高二数学二项式系数性质

高二数学二项式系数性质复习巩固 1. 1.二项式定理是什么？二项展开式有哪些基本特征？01122 211()nnnnnnnnnnnnnabC aC abC abCabC b-+=+L第1页/共33页 2. 2.二项展开式的通项是什么？1knkkknTC ab-+= 3. 3.组合数有哪两个基本性质？mnmnnCC-=11mmmnnnCCC-+=+复习巩固第2页/共33页 4. 4.二项式系数是二项展开式中的基本数据，它有许多变化规律，探究、了解二项式系数的基本性质，对提升思维素养，进一步理解二项式定理和运用二项式定理解决某些实际问题，都有重要的作用. .提出问题第3页/共33页第4页/共33页 ( (ab b) )1 1，( (ab b) )2 2，( (ab b) )3 3， ( (ab b) )4 4，( (ab b) )5 5，( (ab b) )6 6的展开式中的二项式系数分别是哪些组合数？并将它们的计算结果填入下表：6 65 54 43 32 21 1二项式系数n n1 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 12 23 33 34 46 64 45 5101010105 56 61515151520206 6问题探究第5页/共33页观察上表中每一行的数据，你发现了什么规律吗？6 65 54 43 32 21 1二项式系数n n1 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 12 23 33 34 46 64 45 5101010105 56 61515151520206 6具有对称性 第6页/共33页将上表写成如下形式，你又能发现这些数据有什么新的规律吗？( (ab b) )1 11 11 1( (ab b) )2 21 2 11 2 1( (ab b) )3 31 3 3 11 3 3 1( (ab b) )4 41 4 6 4 11 4 6 4 1( (ab b) )5 51 5 10 10 5 11 5 10 10 5 1( (ab b) )6 6 1 6 15 20 15 6 11 6 15 20 15 6 1（1 1）每行两端的数都是1 1；（2 2）与两端等距离的项的系数相等；（3 3）在相邻的两行中，除1 1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，等等. .第7页/共33页上述数表是我国南宋数学家杨辉在12611261年所著的详解九章算法一书中最先提出的，是我国古代数学的一个重要成果，比欧洲早五百年左右，我们把这个数表称为杨辉三角，杨辉三角的上述基本性质如何用组合数性质解释？( (ab b) )1 11 11 1( (ab b) )2 21 2 11 2 1( (ab b) )3 31 3 3 11 3 3 1( (ab b) )4 41 4 6 4 11 4 6 4 1( (ab b) )5 51 5 10 10 5 11 5 10 10 5 1( (ab b) )6 6 1 6 15 20 15 6 11 6 15 20 15 6 1第8页/共33页利用杨辉三角，( (ab b) )7 7的展开式中各项的二项式系数分别是什么？( (ab b) )1 11 11 1( (ab b) )2 21 2 11 2 1( (ab b) )3 31 3 3 11 3 3 1( (ab b) )4 41 4 6 4 11 4 6 4 1( (ab b) )5 51 5 10 10 5 11 5 10 10 5 1( (ab b) )6 6 1 6 15 20 15 6 11 6 15 20 15 6 11 135353535212121217 77 71 1第9页/共33页对给定的正整数n n，设函数 ，r0r0，1 1，2 2，nn，当n n6 6时，函数f( (r)r)的图象是什么？( )rnf rC=rf(r)O O1 12 23 34 45 56 65 5101015152020问题探究第10页/共33页 一般地，函数 ，r0r0，1 1，2 2，nn的图象是什么？ 它具有怎样的对称性？( )rnf rC=n n1 1个孤立的点，关于直线 对称 2nr=问题探究第11页/共33页 在二项式系数中，哪些二项式系数是相等的？ 01221,knnnnnnnnnnCCCCCCC-LL与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. . 问题探究第12页/共33页 相邻两个二项式系数的大小关系如何？从理论上如何确定 与 的大小？1knC-knC11112kknnnknCCkk-+?问题探究第13页/共33页通过上述分析，二项式系数的增减性与最大值分别是什么？二项式系数的前半部分是递增的，后半部分是递减的，且在中间取得最大值. . 问题探究第14页/共33页当n n分别为偶数和奇数时，第几项的二项式系数最大？当n n为偶数时，第 项的二项式系数 为最大；12n+2nnC问题探究第15页/共33页当n n分别为偶数和奇数时，第几项的二项式系数最大？当n n为奇数时，第 的二项式系数 和第 项的二项式系数 相等，且同时为最大. .12n+12nnC-32n+12nnC+问题探究第16页/共33页 填空：（1 1）(x(xy)y)1111的展开式中系数最大的项第 项，系数最小的项第 项；（2 2） ， 理论迁移1210101010CCC+=L135791010101010CCCCC+=7 76 610231023512512第17页/共33页课堂小结 1. 1.杨辉三角反映了二项式系数的变杨辉三角反映了二项式系数的变化规律，其理论依据是组合数的两个化规律，其理论依据是组合数的两个性质性质. .杨辉三角中还有许多有趣性质，杨辉三角中还有许多有趣性质，可作为一个研究性课题进行探究可作为一个研究性课题进行探究. . 2. 2.二项式系数的性质实质是组合数二项式系数的性质实质是组合数的一些性质，常作为解决组合数问题的一些性质，常作为解决组合数问题的理论依据，但这些性质不能类推到的理论依据，但这些性质不能类推到二项展开式的系数二项展开式的系数. .第18页/共33页 3. 3.令令x x1 1，可求得，可求得( (ab bx x) )n n的展开式的展开式中各项的系数之和，当中各项的系数之和，当x x取其它值时，还取其它值时，还可以得出一些相关结论，这是一种赋值可以得出一些相关结论，这是一种赋值的方法的方法. .作业：P35P35练习：1.1. P37P37习题1.3A1.3A组：6 6，7 7，8.8.第19页/共33页二项式定理的应用习题课第20页/共33页知识回顾1.1.二项式定理：01122 211()nnnnnnnnnnnnnabC aC abC abCabC b-+=+L2.2.二项展开式的通项：1knkkknTC ab-+=第21页/共33页3.3.二项式系数的性质：（1 1）与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. .（2 2）二项式系数的前半部分是递增的，后半部分是递减的，且在中间取得最大值. .当n n为偶数时，正中间一项的二项式系数最大；当n n为奇数时，正中间两项的二项式系数相等且为最大. .知识回顾第22页/共33页3.3.二项式系数的性质：（3 3）所有二项式系数之和等于2 2n n，所有奇数项的二项式系数之和与所有偶数项的二项式系数之和相等，且都等于2 2n n1 1. . 知识回顾第23页/共33页4.4.杨辉三角： 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 6 15 20 15 6 1（1 1）每行两端的数都是1 1；（2 2）每行与两端“等距离”的两数相等；（3 3）在相邻的两行中，除1 1以外的每一个数 都等于它“肩上”两个数的和，等等. .第24页/共33页 例1 1 已知 的展开式中第5 5项与第3 3项的二项式系数之比为14143 3，求展开式中所有的有理项. .331()2nxx-245.4x63,8-245,64x应用举例第25页/共33页 例2 2 已知(1(12x)2x)n n的展开式中第6 6项与第7 7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项. .44458(2 )1120TCxx=?应用举例第26页/共33页 例3 3 求集合A A a1 1，a2 2，an n 共有多少个子集？0122nnnnnnCCCC+=L应用举例第27页/共33页 例4 4 用二项式定理证明：（1 1） 2 251511 1能被7 7整除； （2 2）5 5n n1 15(nN5(nN*) )能被2020整除. . 例5 5 用二项式定理求2 23333除以9 9的余数. .余数为8 8应用举例第28页/共33页 例6 6 求1.021.028 8精确到0.0010.001的近似值. .1.021.028 81.1711.171例7 7 求证： 1012111212311nnnnnnCCCCnn+-+=+L应用举例第29页/共33页 例8 8 设nNnN* *，求证： （1 1） ； （2 2） . . 221(3)nnn+?13(2) 2nnn-? 例9 9 求证： 0 21 22 222()()()()nnnnnnnCCCCC+=L应用举例第30页/共33页 例10 (0710 (07年湖南卷) )将杨辉三角中的奇数换成1 1，偶数换成0 0，得到如图所示的0 01 1三角数表. .从上往下数，第1 1次全行的数都为1 1的是第1 1行，第2 2次全行的数都为1 1的是第3 3行，则第n n次全行的数都为1 1的是第 行；第6161行中1 1的个数是 2 2n n1 13232第1 1行 1 11 1第2 2行 1 0 11 0 1第3 3行 1 1 1 1 1 1 1 1 第4 4行 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 第5 5行 1 1 0 0 1 11 1 0 0 1 1 第31页/共33页作业：P37P37习题1.3B1.3B组：1 1，2.2.第32页/共33页