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高三数学（理科） 2012.1【试题总体说明】本套试卷严格按照2011年北京卷的高考题进行命制，题目难度适当，创新度较高。所命试卷呈现以下几个特点：（1）注重对基础知识、基本能力和基本方法的考查，严格控制试题难度。如选择题1，2,3，4，9,10；（2）知识点覆盖全面，既注重对传统知识的考查，又注重对新增内容的考查，更注重对主干知识的考查；（3）遵循源于教材、高于教材的原则，部分试题根据教材中的典型例题或习题改编而成；如选择题6,7.11.（4）深入探究2011高考试题，精选合适的试题进行改编；如填空题9,12.（5）题型新颖，创新度高，部分试题是原创题，有较强的时代特色如填空题14和解答题20等；（ 6）在知识网络的交汇处命题，强调知识的整合，突出考查学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。如20题。第卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1复数（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】选A.xyMO2已知圆的直角坐标方程为在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】该方程表示圆心为（0,1）半径为1的圆，如图，在圆上任取一点则3已知向量，.若实数与向量满足，则可以是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】，4执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ） （A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】执行程序框图可得：程序结束，输出5已知点的坐标满足条件 那么的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】作出不等式组所表示的平面区域，因原点到直线的最短距离为此时可得的最小值为点（1,2）到原点的距离最大为此时可得的最大值为故选D。6已知下列四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】由，但由不能得到，故为成立的必要而不充分的条件.故答案为A.7某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） （A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】将三视图还原直观图，可知是一个底面为正方形（其对角线长为2），高为2的四棱锥，其体积为8已知点若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线给定下列三条曲线：yy=-x+3OA ； ； 其中，型曲线的个数是（ ）x（A）（B）（C）（D）【答案】CxyAO【解析】对于，的图像是一条线段，记为如图（1）所示，从图中可以看出：在线段上一定存在两点B,C使ABC为正三角形，故满足型曲线；对于，的图象是圆在第二象限的部分，如图（2）所示，显然，无论点B、C在何处，ABC都不可能为正三角形，所以不是型曲线。yOAx对于，表示双曲线在第四象限的一支，如图（3）所示，显然，存在点B,C，使ABC为正三角形，所以满足；综上，型曲线的个数为2，故选C.第卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 函数的定义域是_【答案】【解析】由函数的定义域为.10若双曲线的一个焦点是，则实数_【答案】【解析】因双曲线的一个焦点是，故11如图，是圆的切线，为切点，是圆的割线若，则_ 【答案】【解析】根据切割线定理有：12. 已知是公比为的等比数列，若，则 ；_【答案】【解析】13. 在中，三个内角，的对边分别为，若，则 ； 【答案】【解析】利用正弦定理可知14. 有限集合中元素的个数记作.已知，且，.若集合满足，则集合的个数是_；若集合满足，且，则集合的个数是_.（用数字作答）【答案】【解析】显然表示集合M中有10个元素，表示集合A中有2个元素，而，故集合X中可以只含A中的2个元素，也可以除了A中的2个元素外，在剩下的8个元素中任取1个，2个，3个，。8个，共有种情况，即符合要求所求的集合M有256个；满足条件的集合Y的个数为，其中不满足条件的集合Y的个数为，不满足条件的集合Y的个数为，同时不满足，的集合Y的个数，故满足条件的集合Y是-三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数，.（）求的零点； （）求的最大值和最小值.（）解：令，得 ， 1分 所以，或. 3分由 ，得； 4分由 ，得. 5分综上，函数的零点为或. （）解：. 8分因为，所以. 9分 当，即时，的最大值为； 11分当，即时，的最小值为. 13分解法二：（）解：. 3分令，得 . 4分因为，所以. 5分所以，当，或时，. 7分即 或时，.综上，函数的零点为或. 9分（）解：由（）可知，当，即时，的最大值为； 11分当，即时，的最小值为. 13分16.（本小题满分13分）盒中装有个零件，其中个是使用过的，另外个未经使用.（）从盒中每次随机抽取个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率；（）从盒中随机抽取个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为，求的分布列和数学期望.【命题分析】本题考查随机事件的概率和独立事件的概率问题。利用等可能事件的定义求概率，不要忘记等可能事件的两大特征：基本事件总数有限及基本事件的发生等可能求概率的题目，找准“基本事件”很重要，因此一定要明确以什么“事件”作为基本事件，某事件所包含的基本事件必须与此相对应求解等可能性事件的概率一般遵循如下步骤：先确定一次试验是什么，此时一次试验的可能性结果有多少，即求出.再确定所研究的事件是什么,事件包括结果有多少，即求出，应用等可能性事件概率公式计算，也可从不同的背景材料抽象出两个问题：（）所有基本事件的个数，即，（）事件包含的基本事件的个数，即，最后套用公式.确定、的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,没有固定的模式，可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏.本题的第二问采用组合的知识，确定、的值。（）解：记“从盒中随机抽取个零件，抽到的是使用过的零件”为事件，则. 2分所以次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率. 5分（）解：随机变量的所有取值为. 7分； ；. 10分所以，随机变量的分布列为:11分. 13分（）证明：连结，交于点，连结.由 是直三棱柱，得 四边形为矩形，为的中点.又为中点，所以为中位线，所以 ， 2分因为 平面，平面， 所以 平面. 4分（）解：由是直三棱柱，且，故两两垂直.如图建立空间直角坐标系. 5分设，则.所以 ， 设平面的法向量为，则有所以 取，得. 7分易知平面的法向量为. 8分由二面角是锐角，得 . 9分所以二面角的余弦值为.（）解：假设存在满足条件的点.因为在线段上，故可设，其中.所以 ，. 11分因为与成角，所以. 12分即，解得，舍去. 13分所以当点为线段中点时，与成角. 14分18.（本小题满分13分）已知椭圆的一个焦点是，且离心率为.（）求椭圆的方程；（）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.【命题分析】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的相交问题等综合问题. 考查学生利用待定系数法和解析法的解题能力. 待定系数法：如果题目给出是何曲线，可根据题目条件，恰当的设出曲线方程，然后借助条件进一步确定求椭圆的标准方程应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考。“定形”是指对称中心在原点，焦点在哪条对称轴上；“定式”是指根据“形”设出相应的椭圆方程的具体形式；“定量”是指利用定义法或待定系数法确定的值.本题第一问利用椭圆的离心率和点在直线上得到两个等式求解的值；在直线与椭圆的位置关系问题中，一类是直线和椭圆关系的判断，利用判别式法.另一类常与“弦”相关：“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度（弦长）”问题关键是长度（弦长）公式.在求解弦长问题中，要注意直线是否过焦点，如果过焦点，一般可采用焦半径公式求解；如果不过，就用一般方法求解.要注意利用椭圆自身的范围来确定自变量的范围，涉及二次方程时一定要注意判别式的限制条件.本题的第二问利用直线和椭圆联立，借助韦达定理和直线方程确定与k的函数关系式，借助均值不等式求取范围.（）解：设椭圆的半焦距是.依题意，得 . 1分 因为椭圆的离心率为，所以，. 3分故椭圆的方程为 . 4分（）解：当轴时，显然. 5分当与轴不垂直时，可设直线的方程为.由 消去整理得 . 7分设，线段的中点为，则 . 8分所以 ，.线段的垂直平分线方程为.在上述方程中令，得. 10分当时，；当时，.所以，或. 12分综上，的取值范围是. 13分19.（本小题满分14分）已知函数，其中.（）若是的极值点，求的值；（）求的单调区间；（）若在上的最大值是，求的取值范围. 当时，令，得，或.当时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和. 6分当时，的单调减区间是. 7分 当时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和. 8分 当时，的单调增区间是；单调减区间是. 9分综上，当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是和；当时，的减区间是；当时，的增区间是；减区间是和. 10分（）由（）知 时，在上单调递增，由，知不合题意. 11分当时，在的最大值是，由，知不合题意. 12分当时，在单调递减，可得在上的最大值是，符合题意. 所以，在上的最大值是时，的取值范围是. 14分20.（本小题满分13分）已知数列.如果数列满足，其中，则称为的“衍生数列”.（）若数列的“衍生数列”是，求；（）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；（）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，.依次将数列，的第项取出，构成数列.证明：是等差数列.【命题分析】本题考查新概念的数列问题，考查学生的自学能力.试题特点是设问很有层次性，基本上前两个问题学生只要耐心认真做答都能够解答出来，考察学生代数推理能力，培养学生逻辑思维.（）解：. 3分（）证法一：证明：由已知，.因此，猜想. 4分 当时，猜想成立； 假设时，.当时，故当时猜想也成立.由 、 可知，对于任意正整数，有. 7分设数列的“衍生数列”为，则由以上结论可知，其中.由于为偶数，所以，所以 ，其中.因此，数列即是数列. 9分证法二：因为 ， 由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得 即，. 7分由于，根据“衍生数列”的定义知，数列是的“衍生数列”. 9分（）证法一：证明：设数列,中后者是前者的“衍生数列”.欲证成等差数列，只需证明成等差数列，即只要证明即可. 10分由（）中结论可知 ，所以，即成等差数列，所以是等差数列. 13分证法二：因为 ，所以 .所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可. 10分对于数列及其“衍生数列”，因为 ， 由于为奇数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得 即.设数列的“衍生数列”为，因为 ，所以 ， 即成等差数列. 同理可证，也成等差数列.即 是等差数列.所以 成等差数列. 13分
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