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3-专题课时作业一、选择题1(2020山东聊城)函数f(x)的图象如图所示,下列数值排序正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3)f(3)f(2)f(2)C0f(3)f(2)f(3)f(2)D0f(3)f(2)f(2)Cm Dm2,则方程x3ax210在(0,2)上恰好有()A0个根 B1个根C2个根 D3个根答案B解析设f(x)x3ax21,则f(x)x22axx(x2a),当x(0,2)时,f(x)0,f(x)在(0,2)上为减函数,又f(0)f(2)14a9时,y0,所以函数yx381x234在(9,)上单调递减,在(0,9)上单调递增,所以x9是函数的极大值点,又因为函数在(0,)上只有一个极大值点,所以函数在x9处取得最大值二、填空题5设f(x)x3ax25x6在区间1,3上为单调函数,则实数a的取值范围为_解析f(x)x22ax5,当f(x)在1,3上单调减时,由得a3;当f(x)在1,3上单调增时,f(x)0中,4a2450,或得a,(,)综上:a的取值范围为(,3,)三、解答题6已知定义在正实数集上的函数f(x)x22ax,g(x)3a2lnxb,其中a0,设两曲线yf(x),yg(x)有公共点,且在该点处的切线相同(1)用a表示b,并求b的最大值;(2)求证:f(x)g(x)(x0)解(1)设yf(x)与yg(x)(x0)在公共点(x0,y0)处的切线相同,f(x)x2a,g(x),依题意得,即由x02a,得x0a或x03a(舍去)即有ba22a23a2lnaa23a2lna.令h(t)t23t2lnt(t0),则h(t)2t(13lnt),由h(t)0得te或t0(舍去)列表如下:于是函数h(t)在(0,)上的最大值为h(e)e,即b的最大值为e.(2)设F(x)f(x)g(x)x22ax3a2lnxb(x0),则F(x)x2a(x0),由F(x)0得xa或x3a(舍去)列表如下:于是函数F(x)在(0,)上的最小值是F(a)F(x0)f(x0)g(x0)0.故当x0时,有f(x)g(x)0,即当x0时,f(x)g(x)7将一张26米的硬钢板按图纸的要求进行操作:沿线裁去阴影部分,把剩余部分按要求焊接成一个有盖的长方体水箱(为底,为侧面,为水箱盖其中与、与分别是全等的矩形,且),设水箱的高为x米,容积为y立方米(1)写出y关于x的函数关系式;(2)如何设计x的大小,使水箱的容积最大?解析(1)依据意水箱底的宽为(22x)米,长为(3x)米,则水箱的容积y(22x)(3x)x(0x1)即为y关于x的函数关系式(2)y(22x)(3x)x2x38x26x(0x1),y6x216x6.令y6x216x60得x,当0x0,函数单调递增;当x1时,y0,函数单调递减,当x时函数y(22x)(3x)x(0x0,所以当x2时,f(x)0;当0x2时,f(x)0时原方程有唯一解,所以函数yh(x)与ym的图象在y轴右侧有唯一的交点又h(x)4x14,且x0,所以当x4时,h(x)0;当0x4时,h(x)0时原方程有唯一解的充要条件是mh(4)16ln224.9(2020衡水调研)设函数f(x)x22x2ln(1x)(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当x1,e1时,是否存在整数m,使不等式m0得函数f(x)的定义域为(1,)f(x)2x2.由f(x)0,得x0;由f(x)0,得1x1,x1,e1时,f(x)maxe2e.不等式mf(x)m22me2恒成立,即1m0.m是整数,m1.存在整数m1,使不等式m0.(1)若a1,求曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程;(2)若在区间,上,f(x)0恒成立,求a的取值范围解析(1)当a1时,f(x)x3x21,f(2)3;f(x)3x23x,f(2)6.所以曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y36(x2),即y6x9.(2)f(x)3ax23x3x(ax1)令f(x)0,解得x0或x.以下分两种情况讨论:若00等价于即解不等式组得5a5,因此02,则00等价于即.解不等式组得a5或a.因此2a5.综合和,可知a的取值范围为0a5.
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