5三重积分学习教案

会计学15三重三重(sn zhn)积分积分第一页，共34页。当 R3，有 X=(x, y, z) , d = dv则vzyxfd),(三重(sn zhn)积分1. 直角坐标系下三重直角坐标系下三重(sn zhn)积分积分的计算的计算直角坐标(zh jio zu bio)系下，记体积元素dv=dxdydzdzdydxyxz0则zyxzyxfvzyxfddd),(d),(第1页/共34页第二页，共34页。zyxzyxfddd),(yxzzyxfDyxzyxzddd),(),(),(21 zzyxfyxyxzyxzxyxybad),(dd),(),()()(2121xyz0z=z2(x, y)z=z1(x, y)DCase1. 化成一个化成一个(y )定积分和一个定积分和一个(y )二重积分二重积分zzyxfyxyxzyxzDd ),(dd),(),(21设 D 为 在 xy 平面(pngmin)上投影区域.y=y1(x)bay=y2(x)第2页/共34页第三页，共34页。zxyx+y+z=10例例1. 1. 计算计算(j sun)(j sun),dddzyxx其中(qzhng)是由平面x+y+z=1与三个坐标(zubio)面所围闭区域.解：解： D: 0 y 1x, 0 x 1 zyxxdddyxxzxyx101010ddd24111Dx+y=1 xyyxDzxyx10ddd第3页/共34页第四页，共34页。例例2. 2. 计算计算(j (j sun)sun),ddd)cos(zyxzxy其中(qzhng) 是由抛物柱面xy 及平面(pngmin)y=0, z=0, 所围闭区域2 yx,ddd)cos(zyxzxyxDzzxyyx20d)cos(dd解：解： D: 0 y , 0 x x2xxzzxyyx20020d)cos(dd21162yxz2xz0 xy D02yx第4页/共34页第五页，共34页。y=y1(x, z)z0y=y2(x, z)Dxzyzyxzyxfddd),(),(),(21d),(ddzxyzxyDyzyxfzxxzx第5页/共34页第六页，共34页。x=x2(y, z)z0 x=x1(y, z)Dyzyxzyxzyxfddd),(),(),(21d),(ddzyxzyxDxzyxfzyyz第6页/共34页第七页，共34页。例例3 3. 将zyxzyxfddd),(化为三次定积分(jfn)，其中 是由 z= x2+y2 和 z=1所围的闭区域(qy).解：先对解：先对 z 积分积分(jfn)，将，将 向向 xy 平面投影平面投影.z= x2+y2 x2+y2=1 D: x2+y21z=1z=1xyz01Dxyz=1z= x2+y2 第7页/共34页第八页，共34页。zyxzyxfddd),(111112222d),(ddyxxxzzyxfyxxyz01Dxyz=1z= x2+y2 第8页/共34页第九页，共34页。解解2 2：先对：先对 y y 积分，将积分，将 向向 xz xz 平面平面(pngmin)(pngmin)投影：投影：z= x2+y2 Dxy: x2 z 1,z=1 1 x1z= x2+y2 2xzy222d),(ddddd),(111xzxzxyzyxfzxzyxzyxfxyz0Dxz112xzy2xzy第9页/共34页第十页，共34页。Case2. 化为一个化为一个(y )二重积分和一个二重积分和一个(y )定积定积分分zyxzyxfddd),(zyxzyxfzDzzd dd),()(21)(dd),(d21zDzzyxzyxfz :(x, y)D(z), z1zz20 xzyz2zz2D(z)第10页/共34页第十一页，共34页。例例4. 4. 计算计算(j sun)(j sun),ddyxz其中(qzhng) 是由 z=x2+y2 和 z=1所围成的闭区域(qy).xyz01D(z)1解解：D(z): x2+y2zz0, 110ddddzzzyxz)(ddzDyx10dzzz1033z3zz2)(第11页/共34页第十二页，共34页。例例5. 5. 计算计算(j sun)(j sun)解：解： D(x): 0 y 1x, 0 z 1xyzxy0111x : 0 x 1 10ddddxxzyxx102)d(121xxx241)(ddxDzy2)1 (21x,dddzyxx其中(qzhng) 是由平面 x+y+z=1与三个坐标(zubio)面所围闭区域.D(x)z=1xy xy01x1x第12页/共34页第十三页，共34页。设变换(binhun)T： x=x(u, v, w) y=y(u, v, w) z=z(u, v, w)将 uvw 空间(kngjin)中的有界闭域 * 变成 xyz 空间(kngjin)中的有界闭域 ，且满足(1) x=x(u, v, w), y=y(u, v, w), z=z(u, v, w)C1(*)2. 2. 三重三重(sn zhn)(sn zhn)积分的换元公式积分的换元公式第13页/共34页第十四页，共34页。(2) (u, v, w)* 有),(),(wvuzyxuxuyuzvxvyvzwxwywz0第14页/共34页第十五页，共34页。(3) T : * 是一一对应若 f (x, y, z)C( )，则zyxzyxfddd),(*ddd),(),(),(),(),(wvuwvuzyxwvuzwvuywvuxf第15页/共34页第十六页，共34页。M (r, , z)x=rcosy=rsinz=z(0r+, 02, z+)rzM0 xzyyx3 3、利用、利用(lyng)(lyng)柱坐标变换计算三重积柱坐标变换计算三重积分分第16页/共34页第十七页，共34页。柱面坐标柱面坐标(zubio)的三组坐标的三组坐标(zubio)面分别为面分别为 r=常数常数(chngsh) =常数常数(chngsh)z=常数常数xyzo第17页/共34页第十八页，共34页。),(),(zrzyxrxryrzxyzzxzyzz= r 1000cossin0sincos rr故 dxdydz=rdrddzzrrzrrfzyxzyxfddd),sin,cos(ddd),(*第18页/共34页第十九页，共34页。例例6. 6. 计算计算(j (j sun)sun),ddd22zyxyxz其中(qzhng) 由22yxz与 z=1 所围闭区域(qy).解解： D: x2+y2122yxzz =122yxz z =r122 yxz =0 xyz0Dz=rz=1第19页/共34页第二十页，共34页。zrzrzyxyxzdddddd*222110220dddrzzrrrrrd2)1 (2102215212dddrDzzrrxyz0z=rz=11D第20页/共34页第二十一页，共34页。例例7. 7. 计算计算(j sun)(j sun),dddzyxz =(x, y, z) | x2+y2+z21, z0. 解：解：D: x2+y21221yxz21rzzrzrzyxzdddddd*2101020dddrzzrrrrrd2)1 (21024210ddrDzzrdrxyz0121rz第21页/共34页第二十二页，共34页。例例8.8. ,ddd22zyxyxz其中(qzhng)是 由22yxz与 z=1 所围闭区域(qy).解解：用 = 截 得 D()而 0 2 故原积分(jfn)=*2dddzrzr)(220dddDzrzrxyz第22页/共34页第二十三页，共34页。110220drzdzrrdxz)(220dddDrzry152D( )z1r0z= r1第23页/共34页第二十四页，共34页。例例9,dddzyxz其中(qzhng) =(x, y, z) | x2+y2+z21, z0. 解解：用 = 截 得 D()而 0 2 故原积分(jfn) =*dddzrzr)(20dddDzrzrxyz0计算(j sun)三重积分第24页/共34页第二十五页，共34页。2101020dddrzzrr.4xyz021rz011rz)(20dddDrzr第25页/共34页第二十六页，共34页。M (r, ,)x=OPcos z= r cos(0r+, 0, 02)y= OPsin M0zxyrPxyz= r sin cos= rsin sin4 4、利用球坐标变换、利用球坐标变换(binhun)(binhun)计算三重计算三重积分积分第26页/共34页第二十七页，共34页。球面球面(qimin)坐标的三坐标的三组坐标面：组坐标面： r =常数(chngsh) =常数(chngsh) =常数dxdydz= r2sin drddsin),(),(2rrzyxdddsin)cos,sinsin,cossin(ddd),(*2rrrrrfzyxzyxfzxy第27页/共34页第二十八页，共34页。例例10. 10. 计算计算(j (j sun)sun),dddzyxz其中(qzhng) =(x, y, z) | x2+y2+z21, z0. 解解：x2+y2+z2=1 r=1而 0 2 故用 = 截 得 D()原积分(jfn)*2dddsincosrrr)(320ddsincosdDrrxyz0第28页/共34页第二十九页，共34页。xyz0z)(320ddsincosdDrr1032020ddsincosdrr10420242sin2r4011r=1第29页/共34页第三十页，共34页。例例11.11.,ddd)(222zyxzyx22yxz是由其中和 x2+y2+z2=a2 所围成闭区域(qy).解解： x2+y2+z2=a2 r=a22yxz.4原积分(jfn)*22dddsinrrr)(420ddsindDrrzyxa第30页/共34页第三十一页，共34页。zyxa)(420ddsindDrrarr044020ddsind)22(515ar=a4z第31页/共34页第三十二页，共34页。三重积分三重积分(jfn)的定义和计算的定义和计算（计算（计算(j sun)时将三重积分化为三次积分时将三重积分化为三次积分）第32页/共34页第三十三页，共34页。柱面坐标柱面坐标(zubio)(zubio)的的体积元素体积元素dzrdrddxdydz 球面球面(qimin)(qimin)坐标的坐标的体积元素体积元素 ddrdrdxdydzsin2 柱面坐标柱面坐标(zubio(zubio) )球面坐标球面坐标作业：作业：P251: 1-P251: 1-（1 1）, ,（2 2） 3 3（1 1）cos ,sin ,.xryrzzsincos ,sinsin ,cos .xryrzr第33页/共34页第三十四页，共34页。