新课程背景下 高中二次函数教学探微 苏教版（通用）

新课程背景下 高中二次函数教学探微淮安市钦工中学 胡海洋摘 要：本文从高中二次函数的概念入手，进一步研究了二次函数的解析式、性质及应用，在对函数性质的研究中，渗透着数形结合的思想，在二次函数的应用中，建立起二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的有机联系，有助于提高学生的思维能力、运算能力、想象能力和解决问题能力，为学生在高中阶段学习其它函数提供了基础和原型。二次函数在高中数学中有着特殊的地位，对它的研究，是对进一步学习研究其它函数提供了一种函数原型。本文拟打算通过对二次函数的定义，单调性、对称性的刻画，描绘其在相关问题研究中的应用，以便见微知著，为对其它函数的教学提供原型启发。一、对函数概念的进一步理解1、用映射的观点定义函数初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后,在学习集合和映射的基础上，对函数的概念也进行了转变，主要是用映射观点来阐明函数，这里就以学生比较熟悉的函数（二次函数）为例来更深入的认识函数的概念。函数是对于非空的数集A、B，从一个集合A（定义域）到另一个集合B的映射:AB。使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a0)与集合A中的元素x对应，记为(x)= ax2+ bx+c(a0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识。例1：已知(x)= 2x2+x+2，求(x+1)例2：设(x+1)=x2-4x+1,求(x)、研究函数的定义域及值域 例3：求函数y = 的定义域例4：求函数y = 的值域解决本题求值域的思想来自函数的概念，要求集合A（定义域）为非空的数集，也就是原式化至yx2-(y+1)x+y=0后，定义域要求此关于x的二次方程的未知数x一定要有解，故可利用0求得x有解时对应的y的范围（也就是函数的值域）。练习：(1)求函数y = 的定义域(2)求函数y=的值域；二、二次函数解析式的确定二次函数的标准形式是(x)=ax2+bx+c(a0)，另外有顶点式(x)=a(x-k)2+h和根轴式(x)=a(x-x1)(x-x2)，根据问题的实际情况而设出解析式，通过方程（组）求解。其最一般的方法是待定系数法。例1、已知抛物线y=ax2+2x+c的对称轴是x= 1，其最高点在直线y=2x+1上，求抛物线的方程。例2、已知抛物线y=x2-2x+m与x轴有两个不同的交点A、B，其坐标分别是A(x1，0)、B(x2，0)，其中x1x2，且x12+x22=4。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）设所求抛物线顶点为C，P是此抛物线上一点，且PAC=900，求点P的坐标。练习：1、已知二次函数的图象与x轴交于两点A(-3，0)、B(2，0)，且函数有最大值2。 （1）求二次函数的解析式； （2）设此二次函数图象的顶点为P，求DABP的面积。2、已知二次函数y=x2-kx+k+4的图象与y轴交于点C，且与x轴正半轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），若点A，B的横坐标是整数。（1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；（2）若点D的坐标是(0，6)，点P(t，0)是线段AB上的一个动点，它可与点A重合，但不与点B重合，设四边形PBCD的面积为S，求S与t的函数关系式；三、二次函数性质的研究高中阶阶段要加强对抛物线y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标、对称轴、最值、单调性等的研究，和对某些与二次函数有关的绝对值函数及图象的研究。学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（，b/2a及b/2a，+） 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。1、最值的研究例3：已知函数(x)= x2+2ax ，x-5,5(1)当a=-1时，求函数(x)的最大值与最小值；(2)求函数(x)的最大值g(a)，并求g(a)的最大值。2、单调性、对称性的研究例1：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性和对称性。（1）y=|x22|（2）y= x2-2|x|3 这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象，并通过图象观察其单调性和对称性。练习：(1)已知函数y=3x2+2tx+6图象关于直线x=1对称,求实数t的值；(2)二次函数y=3x2+2(a-1)x+6在区间(-,1)上是减函数，求a的取值范围。四、二次函数的相关应用（一）、在二次方程中的应用二次方程实根的分布问题，就是讨论二次函数的图象与x轴交点与坐标原点的位置关系的问题，因此，理解交点及二次函数系数（a开口方向，a、b对称轴，c图象与y轴的交点）的几何意义，掌握二次函数图象的特点，是解决此类问题的关健。例1、已知关于x的方程x2+(a+1)x+2a=0，分别在下列条件下，求实数a的取值范围。（1）有一个根小于-1，有一个根大于1；（2）两根均在（-1，1）内。例2、已知关于x的方程kx2-4kx+1=0的两个正根a、b满足：|lga-lgb|1，试求实数k的取值范围。例3、关于x的实系数方程x2+ax+b=0的两实根a、b，请证明：（1）如果|a|2，|b|2，那么2|a|4+b，且|b|4；（2）如果2|a|4+b，且|b|4，那么|a|2，|b|0），方程(x)-x=0的两根x1，x2满足0x1x2。（1）当x(0，x1)时，证明x(x)x1；（2）设函数(x)的图象关于直线x=x0对称，证明：x00）满足(m)0，求实数p的取值范围。（二）、在二次三项式中的应用例5、已知a、b、c是实数，函数(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当-1x1时，|(x)|1，证明：（1）|c|1；（2）当-1x1时，|g(x)|2；（3）设a0，当-1x1时，g(x)的最大值是2，求(x)。例6、实系数多项式p(x)=ax2+bx+c(a0，b0)，当|x|1时，|p(x)|1，令q(x)=cx2+bx+a，试证明当|x|1时，|q(x)|2。例7、已知二次函数(x)=ax2+bx+c(a0)，当-1x1时，有|(x)|1，求证当-2x2时，|(x)|7。练习：1、已知二次函数(x)=ax2+bx+c(a0)的图象与直线y=25有公共点，且二次不等式ax2+bx+c0的解集是(-1/2,1/3)，求实数a、b、c的取值范围。2、已知二次函数(x)=ax2+bx+c满足|(-1)|1，|(0)|1，|(1)|1，求证：当|x|1时，|(x)|。3、试证明不存在满足下列条件的二次三项式：（1）当-1x1时，|(x)1；（2）|(2)|8。4、设二次三项式ax2+bx+c在区间0，1上的值的绝对值均不超过1，试求|a|+|b|+|c|的最大值。5、若关于x的不等式x2-ax-6abc，a+b+c=0，(a、b、cR)（1）求证：两图象交于不同的两点A、B；（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1之长的取值范围。（三）、在二次不等式中的应用解决二次不等式恒成立的问题，关健是理解二次函数的图象在开口向上（或向下）的情况下，当其与x轴没有交点时，其函数值大于（或小于）零恒成立。例8、若不等式8x4+8(a-2)x2-a+50对任意实数x均成立，求实数a的取值范围。 练习：1、设对任意x，不等式x2log2+2xlog2+log20恒成立，求a的取值范围。2、对于满面足k2-7k+120的一切k，不等式xk恒成立，试求x的取值范围。二次函数是中学数学中很重要的内容，它既简单又具有丰富的内涵和外延。二次函数作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、对称性、最值等性质，还可建立起二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的有机联系；结合图形，二次函数的图象是一条抛物线，它可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系。 在二次函数的研究过程中既可以渗透代数的思想，也可以使数形结合的思想得以展示。对学生数学思想的形成，思维能力、运算能力、想象能力及解决问题能力的提高都具有奠基性的意义。