2020年高考数学 概率与统计试题

2020年高考数学 概率与统计试题1(全国) 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为123450.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元表示经销一件该商品的利润（）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；（）求的分布列及期望解：（）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，（）的可能取值为元，元，元，的分布列为（元）2(全国II) 在某项测量中，测量结果服从正态分布若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为 解：在某项测量中，测量结果x服从正态分布N（1，s2）（s0），正态分布图象的对称轴为x=1，x在（0，1）内取值的概率为0.4，可知，随机变量在(1，2)内取值的概率于x在(0，1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量在(0，2)内取值的概率为0.8。从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列解：（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”则互斥，且，故于是解得（舍去）（2）的可能取值为若该批产品共100件，由（1）知其二等品有件，故 所以的分布列为012 123 10 20 30 4050参加人数活动次数3（北京卷）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为（III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件易知；的分布列：012的数学期望：4（天津卷）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现在从甲、乙两个盒内各任取2个球.(I)求取出的4个球均为黑色球的概率；(II)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(III)设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望.解：(I)设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件B.由于事件A，B相互独立，且.故取出的4个球均为黑球的概率为.(II)解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C，D互斥，且.故取出的4个球中恰有1个红球的概率为.(III)解：可能的取值为.由(I)，(II)得又 从而.的分布列为0123的数学期望.5(上海卷) 在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示） 解： =6（重庆卷）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）A B C D解：可从对立面考虑，即三张价格均不相同， 选C某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中：（1）获赔的概率；(4分)（2）获赔金额的分别列与期望。(9分)解：设表示第辆车在一年内发生此种事故，由题意知，独立，且，（）该单位一年内获赔的概率为（）的所有可能值为，综上知，的分布列为求的期望有两种解法：解法一：由的分布列得（元）解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，则有分布列故同理得，综上有（元）7（辽宁卷）一个坛子里有编号为1，2，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ）ABCD解： 从中任取两个球共有种取法，其中取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的取法有种取法，概率为，选D.某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示：市场情形概率价格与产量的函数关系式好0.4中0.4差0.2设分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量，表示当产量为而市场前景无法确定的利润（I）分别求利润与产量的函数关系式；（II）当产量确定时，求期望；（III）试问产量取何值时，取得最大值 ()解:由题意可得L1= (q0).同理可得 (q0)(q0) 4分 () 解:由期望定义可知 8分() 解:由()可知是产量q的函数,设得0解得(舍去).由题意及问题的实际意义(或当0q10时,0;当q10时, 可知,当q=10时, f(q)取得最大值,即最大时的产量q为10. 12分8（江苏卷）某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留到小数点后面第2位）（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分）（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第次预报准确的概率；（4分）解：（1）次预报中恰有次准确的概率为（2）次预报中至少有次准确的概率为（3）“次预报中恰有次准确，且其中第次预报准确”的概率为9(广东卷) 甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机抽取一个球，则取出的两球是红球的概率为_(答案用分数表示)解：P=下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据（） 请画出上表数据的散点图；（） 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（） 已知该厂技术改造前吨甲产品能耗为吨标准煤.试根据（）求出的线性回归方程，预测生产吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？（参考数据: 325+43+54+64.5=66.5）【命题意图】考查线性回归的应用【参考答案】(1)如下图(2)=32.5+43+54+64.5=66.5=4.5 ， =3. 5=+=86故线性回归方程为y=0.7x+0.35(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7100+0.35=70.35故耗能减少了90-70.35=19.65(吨)10(福建卷) 如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）ABCD解： 从中任取三个数共有种取法，没有同行、同列的取法有，至少有两个数位于同行或同列的概率是，选D.两封信随机投入三个空邮箱，则邮箱的信件数的数学期望 解：的取值有0，1，2， 所以E=11(安徽卷) 以表示标准正态总体在区间（）内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于 （A）-（B） （C）（D）解：=，选B。在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以表示笼内还剩下的果蝇的只数.（）写出的分布列（不要求写出计算过程）；（）求数学期望E；（）求概率P（E）.解：（）的分布列为：0123456（）数学期望为（）所求的概率为12(湖南卷) 设随机变量服从标准正态分布，已知，则=（ ）A0.025B0.050C0.950D0.975解：服从标准正态分布， 选C某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力.每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，（I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是所以该人参加过培训的概率是解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是该人参加过两项培训的概率是所以该人参加过培训的概率是（II）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分布，即的分布列是01230.0010.0270. 2430.729的期望是（或的期望是）13（湖北卷）连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（ ）ABCD解： 由向量夹角的定义，图形直观可得，当点位于直线上及其下方时，满足，点的总个数为个，而位于直线上及其下方的点有个，故所求概率，选C某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率为（用数值作答） 解：由题意知所求概率分组频数合计在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（I）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系 中画出频率分布直方图；（II）估计纤度落在中的概率及纤度小于的概率是多少？（III）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值 （例如区间的中点值是）作为代表据此，估计纤度的期望解：（）分组频数频率40.04250.25300.30290.29100.1020.02合计1001.00样本数据频率/组距1.301.341.381.421.461.501.54（）纤度落在中的概率约为，纤度小于1.40的概率约为（）总体数据的期望约为14（江西卷）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）解： 一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为，选B某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，（1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，所以，故解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，则，所以，于是，15（山东卷）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可分析出和分别为（ ）013141516171819秒频率/组距0.360.340.180.060.040.02A0.9，35B0.9，45C0.1，35D0.1，450.360.340.180.060.040.02O 13 14 15 16 17 18 19解：从频率分布直方图上可以看出，. 选A.位于坐标原点的一个质点按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是. 质点移动五次后位于点的概率是（ ）ABCD解：质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点的概率为。选B.设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）（）求方程有实根的概率；（）求的分布列和数学期望；（）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率解：（I）基本事件总数为，若使方程有实根，则，即。当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，,目标事件个数为因此方程 有实根的概率为(II)由题意知，则，故的分布列为012P的数学期望(III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程 有实根” 为事件N，则，.16(陕西卷) 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、，且各轮问题能否正确回答互不影响.（）求该选手被淘汰的概率；（）该选手在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望.（注：本小题结果可用分数表示）解法一：（）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，该选手被淘汰的概率（）的可能值为，的分布列为123解法二：（）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，该选手被淘汰的概率（）同解法一17（四川卷）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.（）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;（）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格.按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望，并求该商家拒收这批产品的概率.解：（）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A来算，有（）可能的取值为 ，记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率；所以商家拒收这批产品的概率为。18（浙江卷）已知随机变量服从正态分布，则ABCD，解：由又故选A.随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若则的值是 解：成等差数列，有联立三式得19（宁夏、海南卷）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表甲的成绩环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数4664分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）解： 选B如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为. 假设正方形的边长为2，的面积为1，并向正方形中随机投掷个点，以表示落入中的点的数目（I）求的均值；（II）求用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率附表：解：每个点落入中的概率均为依题意知（）（）依题意所求概率为，