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专题一 空间几何体看一看多面体由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。 旋转体把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。（2）柱，锥，台，球的结构特征1.棱柱1.1棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。1.2棱柱的性质：侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。2.圆柱2.1圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.3.棱锥3.1棱锥有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。3.2棱锥的性质：平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）4.圆锥4.1圆锥以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。4.2圆锥的性质：平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；轴截面是等腰三角形5.球的性质：球心与截面圆心的连线垂直于截面；（球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r）球面积、体积公式：（其中R为球的半径）想一想1 各个面均为平行四边形的几何体是否一定为棱柱？2圆柱和圆锥各自展开图是什么图形？练一练1若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是_.2平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的表面积为 _；ABCC1A1B1EFDD13正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且，则三棱锥BAEF的体积为是_4将边长为的正方形沿对角线折起，使，则三棱锥的体积为 5底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为 6已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为 .7如图，在长方体中，3 cm，2 cm，1 cm，则三棱锥的体积为 cm38已知E、F、G、H分别是三棱锥A-BCD 棱AB、BC、CD、DA的中点，ABCDEFGH（1）四边形EFGH是_形（2）AC与BD所成角为，且AC=BD=1，则EG=_9如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的一点（1）求证：平面PAC平面PBC；（2）若PA=AB=2，ABC=30，求三棱锥P-ABC的体积10在棱长为2的正方体中,、分别为、 的中点（1）求证:/平面； （2）求三棱锥的体积11如图所示，在边长为12的正方形 中，点在线段上，且，作 ，分别交于点， 作，分别交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图的三棱柱 （1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积12如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AA1=4，点D是AB的中点（1）求证：ACBC1；（2）求多面体的体积；乐一乐现在的情书要这样写-属于数学老师的（一） 1.我的心就是一个圆形，因为它的离心率永远是零。我对你的思念就是一个循环小数，一遍一遍，执迷不悟。我们就是抛物线，你是焦点，我是准线，你想我有多深，我念你便有多真。 2.生活，可以是甜的，也可以是苦的，但却不能没有你，就像分母，可以是正的，也可以是负的，却不能没有意义。有了你，我的世界才有无穷大，因为任何实数，都无法表达，我对你深深的love。专题二 空间平行关系看一看1.线面平行：定义：直线与平面无公共点.判定定理：（线线平行线面平行）【如图】性质定理：（线面平行线线平行）【如图】判定或证明线面平行的依据：（i）定义法（反证）：；（ii）判定定理：“线线平行面面平行”（用于证明）；（iii）“面面平行线面平行”（用于证明）；2.面面平行：定义：；判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述： 图 图推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行符号表述： 【如上图】判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：.判定与证明面面平行的依据：（1）定义法；（2）判定定理及推论（常用）（3）判定2面面平行的性质：（1）（面面平行线面平行）；（2）；（面面平行线线平行）想一想“一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内两条相交直线，则这两个平面平行.”正确吗？能作为证明的依据吗？练一练1如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M、N分别是棱C1D1，C1C的中点给出以下四个结论：直线AM与直线C1C相交；直线AM与直线DD1异面；直线AM与直线BN平行；直线BN与直线MB1异面其中正确结论的序号为 （填入所有正确结论的序号）2设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：其中真命题的个数是 若，则；若，则；若，则； 若，则3已知是直线，是平面，下列命题中，正确的命题是 . 若垂直于内两条直线，则； 若平行于，则内可有无数条直线与平行； 若mn，nl则ml； 若，则； 42020长春质检如图，四棱锥PABCD的底面是一直角梯形，ABCD，BAAD，CD2AB，PA底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为_5下面是空间线面位置关系中传递性的部分相关命题：与两条平行线中一条平行的平面必与另一条直线平行；与两条平行线中一条垂直的平面 必与另一条直线垂直；与两条垂直直线中一条平行的平面必与另一条直线垂直；与两条垂直直线中一条垂直的平面必与另一条直线平行；与两个平行平面中一个平行的直线必与另一个平面平行；与两个平行平面中一个垂直的直线必与另一个平面垂直；与两个垂直平面中一个平行的直线必与另一个平面垂直；与两个垂直平面中一个垂直的直线必与另一个平面平行.其中正确的命题个数有_个.6如图，矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE.若M为线段A1C的中点，则在ADE翻折过程中，下面四个命题中正确的是 .BM是定值 点M在某个球面上运动存在某个位置，使DEA1 C 存在某个位置，使MB/平面A1DE7已知平面，直线.给出下列命题： 若，则； 若，则； 若，则； 若，则.其中是真命题的是 （填写所有真命题的序号）8正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)当0CQ时，S为四边形；当CQ时，S为等腰梯形；当CQ，点在圆外 （2）=，点在圆上（3），点在圆内3、圆的一般方程1）、圆的一般方程： 2）、圆的一般方程的特点： (1)x2和y2的系数相同，不等于0没有xy这样的二次项 (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。想一想方程能否表示一个圆？有何条件？练一练1圆心在y轴上, 半径为1, 且过点（1,2）的圆的标准方程是 .2圆与y轴交于A、B两点，圆心为P，若APB=120，则实数c值为_3圆的方程过点和原点，则圆的方程为 ；4已知点P(a，b)关于直线l的对称点为P(b1，a1)，则圆C：x2y26x2y0关于直线l对称的圆C的方程为_5已知圆与直线及都相切，且圆心在直线上，则圆的方程为 .6已知点为圆外一点，圆M上存在点T使得则实数的取值范围是 7如果实数满足，则的最小值为 8已知圆C过点，且圆心在轴的负半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为_.9求与x轴相切，圆心C在直线3xy0上，且截直线xy0得的弦长为2的圆的方程10已知方程表示一个圆（1）求实数的取值范围；（2）求圆心的轨迹方程11已知一个圆经过直线l：与圆C：的两个交点，并且面积有最小值，求此圆的方程12已知两点，.（1）求过、两点的直线方程； （2）求线段的垂直平分线的直线方程；（3）若圆经过、两点且圆心在直线上，求圆的方程乐一乐牛 顿 问 题“有一牧场，养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。若养牛21头，几天把草吃尽？并且牧场上的草是不断生长的。” 把一牛一天所吃的草看作1，那么就有： 27牛6天所吃的草为276162 ；23牛9天所吃的草为239207 ；1天新长的草为（207162）（96）15 ；牧场上原有的草为27615672 ；每天新长的草足够15牛吃，剩下6头吃原牧场的草：72（2115）72612（天） 专题六 直线与圆的位置关系看一看1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当时，直线与圆相离；（2）当时，直线与圆相切；（3）当时，直线与圆相交；2、直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论想一想处理直线与圆的位置关系时可用几何法和代数法两种方法，优先考虑哪种？练一练1过点，被圆截得的弦长为的直线方程是 2已知圆与直线相切，则 3过点P（3，1）向圆作一条切线，切点为A，则切线段PA的长为 .4过圆内一点作两条相互垂直的弦, 当时, 四边形的面积为 .5直线的位置关系为 6已知圆C：，点P在直线l：上，若圆C上存在两点A、B使得，则点P的横坐标的取值范围是 7已知圆：，为坐标原点，若正方形的一边为圆的一条弦，则线段长度的最大值是 .8已知圆与直线相交于、两点，则当的面积最大时，实数的值为 9已知圆及直线. 当直线被圆截得的弦长为时， 求（1）的值； （2）求过点并与圆相切的切线方程.10已知已知圆经过、两点，且圆心C在直线上.（）求圆C的方程；（）若直线与圆总有公共点，求实数的取值范围. 11设直线和圆相交于点。（1）求弦的垂直平分线方程；(2)求弦的长。12已知圆：，直线过定点（）若与圆相切，求的方程； （）若与圆相交于、两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程乐一乐数学神童维纳的年龄(一） 20世纪著名数学家诺伯特维纳，是美国哈佛大学的最年轻的科学博士。有人询问他的年龄，他的回答十分巧妙：“我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，不重不漏。这意味着全体数字都向我俯首称臣，预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大事业。”专题七 圆与圆的位置关系看一看1、圆与圆的位置关系 设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当时，圆与圆相离；（2）当时，圆与圆外切；（3）当时，圆与圆相交；（4）当时，圆与圆内切；（5）当时，圆与圆内含；2、空间直角坐标系1）、点M对应着唯一确定的有序实数组，、分别是P、Q、R在、轴上的坐标2）、有序实数组，对应着空间直角坐标系中的一点3）、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M，叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标。3、空间两点间的距离公式空间中任意一点到点之间的距离公式想一想“圆与圆的公共弦方程为: .”正确吗？练一练1两圆(x+3)2+(y-2)2=4和(x-3)2+(y+6)2=64的位置关系是_(填“相交”、“外切”、“内切”、“相离”)2 若圆与圆关于直线对称，则的方程为 3若圆与圆外切，则正数t的值是 4圆与圆的公共弦所在直线的方程为 5两圆与相交，则的取值范围是 6已知为实数）上任意一点关于直线的对称点都在上，则_.7点P在圆：上，点Q在圆： 上，则的最大值为 .8已知圆：，圆：，过圆上任意一点作圆的一条切线，切点为，则的取值范围是 . 9求过两圆的交点， ()且过M的圆的方程； ()且圆心在直线上的圆的方程。10已知圆，交于A、B两点；（1）求过A、B两点的直线方程；（2）求过A、B两点，且圆心在直线上的圆的方程.11a为何值时，圆C1：x2+y2-2ax+4y+(a2-5)=0和圆C2：x2+y2+2x-2ay+(a2-3)=0有四条公切线? 12如图，已知圆，圆（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设动圆同时平分圆、圆的周长求证：动圆圆心在一条定直线上运动；动圆是否过定点？若过，求出定点的坐标；若不过，请说明理由乐一乐数学神童维纳的年龄（二) 不难发现，21的立方是四位数，而22的立方已经是五位数了，所以维纳的年龄最多是21岁；同理，18的四次方是六位数，而17的四次方则是五位数了，所以维纳的年龄至少是18岁。这样，维纳的年龄只可能是18、19、20、21这四个数中的一个。再“一一筛选”了。20的立方是8000，有3个重复数字0，不合题意。同理，19的四次方等于130321，21的四次方等于194481，都不合题意。最后只剩下一个18。专题八 正弦定理看一看1、正弦定理：.（其中为外接圆的半径）用途：已知三角形两角和任一边，求其它元素； 已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。2、三角形面积公式：3、三角形内角和定理： 在ABC中，有.4、一个常用结论： 在中，若特别注意，在三角函数中，不成立。想一想在解三角形中一般什么情况下想到运用正弦定理处理问题？练一练1在中，内角所对的边分别为，且满足，则角B的大小为 .2在ABC中，AB=A=45，C=60,则BC= .3在中，角、所对的边分别为、，已知，则_ 4在中，,则的面积等于_ _.5在中，角所对应的边分别为.已知，则 _6在ABC中，若b2a，BA60，则A_7中，三角形面积， 8在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知。若，则 9设的内角的对边分别且，若，求的值。10中，角所对的边分别为，已知=3，=,（1）求的值；（2）求的面积.11（三角形中，且.（1）求 ； （2）求.12已知圆的内接四边形ABCD的边长分别为AB2，BC6， CDDA4，（1）求角A的大小；（2）求四边形ABCD的面积乐一乐棘手的盗窃案 某地发生凶杀案，一个警察在现场发现了一块走时很精确的高级怀表，但已停止运行。那警察不小心把怀表的指针拨弄了几圈。 对于侦探长的询问，那警察报告说:具体时间没有细看，但有一点我印象十分深刻，就是时针和分针正好重叠在一起，而秒针却停留在一个斑点的地方。 侦探长看了看怀表，表面有斑点的地方是49秒，很快抓到了凶手。 你知道怀表指针究竟停在什么时刻吗?专题九 余弦定理看一看1、余弦定理：用途：已知三角形两边及其夹角，求其它元素；已知三角形三边，求其它元素。做题中两个定理经常结合使用.2、三角形面积公式：3、三角形内角和定理： 在ABC中，有.4、一个常用结论： 在中，若特别注意，在三角函数中，不成立。想一想在解三角形中一般什么情况下想到运用正弦定理处理问题？练一练1在中，三个角的对边边长分别为,则的值为 .2若三个内角满足 ,则此三角形内角的最大值为 3在中，已知 ，则的大小为 .4已知等差数列an的前n项和为Sn(a1)n2a，某三角形三边之比为a2a3a4，则该三角形的最大角为_5已知中，则 . 6在中，角所对的边分别为.若，则7已知的内角、所对的边分别是，若，则角的大小是 .8在中，若，则角B= 。9设的内角所对边的长分别是，且，的面积为，求与的值.10ABC中，D在边BC上，且BD2，DC1，B60o，ADC150o，求AC的长及ABC的面积11设的内角的对边分别为，满足（1）求角的大小；（2）若，求的面积12已知的三边成等比数列，且，（1）求；（2）求的面积乐一乐几何的三大问题（一）化圆为方 平面几何作图限制只用直尺、圆规，用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形，但有些图形如正七边形就做不出来。几何三大问题是 : 1.化圆为方求作一正方形使其面积等於一已知圆： 圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为1则其面积为(1)2=，所以化圆为方的问题等於去求一正方形其面积为，也就是用尺规做出长度为1/2的线段（或者是的线段）。专题十 解斜三角形看一看1、 正弦定理：在中，、分别为角、的对边，则有(为的外接圆的半径)2、 正弦定理的变形公式：，；，；3、三角形面积公式：3、 余弦定理：在中，有，推论：想一想在解三角形中有一种情形较为灵活：当已知三角形两边和其中一边的对角时，应用什么定理来解决呢？练一练1的内角A,B,C的对边分别为，已知，则B= .2已知ABC的一个内角为120度，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_3已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且， 则的值是_4设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=，cosC=，则sinB= _ 5在锐角中，角的对边分别是，若的面积为，则 ； 6若满足，的恰有一解，则实数的取值范围是 7如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度BC约等于 .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：，）8如图一蜘蛛从点出发沿正北方向爬行到处捉到一只小虫，然后向右转，爬行到处捉到另一只小虫，这时它向右转爬行回到它的出发点，那么9在中，已知,.（1）求与的值；（2）若角，的对边分别为，且，求，的值.10设是锐角三角形，三个内角，所对的边分别记为，并且.（）求角的值；（）若，求，（其中）11在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（）求的值； （）若，且，求的值OBAC东北12如图，港口在港口正东方海里处，小岛在港口北偏东方向和港口北偏西方向上，一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东的方向以每小时海里的速度驶离港口，一艘快艇从港口B出发，以每小时海里的速度驶向小岛，在岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间需要小时，问快艇驶离港口后最少要经过多少时间才能和考察船相遇？乐一乐几何的三大问题（二）三等分任意角 对於某些角如90。、180。三等分并不难，是否所有角都可以三等分呢？例如60。，若能三等分则可以做出20。的角，那麽正18边形及正九边形也都可以做出来了。其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。1637年笛卡儿创建解析几何以后，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837年旺策尔给出三等分任一角不可能用尺规作图的证明。专题十一 数列的概念看一看1.数列的有关概念：（1） 数列：按照一定次序排列的一列数。数列是有序的。数列是定义在自然数N*或它的有限子集1,2,3,n上的函数。（2） 通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示，这个公式即是该数列的通项公式。如: 。（3） 递推公式：已知数列an的第1项（或前几项），且任一项an与他的前一项an-1（或前几项）可以用一个公式来表示，这个公式即是该数列的递推公式。如: 。2数列的表示方法：（1） 列举法：如1，3，5，7，9， （2） 图象法：用（n, an）孤立点表示。（3） 解析法：用通项公式表示。（4） 递推法：用递推公式表示。3数列的分类： 4数列an及前n项和之间的关系: 想一想当已知数列的某一递推关系，来处理它的前几项或要探询其干规律时常用什么方法？练一练1已知数列满足，且，则 2若数列中，则_3已知数列的通项公式，则 . 4已知数列an的前n项和，那么它的通项公式为an=_ 5根据下面一组等式：可得_。6仔细观察下面4个数字所表示的图形：请问：数字100所代表的图形中有个小方格. 7已知数列中，则 8已知数列：中，令，表示集合中元素的个数若（为常数，且，）则 9已知数列前项和，（1）求其通项；（2）若它的第项满足，求的值。10已知数列an的前n项和为Sn，,满足，（1）求的值；（2）猜想的表达式。11已知数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）数列中，令， ，求.12在数列、中，的前项和为，点、分别在函数 及函数的图象上（）求数列、的通项公式；（）令 ，求数列的前项和乐一乐.几何的三大问题（三）倍立方 3.倍立方求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍： 埃拉托塞尼曾经记述一个神话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍，有人主张将每边长加倍，但我们都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的8倍。 1637年笛卡儿创建解析几何以後，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837年旺策尔给出倍立方不可能用尺规作图的证明。专题十二 等差数列看一看定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即=d ，（n2，nN），那么这个数列就叫做等差数列。等差中项：若三数成等差数列通项公式： 或 前项和公式：常用性质：若，则；下标为等差数列的项，仍组成等差数列；数列（为常数）仍为等差数列；若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、，也成等差数列。单调性：的公差为，则：）为递增数列；）为递减数列；）为常数列；数列为等差数列（p,q是常数）若等差数列的前项和，则、 是等差数列。想一想等差数列的函数特征是什么？练一练1已知等差数列中，则的值是 2设等差数列的前项和为，已知，则 3设等差数列的公差不为0，若是与的等比中项，则 4已知等差数列中，若前5项的和，则其公差为 .5等差数列中，（），则数列的公差为_.6若等差数列中，满足，则=_7已知是等差数列的前n项和，且，给出下列五个命题： ；数列中的最大项为；其中正确命题有8.将一个等差数列依次写成下表：第1行：2第2行：5811第3行：1417202326第行：（其中表示第行中的第个数）那么第行的数的和是_.9已知数列满足，令.（）证明：数列是等差数列；（）求数列的通项公式10已知等差数列，为其前项和，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和11己知等比数列所有项均为正数，首项，且成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）数列的前n项和为，若S6=63，求实数的值12在等差数列an中，为其前n项和，且（）求数列an的通项公式； （）设，求数列的前项和乐一乐麦比乌斯带每一张纸均有两个面和封闭曲线状的棱(edge)，如果有一张纸它有一条棱而且只有一个面，使得一只蚂蚁能够不越过棱就可从纸上的任何一点到达其他任何一点，这有可能吗?事实上是可能的只要把一条纸带半扭转，再把两头贴上就行了。这是德国数学家麦比乌斯(Mbius.A.F 1790-1868)在1858年发现的，自此以後那种带就以他的名字命名，称为麦比乌斯带。莫比乌斯带常被认为是无穷大符号的创意来源。专题十三 等比数列看一看定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。等比中项：若三数成等比数列（同号）。反之不一定成立。通项公式：前项和公式：常用性质若，则；为等比数列，公比为(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列；正项等比数列；则是公差为的等差数列；若是等比数列，则 是等比数列，公比依次是单调性：为递增数列；为递减数列；为常数列；为摆动数列；既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。若等比数列的前项和，则、 是等比数列.想一想等比数列的函数特征是什么？练一练1等比数列的公比大于1，则 2设等比数列的公比为（），前n项和为，若，且与的等差中项为，则 3已知公比为负值的等比数列中，则数列的通项公式为 4若无穷等比数列的各项和等于公比，则首项的取值范围是 .5在各项均为正数的等比数列中，若，则 6已知等比数列是递增数列，是的前项和，若是方程的两个根，则 .7数列的首项为，数列为等比数列且，若，则 8（理）在正项等比数列 中，已知，若集合，则A中元素个数为 9已知数列是公差不为的等差数列，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和10已知为等比数列的前项和，前项中的数值最大的项为54，求11等差数列中，公差且成等比数列，前项的和为.（1）求及;（2）设，求.12等比数列的首项为，公比为，用表示这个数列的第n项到第m项共项的和（）计算，并证明它们仍成等比数列；（）受上面（）的启发，你能发现更一般的规律吗？写出你发现的一般规律，并证明乐一乐韩信点兵（一） 韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人。 假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？ 先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。专题十四 数列综合应用看一看1、非等差、等比数列通项公式的求法类型 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。类型 公式法：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解。类型 累加法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）类型 累乘法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）2、非等差、等比数列前项和公式的求法错位相减法若数列为等差数列，数列为等比数列，则数列的求和就要采用此法.将数列的每一项分别乘以的公比，然后在错位相减，进而可得到数列的前项和.此法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法.裂项相消法一般地，当数列的通项 时，往往可将变成两项的差，采用裂项相消法求和.可用待定系数法进行裂项：设，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得，从而可得分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：找通向项公式由通项公式确定如何分组.倒序相加法如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：想一想数列求和的方法较多，个体问题中使用什么方法，通常由什么进行判定呢？练一练1已知数列，是的前n项和，且，则数列的通项 2已知：数列中，则的值为 3已知数列的前项和，则其通项公式为 4已知数列中,=1,且,是其前项和,则=_5数列的通项公式为，对于任意自然数都是递增数列，则实数的取值范围为 6已知，则= ; = 7已知数列满足，若对任意的自然数，恒有，则的取值范围为 8如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为，由下往上的六个点：，的横、纵坐标分别对应数列（）的前项，如下表所示： 按如此规律下去，则 9设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的通项公式.10已知数列，满足，且（）（）求数列，的通项公式（）求数列的前项和11在数列中，（1）求数列的通项；（2）若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围.12在数列中，（1）求的值；（2）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；（3）求数列的前n项和.乐一乐韩信点兵（二） 中国有一本数学古书孙子算经也有类似的问题：今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？ 答曰：二十三 术曰：三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。必修2、必修5综合测试题一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填写在答题纸上相应位置上.1在三角形ABC中，角A，B，C所对应的长分别为a，b，c，若a=2，B=，c=2，则b= 2已知数列为等差数列，则 3已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为 .4. 经过（2，3）且在两坐标轴上截距相反的直线方程是_5在中，角A，B，C的对边分别为已知，则角A为_6设直线和圆相交于点、，则弦的垂直平分线方程是 7已知中，设三个内角所对的边长分别为，且,则= . 8在等比数列中，前项和为，若数列也是等比数列，则等于 9若为两个不同的平面，为不同直线，下列推理:若；若直线；若直线，；若平面直线；其中正确说法的个数是_.10已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆 相交于A，B两点，且AC BC，则实数a的值为_11如图，为测量坡高，选择A和另一个山坡的坡顶C为测量观测点。从A点测得点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得。已知坡高米，则坡高 米.12已知命题:“若数列是等比数列，且，则数列也是等比数列”可类比得关于等差数列的一个性质为_13将边长为的正方形沿对角线折起，使，则三棱锥的体积为 14若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为已知数列满足，有以下结论：若，则；若，则可以取3个不同的值；若，则是周期为3的数列；存在且，数列是周期数列其中正确结论的序号是 （写出所有正确命题的序号）二、解答题：本大题共6小
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