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用不动点法求数列的通项定义：方程的根称为函数的不动点.利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.证明：因为 是的不动点由得所以是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件（1）：若有两个相异的不动点，则 （这里）（2）：若只有唯一不动点，则 （这里）证明：由得，所以（1）因为是不动点，所以，所以令，则（2）因为是方程的唯一解，所以所以，所以所以令，则 例1：设满足，求数列的通项公式解：作函数，解方程求出不动点，于是，逐次迭代得由此解得例2：数列满足下列关系：，求数列的通项公式解：作函数，解方程求出不动点，于是所以是以为首项，公差为的等差数列所以，所以定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,证明: 是的两个不动点 即 于是, 方程组有唯一解例3：已知数列中,求数列的通项.解:作函数为,解方程得的两个不动点为 再经过反复迭代,得由此解得其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题:例4：已知且,求数列的通项.解: 作函数为,解方程得的不动点为.取,作如下代换:逐次迭代后,得:
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