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第七章 直线、平面、简单几何体考试内容：9（A）平面及其基本性质平面图形直观图的画法平行直线对应边分别平行的角异面直线所成的角异面直线的公垂线异面直线的距离直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直的判定与性质点到平面的距离斜线在平面上的射影直线和平面所成的角三垂线定理及其逆定理平行平面的判定与性质平行平面间的距离二面角及其平面角两个平面垂直的判定与性质多面体正多面体棱柱棱锥球9（B）平面及其基本性质平面图形直观图的画法平行直线直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直的判定三垂线定理及其逆定理两个平面的位置关系空间向量及其加法、减法与数乘空间向量的坐标表示空间向量的数量积直线的方向向量异面直线所成的角异面直线的公垂线异面直线的距离直线和平面垂直的性质平面的法向量点到平面的距离直线和平面所成的角向量在平面内的射影 平行平面的判定和性质平行平面间的距离二面角及其平面角两个平面垂直的判定和性质多面体正多面体棱柱棱锥球考试要求9（A）（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形能够根据图形想像它们的位置关系（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定量掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理（5）会用反证法证明简单的问题（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图 （8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式9（B）（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理（3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘（4）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算（5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式（6）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念（7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理（8）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念 （9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图（10）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图（11）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式 平面与空间直线一.知识回顾:(一)平面：1、平面的两个特征：无限延展 平的（没有厚度）2、平面的画法：通常画平行四边形来表示平面3、平面的表示：（1）用一个小写的希腊字母、等表示，如平面、平面；（2）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC(二)三公理三推论:公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内.A,B,A,B公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。公理3:经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.推论一:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.推论二:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面.(三)空间直线:1.空间两条直线的位置关系：（1）相交直线有且仅有一个公共点；（2）平行直线在同一平面内，没有公共点； （3）异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线异面直线的画法常用的有下列三种：2. 平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。3.等角定理等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等4异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：与a是异面直线二基本训练：1、表示不同的点，、表示不同的直线，、表示不同的平面，下列推理不正确的是 （ ），直线，且不共线与重合选2一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ） 选3对于空间三条直线，有下列四个条件：三条直线两两相交且不共点；三条直线两两平行；三条直线共点；有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交其中，使三条直线共面的充分条件有 （ ）1个 2个 3个 4个选4空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定 个平面 答案：7个三例题分析：DCBAEFHG例1如图，在四边形ABCD中，已知ABCD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面相交于点E，G，H，F求证：E，F，G，H四点必定共线解：ABCD，AB，CD确定一个平面又ABE，AB，E，E，即E为平面与的一个公共点同理可证F，G，H均为平面与的公共点两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，E，F，G，H四点必定共线说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论例2已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面证明 1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，badcGFEAabcdHK图1图2但Ad，如图1直线d和A确定一个平面又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则A，E，F，GA，E，A，Ea，a同理可证b，ca，b，c，d在同一平面内2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K又 H，Kc，c,则c同理可证da，b，c，d四条直线在同一平面内说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内本题最容易忽视“三线共点”这一种情况因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义例3已知不共面的三条直线、相交于点，求证：与是异面直线证一：（反证法）假设AD和BC共面，所确定的平面为，那么点P、A、B、C、D都在平面内，直线a、b、c都在平面内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立，AD和BC是异面直线。证二：（直接证法）ac=P，它们确定一个平面，设为，由已知C平面，B平面，AD平面，BAD，AD和BC是异面直线。四、作业同步练习 平面与空间直线1下列四个命题：（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线（2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条（3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面（4）若与是异面直线，与是异面直线，则与也异面其中真命题个数为 （ ）3 2 1 02在正方体中，、分别是棱和的中点，为上底面的中心，则直线与所成的角为（ ）300 450 600 3AB、CD在平面内，AB/CD，且AB与CD相距28厘米，EF在平面外，EF/AB，且EF与AB相距17厘米，EF与平面相距15厘米，则EF与CD的距离为（ ）25厘米 39厘米 25或39厘米 15厘米 4已知直线a，如果直线b同时满足条件：a、b异面a、b所成的角为定值a、b间的距离为定值，则这样的直线b有（ ）1条 2条 4条 无数条5已知异面直线a与b所成的角为500，P为空间一点，则过点P与a、b所成的角都是300的直线有且仅有（ ）1条 2条 3条 4条6在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小 7在棱长为的正四面体中，相对两条棱间的距离为_ 8两条异面直线、间的距离是1cm，它们所成的角为600，、上各有一点A、B，距公垂线的垂足都是10cm，则A、B两点间的距离为_9在三棱台中，侧棱底面，且，（1）求证：，（2）求异面直线和的距离10 一条长为的线段夹在互相垂直的两个平面、之间，AB与所成角为，与所成角为，且，、是垂足，求（1）的长；（2）与所成的角参考答案DACDB 9、（1）略证，先证BC平面AA1B1B，即得BCA1B，BCA1A，又A1AA1C（已知），由三垂线定理的逆定理可知，A1AA1B（2）略解，由（1）知，A1AA1B，A1BBC，A1B就是A1A和BC的公垂线段。但AA1BBB1A1，又AB=2cm，10、解：（1）连BC、AD，可证AC，BD，ABC=300，BAD=450 ，RtACB中，BC=ABcos300= ，在RtADB中，BD=ABsin450= 在RtBCD中，可求出CD=1cm（也可由AB2=AC2+BD2+CD2-2ACBDcos900求得）（2）作BE/l，CE/BD，BECE，则ABE就是AB与CD所成的角，连AE，由三垂线定理可证BEAE，先求出AE=，再在RtABE中，求得ABE=600。说明：在（3）中也可作CHAB于H，DFAB于F，HF即为异面直线CH、DF的公垂线，利用公式CD2=CH2+DF2+HF2-2CHDFcos，求出cos=。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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