高中数学 第3章 圆锥曲线与方程检测题B 北师大版选修2-1

高中数学 第3章 圆锥曲线与方程检测题B 北师大版选修2-1一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则k应满足的条件是()Ak3B2k3Ck2D0k0，c，k2.2已知椭圆的中心在原点，离心率e，且它的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则此椭圆方程为()A1B1Cy21Dy21答案A解析抛物线焦点为(1,0)，c1，又椭圆的离心率e，a2，b2a2c23，椭圆的方程为1，故选A.3已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A1B1C1D1答案A解析本题考查双曲线方程及相关概念由双曲线焦距为10，则有52a2b2，双曲线渐近线方程yx，P(1,2)在yx上，则，所以a220，b25，选A.4如图所示，ABCDEF为正六边形，则以F、C为焦点，且经过A、E、D、B四点的双曲线的离心率为()A1B1C1D1答案D解析设正六边形边长为x，则|FC|2x，在DEF中，|DF|x，故e1.5(xx天津理)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A1B1C1D1答案A解析本题考查双曲线标准方程求法，由于一个焦点在直线y2x10上，则一个焦点为(5,0)，又由渐近线平行于y2x10.则，a25，b220，双曲线标准方程：1，选A.6等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A，B两点，|AB|4，则C的实轴长为()AB2C4D8答案C解析本题考查双曲线的性质故双曲线的方程为1，抛物线的准线为x4，且|AB|4，故可得A(4,2)，B(4，2)，将点A坐标代入双曲线方程得a24，故a2，故实轴长为4.注意双曲线中，实轴长应为2a而不是a，另外本题还要注意等轴双曲线方程的设法7已知F1、F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2()ABCD答案C解析本题主要考查了双曲线的定义与几何性质的运用，以及余弦定理的运用依题意：ab，c2.因|PF1|2|PF2|，则该|PF2|m，|PF1|2m，又|PF1|PF2|2m.|PF1|4，|PF2|2.又|F1F2|4，cosF1PF2.故选C.本题要正确地利用双曲线的定义式8在抛物线y2x2上有一点P，它到Q(2,10)的距离与它到抛物线焦点距离之和最小，则P点坐标是()A(2，8)B(2，8)C(2,8)D(2,8)答案D解析如图所示，易得：PFPQPAPQAQAQAPPQPFPQ.该点P横坐标为2，代入得纵坐标为8，该点为(2,8)，选D.9已知椭圆1(ab0)与双曲线1(m0，n0)有相同的焦点(c，0)和(c,0)(c0)若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是()ABCD答案D解析由题意得，由(2)(3)可得m，代入(1)得椭圆的离心率e.故选D.10(xx吉林省实验中学一模)如图，F1、F2是双曲线C1：x21与椭圆C2的公共焦点，点A是C1、C2在第一象限的公共点，若|F1F2|F1A|，则C2的离心率是()ABC或D答案B解析设椭圆方程为1(ab0)，由题意得，|AF1|F1F2|2c24，c2，|AF1|AF2|2，|AF2|2，2a|AF1|AF2|6，a3，e.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11顶点在原点，焦点在x轴上且正焦弦(过焦点与对称轴垂直的弦也称作通径)长为6的抛物线方程是_答案y26x或y26x解析正焦弦长为2p，2p6，方程为y26x或y26x.12过椭圆1的右焦点有一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_答案解析设右焦点为F，则有F(1,0)将椭圆方程与直线方程联立得交点A(0，2)，B(，)故SOABOF|y1y2|1|2|.13在抛物线y216x内，通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_答案y8x15解析设所求直线与y216x相交于点A，B，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得y16x1，y16x2，两式相减得，(y1y2)(y1y2)16(x1x2)即kAB8.故所求直线方程为y8x15.14.如图所示，F1、F2分别为椭圆1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆上，POF2是面积为的正三角形，则b2的值是_答案2解析因为F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，点P在椭圆上，且正三角形POF2的面积为，所以SPOF2|OF2|PO|sin60c2，所以c24.点P的坐标为(，c)，即(1，)，1，又b2c2a2，所以，解得b22.15若椭圆x2a2(a0)和连接A(1,1)，B(2,3)两点的线段恒有公共点，则实数a的取值范围为_答案解析线段AB与椭圆有公共点，其等价条件是点A在椭圆内或边界上，点B在椭圆外或边界上，a.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线1的一个焦点，抛物线与双曲线交点为P(，)，求抛物线方程和双曲线方程解析依题意，设抛物线方程为y22px，(p0)，点(，)在抛物线上，62p，p2，所求抛物线方程为y24x.双曲线左焦点在抛物线的准线x1上，c1，即a2b21，又点(，)在双曲线上，1，由解得a2，b2.所求双曲线方程为4x2y21.17已知抛物线y24x，椭圆1，它们有共同的焦点F2，并且相交于P、Q两点，F1是椭圆的另一个焦点，试求：(1)m的值；(2)P、Q两点的坐标；(3)PF1F2的面积解析(1)抛物线方程为y24x，2p4，1，抛物线焦点F2的坐标为(1,0)，它也是椭圆的右焦点，在椭圆中，c1，a29b2c2，9m1，m8.(2)解方程组得或点P、Q的坐标为(，)、(，)(3)点P的纵坐标就是PF1F2的边F1F2上的高，SPF1F2|F1F2|yp|2.18(2011福建文，18)如图，直线l：yxb与抛物线C：x24y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程解析(1)由得x24x4b0，(*)直线l与抛物线相切，(4)24(4b)0，b1.(2)由(1)知b1，方程(*)为x24x40.解得x2，代入x24y中得，y1，A(2,1)圆A与抛物线准线y1相切，r|1(1)|2.所以圆A的方程为(x2)2(y1)24.19如图，直线ykxb与椭圆y21，交于A、B两点，记AOB的面积为S.(1)求在k0,0b0，故直线AB的方程为yx，或yx，或yx，或yx.20如图，设P是圆x2y225上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度解析(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得P在圆上，x2(y)225，即C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80.x1，x2.线段AB的长度为|AB|.21(xx全国大纲理)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程解析(1)设Q(x0,4)，代入y22px得x0.所以|PQ|，|QF|x0.由题设得，解得p2(舍去)或p2.所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x得，y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故AB的中点为D(2m21,2m)，|AB|y1y2|4(m21)又l的斜率为m，所以l的方程为xy2m23.将上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3y4，y3y44(2m23)故MN的中点为E(2m23，)|MN|y3y4|.由于MN垂直平分AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|，从而|AB|2|DE|2|MN|2，即4(m21)2(2m)2(2)2化简得m210，解得m1或m1.所求直线l的方程为xy10或xy10.