色，就突发奇想：这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？四色定理是一个著名的数学定理，通俗的说法是：每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。1976年借助电子计算机证明了四色问题。选修2-2综合测试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）1.在复平面内，复数对应的点位于 （ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2、定义集合运算：AB=zz=xy（x+y），xA，yB，设集合A=0，1，B=2，3，则集合AB的所有元素之和为 （ ）A.0 B. 6 C. 12 D. 183、设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）A. 2 B. C. D. 24、若，则等于 （ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. -15、(江西省六校2020届高三3月联考数学文11)某同学在纸上画出如下若干个三角形：若依此规律，得到一系列的三角形，则在前2020个三角形中共有的个数是 （ ）A64B63C62D616(东北三省三校2020年高三第一次联合模拟考试)若在区间上为增函数，则实数的取值范围是 （ ） 7、若函数的导函数在区间上有零点，则在下列区间单调递增的是 （ ）A B C D8、下列说法正确的是 （ ）A. 由合情推理得出的结论一定是正确的 B. 合情推理必须有前提有结论C. 合情推理不能猜想 D. 合情推理得出的结论无法判定正误9、已知复数，则|= （）A. B. C.1 D. 210、下列各坐标系中是一个函数与其导函数的图象，其中一定错误的是（ ）A. B. C. D.11、由曲线与所围成的封闭图形的面积为 （）A. B. C. 1 D. 212、(四川省雅安中学2020届高三开学考试数学)设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”；已知在上为“凸函数”，则实数m的取值范围是( )A B C D二、填空题（本题包括4题，共计20分）13、若函数，则 14、若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ;15、将正奇数排成如图所示的三角形数表：13，57，9，1113，15，17，19其中第i行第j个数记为，例如a42=15，若aij=2020，则i+j=16、函数f（x）=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x0与x=1处取得极值，给出下列判断：f（1）+f（1）=0；f（2）0；函数y=f（x）在区间（，0）上是增函数其中正确的判断是（填序号）三、解答题题（本题包括4题，共计40分）17、已知复数，求实数a、b的值18、已知函数（1）求在上的最大值；（2）若直线为曲线的切线，求实数的值；19、已知（1）若存在单调递减区间，求的范围；（2）若,求证：当时，恒成立；（3）设，证明：.20、已知数列，计算S1，S2，S3，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明选修2-3 第一章 计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理看一看1分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有Nm1+ m2+mn种不同的方法温馨提示：分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然后进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理.2分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N_种不同的方法温馨提示：利用分步乘法计数原理解决问题：要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事3两个原理的区别与联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。温馨提示：用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析想一想1、使用分类计数原理的步骤及注意事项是什么？2、使用分步计数原理的步骤及注意事项是什么？练一练1若三角形的三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b、c，且满足，则这样的三角形有 （ ）A10个 B14个 C15个 D21个22020福州质检如图所示22方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有 （ ）ABCDA.192种 B128种 C96种 D12种325人排成55方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法有 （ ）A60种 B100种 C300种 D600种4如图所示的几何体是由一个正三棱锥PABC与正三棱柱ABCA1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案()A24种 B18种 C16种 D12种5高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有（ ）A16种 B18种 C37种 D48种6将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为（ ）A.4 B6 C9 D127有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现从三名工人中选两名分别去操作以上车床，则不同的选派方法有_种8一排共9个座位，甲、乙、丙三人按如下方式入座：每人左右两旁都有空座位，且甲必须在乙、丙两人之间，则不同的坐法共有_种(用数字作答)9用组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是_(用数字作答)10用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有_种.123456789乐一乐勒洛三角形以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，也称鲁洛三角形。勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以他的名字命名。在美国旧金山，有一些市政检修井井盖的形状就是勒洛三角形，其最大优点是这种形状的井盖绝不会掉到井里去。勒洛不能用作轮子，因为其中心并不稳定，每旋转一圈会有三次跳动。第1章 1.2 排列与组合看一看1排列与排列数(1)排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为A.(3)排列数公式：An(n1)(n2)(nm1).An(n1)(n2)321n！，规定0！1.2组合与组合数(1)组合的定义：一般地，从n个不同的元素中取m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示(3)组合数公式C.(4)组合数的性质性质1：CC. 性质2：CCC (mn，nN*，mN*)温馨提示：（I）排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合（II）解排列组合题的“24字方针，12个技巧”：(1)“二十四字”方针是解排列组合题的基本规律：即排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加、分步为乘(2)“十二”个技巧是速解排列组合题的捷径即：相邻问题捆绑法； 不相邻问题插空法；多排问题单排法； 定序问题倍缩法；定位问题优先法； 有序分配问题分步法；多元问题分类法； 交叉问题集合法；至少(多)问题间接法； 选排问题先取后排法；局部与整体问题排除法；复杂问题转化法想一想1、如何判断一个问题是排列问题与还是组合问题？2、组合问题常见的基本类型有几种及其求解策略是什么？练一练1.将5本不同的书摆成一排，若书甲与书乙必须相邻，而书丙与书丁不能相邻，则不同的摆法种数为 （ ）A48 B24 C20 D122.某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有 （ ）A192种 B216种 C240种 D288种3.（四川省资阳市2020届高三第三次模拟考试理8）现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张. 则不同的取法共有 （ ）(A) 135 (B) 172 (C) 189(D) 2164.（江西省2020届高三高考适应性测试数学理9）学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。现从该小组中选出3位同学分别到三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有 （ ）A. 种 B. 种 C. 种 D. 种5.有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为 （ ）A. B. C. D.6.用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为 （ ）A432 B288 C216 D1447某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 （ ）A36种 B42种 C48种 D54种8. （山东枣庄第八中学2020届高三11月考（理）试题）将红、黑、蓝、黄个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为 （ ）A B C D9. 某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为_10.有一个不规则的六面体盒子(六个面大小不同)，现要用红、黄、蓝三种颜色刷盒子的六个面，其中一种颜色刷3个面，一种颜色刷两个面，一种颜色刷1个面，则刷这个六面体盒子的刷法有_种乐一乐韩信点兵（一） 韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人。假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。第1章 1.3 二项式定理看一看1二项式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCabn1Cbn(nN*).这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数C(r0,1,2，n)叫做二项式系数.式中的Canrbr叫做二项展开式的通项，用Tr1表示，即展开式的第r项，Tr1Canrbr，.2二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.3二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即CC.(2)增减性与最大值：二项式系数C，当k(n+1)/2时，二项式系数是递减的当n是偶数时，中间的一项即第1项取得最大值当n是奇数时，中间两项即第，项相等，且同时取得最大值(3)各二项式系数的和：(ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即CCCC2n二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即CCCCCC2n1.温馨提示：一个防范：切记二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(2)展开式的应用：利用展开式可求解与二项式系数有关的求值；可证明不等式；可证明整除问题(或求余数)想一想1、你能弄清楚二项展开式的二项式系数与该项的系数之间的关系吗？2、二项式主要可以解决那些问题？练一练1. 的二项展开式17个项中，整式的个数是 （）A B C D2.（2020年石景山区高三统一测试数学理）二项式的展开式中，常数项的值是 （ ）A B C D4. ( 东北三省三校2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题)设二项式展开式的二项式系数和与各项系数和分别为，则 （ ）A B C D5. (四川省雅安中学2020届高三开学考试数学理3)的展开式中含的奇次方项的系数和等于 （ ）A 44B25C 41D 406. （贵州省八校联盟2020届高三第二次联考试题数学理9）若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为 （ ）A B. C. D. 8（黄冈中学2020届高三（上）期末考试数学试题理12）设，则 9.（怀化市中小学改革教育质监2020年高三第一次模考理科数学）若，则的值为 （ ）A B C D10. (宁夏回族自治区银川一中2020届高三第一次模拟考试数学理6)设，则二项式展开式中的项的系数为（ ）A. B. 20 C. D. 1603.已知a0，的二项展开式中，常数项等于60，则的展开式中各项系数和为 （用数字作答）7.（江西省2020届高三高考适应性测试数学理13）展开式中的常数项为 .乐一乐韩信点兵（二）中国有一本数学古书孙子算经也有类似的问题：今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？ 答曰：二十三术曰：三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。第2章 2.1 离散型随机变量及其分布列看一看1离散型随机变量的分布列如果随机试验的结果可以用一
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