53三维静磁场的有限元分析

5.3三维静磁场的有限元分析边值问题以标量磁位9表示的无源区磁场的边值问题与电位的拉普拉斯边值问题的数学表m达形式完全一样，可以如前节所述的有限元分析。在此，考虑有电流存在以矢量磁位A作为待求变量的有限元分析。设在线性媒质中，磁场满足的边界条件：边界S1面上有A二A0，在边界S2面上取某种形式的对称面作为第二类齐次边界，在该面上磁场强度H的切向分量为零：Hxe二CVxA)xe=0，有如下边值问题：nmnVx(yVxA)=JgVmA=Ags,VxA)xe=0gsmn2场域剖分与插值对于求解场域V,根据其形状和场的定性分布，选择合适的单元(例如四面体单元)，进行场域剖分，得到Z0个单元、N0个节点。在单元e内，对位函数A进行插值。若采用四面体单元：4A=2NeAjjj=1式中Ne是单元形状函数，分量形式jA二Ae+Ae+Aexxyyzz=乙NeAjxje+x乙NeAjyje+yy乙NeAjzjezJj=1丿Jj=1丿Jj=1丿以矩阵表示磁矢量位A在单元节点上的各分量a-le=AAl1l2Al3Al4(l=x,y,z)4A=2NeA=NTA(l=x,y,z)ljljele于是，磁矢量位A=Ae+Ae+Ae的矩阵表达式AInA1rINT00一rAxA=InTxA=e0INT0x1yAzIneekyze0e0Gve-Az4Lxxyyzz上1IAe0e式中：A=AAAAAex1x2x4y10一0MeM=e0rke000Me0单元分析AATy4z1z4将近似函数A代入方程有余量R=VxVVxm取矢量权函数为W/，有加权余量方程W,R=0i单元剖分后余量加权的和式为零e=1由矢量恒等式R=W.RvxyVxa）-J1/V丄=0eme=1VeV-（Ax）=BGxa）-a-（VxB）上式分解为：dJW-Vx(/VxAhv-JW-JdVVmV=J(vxW)VxAhv-JV-WxyVxA)iVJW-JdVmmVxW)VxAhv-xyVxA).dSJW-JdVVmSmVeee分析上式第二项，若有一部分处在外边界上，则由边界条件爲上：yGxA)xe=0=2mnWx(yVxAR.e=WVxA)xe=0mnmn被积函数为零。若s全为内部边界，则相邻单元的交界面上，该面积分的合成将为零,e所以该面积分不必计算，可放在*中，所以：if（Vxw）.QVxA）1V-fW-JdV=VimViieeW=W+W+Wixi二Wexi在直角坐标系下，取伽辽金法，权函数为yizi+We+We=Ne+Ne+Neyiyzizixiyiz对于w.ix矩阵表示VxL其中ddzddyVxWxiexddxWxi【VxW=xidszddxdSyddxedsszodWdWieledzydyz0dWidzdWidy按同样的道理，以矩阵形式表示WWLbno,yi=lvxWxiWLxiNi00yi则W可表示为：i和WziW=bzi0NiWLNi000Ni0=ni单元分析式【VxW=IvxlWL【VxNi设W=W=x,y,zi=1Z,n），贝U该式的矩阵形式为:iliJttvxlWyyvxllyAVeliymeVelili而取半_喉+吒+際时，应综合为下式(/_x,y,z)JvxNTyvxNTAdV-JN1J1/V_imeeiVeVeJJTxyz上式可以分解为3个标量方程式，即：式中：W=jVemj_1_JNJdV+Veixxi(dNdNdNdNij+i、dzdzdyJa一聖dNjAdy丿xdydx刃dNidNi_Adzdx才dVL聖竺AIdxdy丿Vem.=JNJdV+VeiyyiVem_i=JNJdV+Veizzi+xj(dNdNdNdNLj+i.dxdxdz聖也a旦也a+dxdzxjdydz方jIAdz丿yydNdNL+idy聖也Adzdy力dNjAdxdx丿；zjdVdVi取不同值时应有不同的方程，一阶四面体单元，=1，2,3,4，每取一个i值，就有上面一组方程，总的单元分析将出现4组如上方程。可整理为（取n=4）:另CA+ILCA+1LCAxxxjxyyjxzzjj_1j_1j_1L4CA+L4CA+L4CA_Pyxxjyyyjyzzjyij_1j_1j_1L4CA+L4CA+L4CA_P+zxxjzyyjzzzjzizi=P+xiyixij_1j_1j_1G_1,2,3,4)其中：t=teikl子矩阵二k=iCxxCyxCCxyCyyCCxzCyzCp=ppppppppppppTex1y1z1x2y2z2x3y3z3x4y4z4A=AAAAAAAAAAAATex1y1z1x2y2z2x3y3z3x4y4z4zxzxzz对比以上两组表达式，可得到C、C、C、C=C、C=C、C=C等参xxyyzzyxxyzxxzzyyz数相应的计算式。进一步整理单元分析的结果，可得矩阵形式的表达式kA=p+Aeeee(i=1,2,34k,l=1,2,3,4)由上分析可知：(1) 按有限元法分析磁场的旋度旋度方程，单元中每一代数方程的变量数为3Xno(2) 单元分析的刚度矩阵为(3xn)x(3xn)矩阵，系数矩阵中的子矩阵对应为标量位分析中的系数矩阵元素。综合集成将单元分析中各矩阵卜、|A、L等扩展为全域范围下的表示形式，综合集成得旋eee度旋度方程边值问题对应的有限元方程：kA=p+工eZn0e得有限元方程：kA=pf34dAf3A3Af3434VxAxe=yzye+xze+yxexenmS2dy3jx3zdx)y3x3y)zn(VxA)xe主0时的处理mnS2S2很显然，一般情况下上述边界条件的处理是十分困难的。考虑到磁场分布的对称性，适当地设立坐标系或坐标的方位，可以使上述边界条件得以简化。关于A解答的唯一性在求解磁场的过程中，有两个问题是需要认真对待的。其一是由于媒质的非线性问题，它表现为卩)的非线性，导致控制方程mVx(VxA)=Jm为非线性方程，丫=ya)=Y将是坐标的函数，这类问题需要专门讨论，可以参看“工mmm程电磁场数值分析”书。其二是控制方程中只考虑的VxA,而未确定V.A，这使该式的解析解对A而言不是唯一的。但由于计算机字长有限，按数值解而言可以得出计算结果，但不能保证V.A=0，按不同的解法，A的数值可能不同，即体现了A的解答不唯一，但VxA是唯一的，即是说B的解答是唯一的，这正是我们所需要的。若按以下方式推导GxVxA)=yVA)V2aLJ将V.A=0代入有yV2AJm就有定解问题：yV2AJeVma-AyVxA)xe-0eSmn2(ux,y,z在直角坐标系下，控制方程可以写为yV2AJmuu即三个独立的标量方程，如是可以按三个标量方程来分别求解，不是就可以免去上面很复杂的方程组求解吗？实际上并非如此。首先，上述定解问题中三个标量方程彼此并不独立，相对独立的前提是V-A二0，即红+二+挙=0，可见A的三个分量彼此相关，不能分开求解。oxoyoz第二.丫（VXA）xe=0边界条件说明A、A、A三个分量在边界处应满足的条mnxyz2件，三个分量不能独立，所以定解问题应为yV2A=JmV-A二0vAl=AyS(VxAm这才与前面所讨论的定解问题是等价的。5.4按变分原理和按加权余量法建立有限元方程之比较前面所学习的两种建立有限元分析的方法运用得比较广泛，各有长处与优点。1. 从建立有限元方程而言比较两种方法按照各自的思路，都能比较规范地逐步建立有限元方程，最后得到的有限元方程完全一样，编程的难易程度相当，求解有限元方程组的方法也可以完全相同。两种方法基点不一样。按照变分原理来建立有限元方程，是通过网络剖分和单元插值，把连续媒质中的变分问题离散为有限个单元有限个变量的多元函数的极值问题，由边值问题二等价变分问题二剖分插值3离散化为多元函数的极值问题亠有限元方程。按加权余量法，通过剖分插值，综合集成，在加权平均意义上使算子余量方程误差近似为零，从而求得近似解。由边值问题3剖分插值3所有单元加权余量之和为零3有限元方程。在一些电磁场问题中，由边值问题构造等价变分问题比较困难时，采用加权余量法可以较容易建立有限元方程。2. 通常建立变分问题时，适当改造控制方程，使其算子方程和边值问题成为自伴算子方程和自伴边值问题（即在Lagrange意义下的自伴性质），按此思路建立的有限元方程，能保证其解答的唯一性和稳定性，这是按变分原理建立有限元方程的突出优点。而按加权余量法建立有限元方程，则不能保证方程解答的唯一性和稳定性。