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专题强化训练71.在中，三个内角所对的边分别为，已知， ，且。 （1）求角B的大小； （2）若的外接圆的半径为1，求的面积。解(1)(2)2.已知函数f（x）=cos2（x+）3（0，0）的最大值为2，最小正周期为（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）当x0，时，求函数f（x）的值域解：（1）f（x）=cos2（x+）3（0，0）=3=cos（2x+）+3，（2分）又函数f（x）的最大值为2，可得：+3=2，解得：=5，最小正周期为=，解得：=，f（x）=cos（3x+）（6分）（2），（9分），（13分），所以f（x）的值域是（14分）3.已知向量=（sin（x+），1），=（1，cos（x+）（0，0），记函数f（x）=（+）（）若函数y=f（x）的周期为4，且经过点M（1，）（1）求的值；（2）当1x1时，求函数f（x）的最值解：（1）f（x）=（+）（）=cos（x+2）由题意得：周期，故；（2）图象过点M（1，），cos（2）=，即sin2=，而0，故2=，则f（x）=cos（）当1x1时，当x=时，f（x）min=1，当x=1时，4.在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为，且（1）求角A的值；（2）若三角形面积为，且，求三角形ABC的周长.解:（1）因为 ，由正弦定理得， 即=sin(A+C) 4分 因为BAC，所以sinB=sin(A+C)，所以因为B(0，)，所以sinB0， 所以，因为，所以 7分（2）ABC的面积为，且由，所以12分 周长 14分ABCxO5.如图已知四边形AOCB中,点B位于第一象限，若BOC为正三角形.（1）若求点A的坐标；（2）记向量与的夹角为，求的值. 解：（1）2分5分点坐标为7分（2）向量9分12分因此，14分6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB+acosB=c（）求角A的大小；（）已知函数f（x）=cos2（x+）3（0，0）的最大值为2，将y=f（x）的图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍后便得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（x）的最小正周期为当x0，时，求函数f（x）的值域解：（）ABC中，C=（A+B），=，0A，（）由（）得：=，3=2，从而=5，从而，当时，从而，f（x）的值域为7.如图所示，角为钝角，且，点分别在角的两边上（）若，求的长；（）设，且，求的值解：（）因为角为钝角，且，所以2分在中，由，得5分解得或(舍)，即的长为27分（）由，得9分又，11分所以14分8.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2a2=c2（1）求tanC的值；（2）若ABC的面积为3，求b的值解：（1）A=，由余弦定理可得：，b2a2=bcc2，又b2a2=c2bcc2=c2b=c可得，a2=b2=，即a=cosC=C（0，），sinC=tanC=2（2）=3，解得c=2=39.在锐角中,角、所对的边长分别为、向量,且.(1)求角的大小;(2)若面积为,求的值.解：(1) 为锐角三角形, , ， (2)由,得, 代入得,得 由题设,得 联立, 解得或 10. 已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|，xR），且函数f（x）的最大值为2，最小正周期为，并且函数f（x）的图象过点（，0）（1）求函数f（x）解析式；（2）设ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（）=2，c=，求a+2b的取值范围解：（1）根据题意得：A=2，=4，即f（x）=2sin（4x+），把（，0）代入得：2sin（+）=0，即sin（+）=0，+=0，即=，则f（x）=2sin（4x）；（2）由f（）=2sin（C）=2，即sin（C）=1，C=，即C=，由正弦定理得： =2R，即=2R=1，a+2b=2RsinA+4RsinB=sinA+2sinB=sinA+2sin（A）=sinA+2sincosA2cossinA=sinA+cosAsinA=cosA，cosA1，即cosA，a+2b的范围为（，）11. 已知向量=（cos，sin），=（cos，sin），=（1，0）（1）求向量的长度的最大值；（2）设=，且（），求cos的值解：（1）=（cos1，sin），则|2=（cos1）2+sin2=2（1cos）1cos1，0|24，即0|2当cos=1时，有|b+c|=2，所以向量的长度的最大值为2（2）由（1）可得=（cos1，sin），（）=coscos+sinsincos=cos（）cos（），（）=0，即cos（）=cos由=，得cos（）=cos，即=2k（kZ），=2k+或=2k，kZ，于是cos=0或cos=112. 已知函数（1）设，且，求的值；（2）在ABC中，AB=1，且ABC的面积为，求sinA+sinB的值解：（1）=（3分）由 得 于是（kZ） 因为 所以 （7分）（2）因为C（0，），由（1）知（9分）因为ABC的面积为，所以，于是在ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b由余弦定理得，所以a2+b2=7由可得或于是（12分）由正弦定理得，所以（14分）15.在三角形中，角，所对的边分别是，已知，（1）若，求的值；（2）若，求的值【解】（1）由余弦定理，3分将，代入，解得：6分（2）由正弦定理，由正弦定理可得，将，代入解得14分16.如图，是等边三角形，点在边的延长线上，且，.（1）求长度；（2）求的值.解：（1）设，中有余弦定理：，即；（2），中由余弦定理：，.17.如图，在平面上，点，点在单位圆上，（）（1）若点，求的值；（2）若，求.（1）由于，所以， ， 所以， 所以 ；（2）由于, 所以, . 所以，所以， 所以.18.已知向量=（5cos，4），=（3，4tan），其中（，）（1）若，求sin2的值；（2）若|=5，向量=（2，0），求证：（+）（1）解：=（5cos，4），=（3，4tan），且，5cos4tan12=0，得20sin=12，sin，（，），cos=，sin2=2sincos=；（2）证明：，得cos=，则sin=，tan=，=（5cos，4）=（3，4），=（3，4tan）=（3，），则，=（2，0），（+）=0则（+）19.已知ABC的角A，B，C的对边依次为a，b，c，若满足，（）求C大小；（）若c=2，且ABC为锐角三角形，求a2+b2取值范围解：（）tanAtanBtanAtanB=，=，即tan（A+B）=tanC=，tanC=，C为三角形的内角，则C=；（II）A与B为锐角，且A+B=C=，即B=A，A，2A，c=2，sinC=，由正弦定理=得：a=sinA，b=sinB，a2+b2=（sinA+sinB）=sinA+sin（A）=+sin（2A），2A，sin（2A）1，即+sin（2A）8，则a2+b2的范围为（，820.已知（0，），（，），cos=，sin（+）=（1）求tan的值；（2）求sin的值解：（1），且，解得，（2），又，故，sin=sin（+）=sin（+）coscos（+）sin=21.已知PQ是半径为1的圆A的直径，B，C为不同于P，Q的两点，如图所示，记PAB=（1）若BC=，求四边形PBCQ的面积的最大值；（2）若BC=1，求的最大值解：（1），BAC=；由PAB=得CAQ=；S四边形PBCQ=SPAB+SABC+SCAQ=；，当时，S四边形PBCQ取得最大值；（2）当BC=1时，BAC=，PAC=；=1=；时，取得最大值江苏省启东中学高三数学二轮专题强化训练2020.1 题型二实际应用问题1.如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB为直径)，现计划对其进行改建在AB的延长线上取点D，OD80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2设AOCx rad(1)写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围； (2)试问AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值ABOCD (1)因为扇形AOC的半径为40 m，AOCxrad，所以扇形AOC的面积S扇形AOC800x，0x 2分在COD中，OD80，OC40，CODx，所以COD 的面积SCODOCODsinCOD1600sin(x)1600sinx 5分从而 SSCODS扇形AOC1600sinx800x，0x 7分2. 无锡市政府决定规划地铁三号线，该线起于惠山区惠山城铁站，止于无锡新区硕放空港产业园内的无锡机场站，全长28公里，目前惠山城铁站和无锡机场站两个站点已经建好，余下的工程是在已经建好的站点之间铺设轨道和等距离修建停靠站，经有关部门预算，修建一个停靠站的费用为6400万元，铺设距离为公里的相邻两个停靠站之间的轨道费用为，设余下工程的总费用为万元.（停靠站位于轨道两侧，不影响轨道总长度）（1）试将表示成的函数；（2）需要建多少个停靠站才能使工程费用最小，并求最小值.(1)设需要修建个停靠站，则个停靠站将28公里的轨道分成相等的段，化简得（万元）当且仅当，即，取等号，答：需要建13个停车站才能使工程费用最小，最小值费用为128028万元.3.如图所示，某街道居委会拟在地段的居民楼正南方向的空白地段上建一个活动中心，其中米活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形，上部分是以为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角满足.（1）若设计米，米，问能否保证上述采光要求？FABEDGC南居民楼活动中心（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计与的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中取3） 解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系（1）因为，所以半圆的圆心为，半径设太阳光线所在直线方程为，即， .2分则由，解得或（舍）.故太阳光线所在直线方程为， .5分令，得米米.所以此时能保证上述采光要求. .7分（2）设米，米，则半圆的圆心为，半径为方法一：设太阳光线所在直线方程为，即，由，解得或（舍）. .9分故太阳光线所在直线方程为， 令，得，由，得. .11分所以.当且仅当时取等号. 所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大. .16分方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为米，则此时点为，设过点G的上述太阳光线为，则所在直线方程为y(x30)，即 .10分由直线与半圆H相切，得而点H(r，h)在直线的下方，则3r4h1000，即，从而 .13分又.当且仅当时取等号.所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大. .16分LABOMLLab4.如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的位于该市的某大学与市中心的距离，且现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站，在OB上设一站B，铁路在部分为直线段，且经过大学其中，（1）求大学与站的距离；（2）求铁路段的长（1）在中，且， 由余弦定理得， ，即大学与站的距离为； （2），且为锐角， 在中，由正弦定理得，, 即， ， ， 又， ， 在中， 由正弦定理得，即，即铁路段的长为 5.一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，AB=1米，如图所示，小球从A点出发以大小为5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处，经弹射器以6v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F，设AOE=弧度，小球从A到F所需时间为T（1）试将T表示为的函数T（），并写出定义域；（2）求时间T最短时的值6.如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正东方向上，OA = 10 ，OB = 20 ，C在O的北偏西45 方向上，CO =（1）求居民区A与C的距离；（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）设AOE = （0 1， 12分则SOAB，所以SOAB的最小值为，在k0时取得，此时AB .14分2. 在平面直角坐标系中，已知圆经过椭圆的焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交椭圆于两点，为弦的中点，记直线的斜率分别为，当时，求的值.解：（1）因，所以椭圆的焦点在轴上，又圆经过椭圆的焦点，所以椭圆的半焦距， 3分所以，即，所以椭圆的方程为. 6分（2）方法一：设，联立，消去，得，所以，又，所以，所以， 10分. 方法二：设， 则，两式作差，得，又，又，在直线上，又在直线上，由可得，. 10分3. 已知椭圆E： +=1过点D（1，），且右焦点为F（1，0）右顶点为A，过点F的弦为BC，直线BA，直线CA分别交直线l：x=m（m2）于P、Q两点（1）求椭圆方程；（2）若FPFQ，求m的值解：（1）右焦点为F（1，0），可得c=1，左焦点F为（1，0），由椭圆的定义可得2a=|DF|+|DF|=+=4，即有a=2，b=，则椭圆的方程为+=1；（2）当BC垂直于x轴，即有B（1，），C（1，），设P（m，s），Q（m，t），A（2，0），F（1，0），由B，A，P共线，可得kAB=kAP，即为=，即有s=（m2），即有P（m，（m2），=（m1，（m2），同样可得Q（m，（m2），=（m1，（m2），FPFQ即为=0，即有（m1）2（m2）2=0，解得m=4；当直线CB与x轴不垂直，则设直线CB的斜率为k，（k0）直线CB的方程为y=k（x1），k0，又设B（x1，y1），C（x2，y2），P（m，y3），Q（m，y4），联立，消y得（3+4k2）x28k2x+4k212=0，x1+x2=，x1x2=，y1y2=k2（x11）（x21）=，又A、B、P三点共线，y3=（m2），同理y4=（m2），=（m1，（m2），=（m1，（m2），由于=0，即为=（m1）2+（m2）2=0，分别代入x1+x2，x1x2，y1y2，可得（m1）2（m2）2=0，解得m=4综上可得m=44. 设椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于不同的两点，以线段为直径作圆若圆与轴相交于不同的两点，求的面积；（3）如图，、是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点设的斜率为，的斜率为，求证：为定值（1）圆的方程为， 直线与圆O相切，即，又， ， 椭圆的方程为； （2）由题意，可得， 圆的半径， 的面积为； （3）由题意可知，的斜率为，直线的方程为，由，得，其中， 则直线的方程为，令，则， 即， 直线的方程为，由，解得， 的斜率 ， （定值）5. 如图，在平面直角坐标系中， 已知圆，椭圆， 为椭圆右顶点过原点且异于坐标轴的直线与椭圆交于两点，直线与圆的另一交点为，直线与圆的另一交点为，其中设直线的斜率分别为（1）求的值；（2）记直线的斜率分别为，是否存在常数，使得？若存在，求值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线必过点6.椭圆的方程为，为坐标原点，直线与椭圆交于点，点为线段的中点.（1）若分别为的左顶点和上顶点，且的斜率为，求的标准方程；（2）若，且，求面积的最大值.解：（1）设，则，两式相减，得，即，又，代入化简，得，故的标准方程为.（2）设直线，由方程组 ， 设直线与轴的交点为，则，令，设，则：.当时，即时，的面积取得最大值1.7. 在平面直角坐标系中，设为椭圆上的点，直线与圆：均相切.（1）若椭圆的两条准线间的距离为8，焦距为2 .求椭圆的方程；若，且，求圆的方程.（2）若椭圆的离心率为，求的最小值.8. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆：（）的离心率为，点，分别为椭圆的上顶点、右顶点，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，交于点，其中点在第一象限，设直线的斜率为（1）当时，证明直线平分线段；（2）已知点，则：若，求；求四边形面积的最大值【解】（1）点 椭圆的方程为设，则，的直线方程为：（2）设点到直线的距离为，则6分，即由，解得；由，解得8分，即 或10分点到直线的距离点到直线的距离12分14分当且仅当时取等号所以四边形面积的最大值为16分9. 已知圆O：与轴负半轴的交点为A，点P在直线l：上，过点P作圆O的切线，切点为T.（1）若a8，切点,求直线AP的方程；（2）若PA=2PT，求实数a的取值范围.解：（1）由题意，直线PT切于点T，则OTPT，又切点T的坐标为，所以， 3分故直线PT的方程为，即.所以解得即， 5分所以直线AP的斜率为，故直线AP的方程为，即. 7分（2）设，由PA2PT，可得，即，满足PA2PT的点P的轨迹是一个圆， 11分所以，即，解得. 15分10. ）已知椭圆E：的离心率为，且过点，设椭圆的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为（1）求椭圆E的方程及圆O的方程；（2）若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点Q，对于圆O上任意一点N，有为定值；且当M在直线l上运动时，点Q在一个定圆上（1）解：椭圆E：的离心率为，a=2k，c=，b2=2k2，椭圆E：，把点代入得k2=2，椭圆E方程：圆的方程：x2+y2=4（2）证明：椭圆E的右准线l的方程为x=4设l上取定的点M为（4，t），圆O上任意的一点N为（x0，y0），定点Q为（x，y）NM与NQ的比是常数且Q不同于M，NQ2=NM2，是正的常数（1），即（x0x）2+（y0y）2=（x04）2+（y0t）2，即x02+y022xx02yy0+x2+y2=（x02+y02+16+t28x02ty0）将x02+y02=4代入，有2xx02yy0+x2+y2+4=8x02ty0+（20+t2）又有无数组（x0，y0），由代入，得162+t22+4=（20+t2），即（16+t2）2（20+t2）+4=0，（1）（16+t2）4=0又1，=，即存在一个定点Q（不同于点M），使得对于圆O上的任意一点N，均有为定值将16+t2=代入，得x2+y2+4=（+4），即x2+y2=4，于是x2+y2=x，即（x）2+y2=，故点Q在圆心（，0），半径为的定圆上定值为：，Q在圆心，半径为的定圆上11.如图所示，已知圆的圆心在直线上，且该圆存在两点关于直线对称，又圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，是的中点，直线与相交于点（1）求圆的方程；（2）当时，求直线的方程；（3）是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由（2）当直线与轴垂直时，易知符合题意6分当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即连接，则，由，得8分直线的方程为9分所求直线的方程为或10分12. 如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8（）求椭圆E的方程（）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由解：（）过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为84a=8，a=2e=，c=1b2=a2c2=3椭圆E的方程为（）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）m0，=0，（8km）24（4k2+3）（4m212）=04k2m2+3=0此时x0=，y0=，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x2）2+（y）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x）2+（y）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）13.已知椭圆1(ab0)上顶点A(0，2)，右焦点F(1，0)，设椭圆上任一点到点Q(0,6)的距离为d （1）求d的最大值； （2）过点F的直线交椭圆于点S，T两点，P为直线l上一动点,l为椭圆的右准线 若PFST，求证：直线OP平分线段ST； 设直线PS，PF，PT的斜率分别为k1，k2，k3，问：k1，k2，k3能否成等差数列？xOyPFTAlS已知点P是椭圆C上的任一点，P到直线l1：x=2的距离为d1，到点F（1，0）的距离为d2，且=（1）求椭圆C的方程；（2）如图，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B（A，B都在x轴上方），且OFA+OFB=180（i）当A为椭圆C与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；（ii）是否存在一个定点，无论OFA如何变化，直线l总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设P（x，y），点P是椭圆C上的任一点，P到直线l1：x=2的距离为d1，到点F（1，0）的距离为d2，且=，d1=|x+2|，d2=，=，化简，得=1椭圆C的方程为=1（2）（i）由（1）知A（0，1），又F（1，0），kAF=1，OFA+OFB=180，kBF=1，直线BF的方程为：y=（x+1）=x1，代入=1，得3x2+4x=0，解得x1=0，代入y=x1，得（舍），或，B（，），kAB=，直线AB的方程为y=（ii）OFA+OFB=180，kAF+kBF=0，设直线AB的方程为y=kx+b，代入=1，得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，kAF+kBF=+=+=0，（kx1+b）（x2+1）+（kx2+b）（x1+1）=2kx1x2+（k+b）（x1+x2）+2b=2k（k+b）+2b=0，b2k=0，直线AB的方程为y=k（x+2），直线AB总经过定点M（2，0） 15. 已知椭圆的离心率为，一个交点到相应的准线的距离为3，圆N的方程为为半焦距）直线与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别设为A、B。 （1）求椭圆方程和直线方程； （2）试在圆N上求一点P，使。16.如图，已知单位圆（为直角坐标原点），是圆上的动点，点在直线上，且为正三角形.（1）若点是第一象限的点，且，求点的坐标；（2）求的最小值.解： 由题意，两点的坐标为. 2分（1）设点的坐标为，则有，且，. 4分由已知得， 6分解得，或 ，即的坐标为或. 8分（2）设点的坐标为，则，且，. 10分所以 江苏省启东中学高三数学二轮专题强化训练2020.1 题型四函数与导数1. 已知函数f（x）=x22alnx（aR），g（x）=2ax（1）求函数f（x）的极值；（2）若a0，函数h（x）=f（x）g（x）有且只有一个零点，求实数a的值；（3）若0a1，对于区间1，2上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）|成立，求a的取值范围【解答】解：（1）f（x）=，当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）递增，f（x）无极值，当a0时，x（0，）时，f（x）0，f（x）递减，x（，+）时，f（x）0，f（x）递增，f（x）有极小值f（）=aalna，综上：a0时，f（x）无极值，a0时，f（x）极小值=aalna，无极大值；（2）令h（x）=x22alnx2ax，则h（x）=，a0，令h（x）=0，解得x0=，h（x）在（0，）递减，在（，+）递增，h（x）在x0处取得极小值h（x0）=0，2alnx02ax0=0且22ax02a=0，联立可得：2lnx0+x01=0，令m（x）=2lnx+x1得m（x）=+10，故m（x）在（0，+）递增又m（1）=0，x0=1，即=1，解得：a=；（3）不妨令1x1x22，则由（1）得f（x1）f（x2）|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）f（x2）f（x1）g（x2）g（x1）f（x2）g（x2）f（x1）g（x1），则h（x）在1，2递增，h（x）=0在1，2恒成立，即2x22ax2a0在1，2恒成立，a在1，2恒成立，令t=x+12，3，则=t+2，0a，a的范围是（0，2. 已知数列an和bn满足a1a2a3an=（nN*）若an为等比数列，且a1=2，b3=6+b2（）求an和bn；（）设cn=（nN*）记数列cn的前n项和为Sn （i）求Sn； （ii）求正整数k，使得对任意nN*均有SkSn【解答】解：（）a1a2a3an=（nN*） ，当n2，nN*时，由知：，令n=3，则有b3=6+b2，a3=8an为等比数列，且a1=2，an的公比为q，则=4，由题意知an0，q0，q=2（nN*）又由a1a2a3an=（nN*）得：，bn=n（n+1）（nN*）（）（i）cn=Sn=c1+c2+c3+cn=；（ii）因为c1=0，c20，c30，c40；当n5时，而=0，得，所以，当n5时，cn0，综上，对任意nN*恒有S4Sn，故k=4 3. 设数列的前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，且，求数列的通项公式； （3）设，数列的前n项和为.求. (2) 由 且 所以：，则：， ，（7分）以上n-1个等式相加得： 则：2，又 （9分） 所以： （10分）（3） 由题意知 （11分）则 以上两式相减得 （13分） 则 恒成立， （16分）4.已知数列的前项积为，即，（1）若数列为首项为2020，公比为的等比数列，求的表达式；当为何值时，取得最大值；（2）当时，数列都有且成立，求证：为等比数列.解（1）由题意知，所以，（3分）记，即，当时，当时，又因为，所以，当时，当时，所以的最大值是,(6分)此时，而，,所以,而，所以，当时，取得最大值，（9分）（2）当2时，所以，即，（10分）已知当时，两式相除得，化简得，又因为两式相除得，（12分）式可化为，令，所以，所以,即，都成立，所以为等比数列.(16分)（当然令，则转而证明为等差数列，方法雷同，不再赘述）5. 设函数，（）.（1）当时，解关于的方程（其中为自然对数的底数）；（2）求函数的单调增区间；（3）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：，）解：（1）当时，方程即为，去分母，得，解得或， 2分故所求方程的根为或. 4分（2）因为，所以（）， 6分当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，解得.综上所述，当时，的增区间为；当时，的增区间为；时，的增区间为. .10分（3）方法一：当时，所以单调递增，所以存在唯一，使得，即， .12分当时，当时，所以，记函数，则在上单调递增， .14分所以，即，由，且为整数，得，所以存在整数满足题意，且的最小值为. .16分 方法二：当时，所以，由得，当时，不等式有解， .12分下证：当时，恒成立，即证恒成立.显然当时，不等式恒成立，只需证明当时，恒成立.即证明.令，所以，由，得， .14分当，；当，；所以.所以当时，恒成立.综上所述，存在整数满足题意，且的最小值为. .16分6.若存在常数、，使得无穷数列满足 则称数列为“段比差数列”，其中常数、分别叫做段长、段比、段差. 设数列为“段比差数列”.（1）若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、3.当时，求；当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（2）设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由.（1）方法一：的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，. 3分方法二：的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，当时，是周期为3的周期数列. 方法一：的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，是以为首项、6为公差的等差数列，又， ，设，则，又，当时，；当时， 9分 方法二：的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，是首项为、公差为6的等差数列，易知中删掉的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列， 6分以下同方法一.（2）方法一：设的段长、段比、段差分别为、，则等比数列的公比为，由等比数列的通项公式有，当时，即恒成立， 12分若，则，；若，则，则为常数，则，为偶数，；经检验，满足条件的的通项公式为或. 16分方法二：设的段长、段比、段差分别为、，若，则，由，得；由，得，联立两式，得或，则或，经检验均合题意.
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