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第4课时 排列组合综合题基础过关1解排列组合题中常用的方法有直接法、间接法、两个原理、元素位置分析法、捆绑法、插空法、 枚举法、隔板法、对称法；常用的数学思想主要有分类讨论、思想转化、化归思想、对应思想.2解排列组合综合题一般要遵循以下的两个原则(1)按元素性质进行分类(2)按事情发生的过程进行分步.3处理排列组合综合性问题时一般方法是先取(选)后排，但有时也可以边取(选)边排.4对于有多个约束条件的问题，先应该深入分析每个约束条件，再综合考虑如何分类或分步，但对于综合性较强的问题则需要交叉使用两个原理来解决问题.典型例题例1. 五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：（1）甲必须在排头；（2）甲必须在排头，并且乙在排尾；（3）甲、乙必须在两端；（4）甲不在排头，并且乙不在排尾；（5）甲、乙不在两端；（6）甲在乙前；（7）甲在乙前，并且乙在丙前；（8）甲、乙相邻；（9）甲、乙相邻，但是与丙不相邻；（10）甲、乙、丙不全相邻解析：（1）特殊元素是甲，特殊位置是排头；首先排“排头”有种，再排其它4个位置有种，所以共有：=24种（2）甲必须在排头，并且乙在排尾的排法种数：=6种（3）首先排两端有种，再排中间有种，所以甲、乙必须在两端排法种数为：=12种（4）甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：2+=78种（5）因为两端位置符合条件的排法有种，中间位置符合条件的排法有种，所以甲、乙不在两端排法种数为=36种（6）因为甲、乙共有2！种顺序，所以甲在乙前排法种数为：2！=60种（7）因为甲、乙、丙共有3！种顺序，所以甲在乙前，并且乙在丙前排法种数为：3！=20种（8）把甲、乙看成一个人来排有种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻排法种数为=48种（9）首先排甲、乙、丙外的两个有，从而产生3个空，把甲、乙看成一个人与丙插入这3个空中的两个有，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻，但是与丙不相邻排法种数为=24种（10）因为甲、乙、丙相邻有，所以甲、乙、丙不全相邻排法种数为=84种变式训练1：某栋楼从二楼到三楼共10级，上楼只许一步上一级或两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则不同的上楼方法有（ ）A45种B36种 C28种D25种解：C. 8步走10级，则其中有两步走两级，有6步走一级一步走两级记为a，一步走一级记为b，所求转化为2个a和6个b排成一排，有多少种排法故上楼的方法有C28种；或用插排法例2. (1) 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能事去或同不去，则不同的选派方案菜有多少处？(2) 5名乒乓选手的球队中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有多少种？解：（1）分类：第一为甲丙都去，第二类不去共有种（2）分类：第一类两名老队员都去，第二类去一名老队员共有种变式训练2：某班新年联欢会原定的六个节目已安排成节目单，开演前又增加了三个新节目，如果将这三个节目插入原来的节目单中，那么不同的插法种数是（ ）A504B210 C336D120 解：A504 故选A 例3. 已知直线ax+by+c=0中的系数a，b，c是从集合-3，-2，-1，0，1，2，3中取出的三个不同的元素，且该直线的倾斜角为锐角，请问这样的直线有多少条？解：首先把决定“直线条数”的特征性质，转化为对“a，b，c”的情况讨论。设直线的倾斜角为，并且为锐角。则tan=0,不妨设ab,那么b0当c0时,则a有3种取法,b有3种取法,c有4种取法,并且其中任意两条直线不重合,所以这样的直线有334=36条当c=0时, a有3种取法,b有3种取法, 其中直线:3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0重合,所以这样的直线有33-2=7条故符合条件的直线有7+36=43条变式训练3：将5名大学生毕业生分配到某公司所属的三个部门中去，要求每个部门至少分配一人，则不同的分配方案共有_种.解： 例4. 从集合1，2，3，20中任选3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？解：a，b，c a，b，c成等差数列 要么同为奇数，要么同为偶数，故满足题设的等差数列共有AA180(个)变式训练4：某赛季足球比赛中的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一球 队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜负平的情况共有多少种？解：设该队胜负平的情况是：胜x场，负y场，则平15(xy)场，依题意有：x9 。故有3种情况，即胜、负、平的场数是：9，0，6；10，2，3；11，4，0小结归纳1排列组合应用题的背景丰富无特定的模式和规律可循，背景陌生时，必须认真审题，把握问题的本质特征，并善于把问题转化为排列组合的常规模式进而求解.2排列组合应用题题形多变，但首先要弄清是有序还是无序，这是一个核心问题.3对于用直接法解较难的问题时，则采用间接法解.
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