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【专题八】数形结合的思想【考情分析】纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。 巧妙的运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。其思想思维与方法也是高考中重点考察的思维能力之一。【知识交汇】1、知识要点概述数与形是数学中和两个最古老的，也是最基本的对象，是数学中两个最古老、最基本的问题，是数学大厦深处的两块基石，数学的所有问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的描述.因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，揭示其几何意义，而形的问题借助数去思考，分析其代数含义，使数量关系和空间形式巧妙机智地结合越来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察.这种处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法.数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法，因此，它在中学数学中占有重要的地位.在高考中，充分利用选择题、填空题型的特点(这两类题型只须写出结果而无需写出解答过程)，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查学生将复杂的数量关系问题转化为直观的几何图形问题来解决的意识，解答题中对数形结合思想的考查则以由“形”到“数”的转化为主.2、解题方法指导1.转换数与形的三条途径：通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解.转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑.如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等.构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等.2.运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，揭示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性.“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，揭示出数与式的本质特征.“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特性，观察图形的的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观及揭示隐含的数量关系.【思想方法】一、 利用数形结合解决集合问题【例1】评注：对于集合中各种概念、运算的理解，直接从自然语言和符号语言上理解，往往难以搞清其本质；若借助简单的韦恩图表示两集合间的关系，可使问题变得直观、具体，易于认清集合的特征，便于准确、快速地解决问题。这就是数形结合思想的应用，显然准确地将集合问题转化为图形关系是关键。解题时常借助韦恩图或用数轴、简单函数的图像等形来集合问题，往往可以把问题中的条件直观化、形象化，从而使原题灵活、简捷、准确地获解。2. 数形结合在函数中的应用【例2】已知函数（1） 试求b,c所满足的关系式；（2） 若b=0，方程有唯一解，求a的取值范围；（3） 若b=1，集合，试求集合A.【解析】xOy（1）由，得b、c所满足的关系式为（2）由，可得方程，即，可化为，令，则由题意可得，在上有唯一解，令，由，可得，当时，由，可知是增函数；当时，由，可知是减函数故当时，取极大值由函数的图象可知，当或时，方程有且仅有一个正实数解故所求的取值范围是或 （3）由，可得由且且且当时， ；当时，；当时（），；当时，且；当时， 评注：函数是贯穿高中数学知识的主要内容，它的地位和作用非常重要，数形结合思想在解决函数问题时尤为重要。函数的图像是表示函数关系的方式之一，它是从“形”的方面来刻画函数的变化规律，形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得答案的重要工具。利用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数的图像来解决代数问题，有利于培养学生的转化联想能力、观察能力，如利用某些函数表达式所具有的特征，与几何中的距离、直线的斜率、线段的长度（两点间的距离）等联系在一起，构造几何模型解决问题，培养学生思维的深刻性并提高创造性。3. 数形结合在线性规划中的应用【例3】学校有线网络同时提供A、B两套校本选修课程。A套选修课播40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分；B套选修课播32分钟，课后研讨40分钟，可获学分4分。全学期20周，网络每周开播两次，每次均为独立内容。学校规定学生每学期收看选修课不超过1400分钟，研讨时间不得少于1000分钟。两套选修课怎样合理选择，才能获得最好学分成绩？【解析】设选择A、B两套课程分别为X、Y次，z为学分，则 .目标函数:.由方程组解得点A(15,25) , B(25,12.5)由于目标函数的斜率与直线AB的斜率相等，因此在图中阴影线段AB上的整数点A（15，25）、C（19，20）、D（23，15）都符合题意，使得学分最高为175分。4. 数形结合在导数中的应用【例4】例4 若函数在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+）内为增函数，试求实数a的取值范围分析 这是一个利用导数研究函数单调性的问题首先把函数的增、减性转化为导数的正、负来研究求f（x）的导数，得f （x）= x2ax + a1于是将问题转化为求二次函数x2ax + a1在区间（1，4）内为负，在区间（6，+）内为正的充要条件，而这个问题则完全是二次函数的问题，解决时必须借助图形解 对函数f（x）求导，得 f （x）= x2ax + a1，由此得出方程x2ax + a1 = 0的两个根为x = 1和x = a1，然后再借助图形进行研究显然，函数f （x）= x2ax + a1是开口向上，与x轴至少有一个交点的抛物线（1）当a11时，函数f （x）与x轴的另一个交点横坐标a1在1的左侧，在区间（1，4）内f （x）0，如图所示，那么f（x）在（1，4）内为增函数，不合题意（2）当1a14时，函数f （x）与x轴的另一个交点的横坐标a1在1与4之间，在区间（1，4）内f （x）0不恒成立，如图所示，那么f（x）在（1，4）内不为减函数，不合题意a-1Oxy1234a-1Oxy164a-1Oxy164a-1Oxy164（3）当4a16时，函数f （x）与x轴的另一个交点的横坐标a1在区间 4，6 上，在区间（1，4）内f （x）0；在区间（6，+）内f （x）0，如图所示那么f（x）在（1，4）内为减函数，在（6，+）内为增函数此时5a7，满足题意（4）当a16时，函数f （x）与x轴的另一个交点在6的右侧，在区间（6，+）内f （x）0不恒成立，如图所示，那么f（x）在（6，+）内为增函数不成立，不合题意综上，知5a7为所求评注 对函数单调性的研究，转化为对导函数正负的研究，实际上就是研究函数值正负的分布这种研究过程往往没有现成的定理可以使用，而必须由图象的直观性得出结论在解答书写的过程中，一般不必画出函数图象，但结论的得出又必须依赖于函数图象，这是在解答题中考查数形结合思想的一种形式5. 数形结合在三角函数中的应用【例5】已知acos+bsin=c, acos+bsin=c(ab0,k, kZ)求证：.证明:在平面直角坐标系中，点A（cos,sin）与点B（cos,sin）是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图.从而：AB2=(coscos)2+(sinsin)2=22cos()又单位圆的圆心到直线l的距离由平面几何知识知OA2(AB)2=d2即.评注：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.应用数形结合解题时要注意以下两点：其一数与形转化的等价性，将复杂的问题转化成简单、熟知的数学问题，转化前后的问题必须是等价的；其二，利用“数”的精确性和“形”的全面性，像判断公共点个数问题，转化成图形后要保证“数”的精确性，才能得出正确结论。有些问题所对应的图形不唯一，要根据不同的情况画出相应的图形后，再进行讨论求解。总之，要让学生真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，如果教师只讲解几个典型习题并把学生讲懂了，就认为学生领会了数形结合这一思想方法，是偏面的。教师要有做好长期渗透的思想，平时要求学生认真上好每一堂课，学好新教材的系统知识，掌握各种函数的图像特点，理解各种几何图形的性质。教师讲题时，要引导学生根据问题的具体情况，多角度的观察和理解问题，揭示问题的本质联系，利用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的直观启迪“数”的计算，从而来解决问题。教学中要紧紧抓住数形转化的策略，通过多渠道来沟通知识间的联系，激发学生学习兴趣，并及时总结数形结合在解题中运用的规律性，来训练学生的思维能力，提高理解和运用的水平。只有这样，不断提高、深化数形结合运用的能力。【专题演练】1曲线y=1+ (2x2)与直线y=r(x2)+4有两个交点时，实数r的取值范围 .2. 讨论方程的实数解的个数.3.若直线与两坐标轴围成的三角形面积为4求直线的表达式4. 如果，求的取值范围.【参考答案】1. 解析：方程y=1+的曲线为半圆，y=r(x2)+4为过（2，4）的直线.答案：（2. 解:作出函数的图象,如右图所示,函数为水平直线,由图形可知:当时,解的个数是; 当或时,解的个数是; 当时,解的个数是; 当时, 解的个数为3;图23. 解：结合图2，由题意可得： 解得：故所求表达式是4. 解：由于表示以（4，3）为圆心，3为半径的圆面，如图3所示，由于到圆心（4，3）的距离为，当所对应的点在上述圆面变动时，故.
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