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高中数学 第3章 圆锥曲线与方程检测题B 北师大版选修2-1一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1椭圆1与双曲线1有相同的焦点,则k应满足的条件是()Ak3B2k3Ck2D0k0,c,k2.2已知椭圆的中心在原点,离心率e,且它的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合,则此椭圆方程为()A1B1Cy21Dy21答案A解析抛物线焦点为(1,0),c1,又椭圆的离心率e,a2,b2a2c23,椭圆的方程为1,故选A.3已知双曲线C:1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为()A1B1C1D1答案A解析本题考查双曲线方程及相关概念由双曲线焦距为10,则有52a2b2,双曲线渐近线方程yx,P(1,2)在yx上,则,所以a220,b25,选A.4如图所示,ABCDEF为正六边形,则以F、C为焦点,且经过A、E、D、B四点的双曲线的离心率为()A1B1C1D1答案D解析设正六边形边长为x,则|FC|2x,在DEF中,|DF|x,故e1.5(xx天津理)已知双曲线1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y2x10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A1B1C1D1答案A解析本题考查双曲线标准方程求法,由于一个焦点在直线y2x10上,则一个焦点为(5,0),又由渐近线平行于y2x10.则,a25,b220,双曲线标准方程:1,选A.6等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y216x的准线交于A,B两点,|AB|4,则C的实轴长为()AB2C4D8答案C解析本题考查双曲线的性质故双曲线的方程为1,抛物线的准线为x4,且|AB|4,故可得A(4,2),B(4,2),将点A坐标代入双曲线方程得a24,故a2,故实轴长为4.注意双曲线中,实轴长应为2a而不是a,另外本题还要注意等轴双曲线方程的设法7已知F1、F2为双曲线C:x2y22的左、右焦点,点P在C上,|PF1|2|PF2|,则cosF1PF2()ABCD答案C解析本题主要考查了双曲线的定义与几何性质的运用,以及余弦定理的运用依题意:ab,c2.因|PF1|2|PF2|,则该|PF2|m,|PF1|2m,又|PF1|PF2|2m.|PF1|4,|PF2|2.又|F1F2|4,cosF1PF2.故选C.本题要正确地利用双曲线的定义式8在抛物线y2x2上有一点P,它到Q(2,10)的距离与它到抛物线焦点距离之和最小,则P点坐标是()A(2,8)B(2,8)C(2,8)D(2,8)答案D解析如图所示,易得:PFPQPAPQAQAQAPPQPFPQ.该点P横坐标为2,代入得纵坐标为8,该点为(2,8),选D.9已知椭圆1(ab0)与双曲线1(m0,n0)有相同的焦点(c,0)和(c,0)(c0)若c是a、m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是()ABCD答案D解析由题意得,由(2)(3)可得m,代入(1)得椭圆的离心率e.故选D.10(xx吉林省实验中学一模)如图,F1、F2是双曲线C1:x21与椭圆C2的公共焦点,点A是C1、C2在第一象限的公共点,若|F1F2|F1A|,则C2的离心率是()ABC或D答案B解析设椭圆方程为1(ab0),由题意得,|AF1|F1F2|2c24,c2,|AF1|AF2|2,|AF2|2,2a|AF1|AF2|6,a3,e.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11顶点在原点,焦点在x轴上且正焦弦(过焦点与对称轴垂直的弦也称作通径)长为6的抛物线方程是_答案y26x或y26x解析正焦弦长为2p,2p6,方程为y26x或y26x.12过椭圆1的右焦点有一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为_答案解析设右焦点为F,则有F(1,0)将椭圆方程与直线方程联立得交点A(0,2),B(,)故SOABOF|y1y2|1|2|.13在抛物线y216x内,通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_答案y8x15解析设所求直线与y216x相交于点A,B,且A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得y16x1,y16x2,两式相减得,(y1y2)(y1y2)16(x1x2)即kAB8.故所求直线方程为y8x15.14.如图所示,F1、F2分别为椭圆1(ab0)的左、右焦点,点P在椭圆上,POF2是面积为的正三角形,则b2的值是_答案2解析因为F1,F2分别为椭圆的左,右焦点,点P在椭圆上,且正三角形POF2的面积为,所以SPOF2|OF2|PO|sin60c2,所以c24.点P的坐标为(,c),即(1,),1,又b2c2a2,所以,解得b22.15若椭圆x2a2(a0)和连接A(1,1),B(2,3)两点的线段恒有公共点,则实数a的取值范围为_答案解析线段AB与椭圆有公共点,其等价条件是点A在椭圆内或边界上,点B在椭圆外或边界上,a.三、解答题(本大题共6小题,共75分,前4题每题12分,20题13分,21题14分)16已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线1的一个焦点,抛物线与双曲线交点为P(,),求抛物线方程和双曲线方程解析依题意,设抛物线方程为y22px,(p0),点(,)在抛物线上,62p,p2,所求抛物线方程为y24x.双曲线左焦点在抛物线的准线x1上,c1,即a2b21,又点(,)在双曲线上,1,由解得a2,b2.所求双曲线方程为4x2y21.17已知抛物线y24x,椭圆1,它们有共同的焦点F2,并且相交于P、Q两点,F1是椭圆的另一个焦点,试求:(1)m的值;(2)P、Q两点的坐标;(3)PF1F2的面积解析(1)抛物线方程为y24x,2p4,1,抛物线焦点F2的坐标为(1,0),它也是椭圆的右焦点,在椭圆中,c1,a29b2c2,9m1,m8.(2)解方程组得或点P、Q的坐标为(,)、(,)(3)点P的纵坐标就是PF1F2的边F1F2上的高,SPF1F2|F1F2|yp|2.18(2011福建文,18)如图,直线l:yxb与抛物线C:x24y相切于点A.(1)求实数b的值;(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程解析(1)由得x24x4b0,(*)直线l与抛物线相切,(4)24(4b)0,b1.(2)由(1)知b1,方程(*)为x24x40.解得x2,代入x24y中得,y1,A(2,1)圆A与抛物线准线y1相切,r|1(1)|2.所以圆A的方程为(x2)2(y1)24.19如图,直线ykxb与椭圆y21,交于A、B两点,记AOB的面积为S.(1)求在k0,0b0,故直线AB的方程为yx,或yx,或yx,或yx.20如图,设P是圆x2y225上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|PD|.(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度解析(1)设M的坐标为(x,y),P的坐标为(xP,yP),由已知得P在圆上,x2(y)225,即C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3),设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y(x3)代入C的方程,得1,即x23x80.x1,x2.线段AB的长度为|AB|.21(xx全国大纲理)已知抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,直线y4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程解析(1)设Q(x0,4),代入y22px得x0.所以|PQ|,|QF|x0.由题设得,解得p2(舍去)或p2.所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x得,y24my40.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y24m,y1y24.故AB的中点为D(2m21,2m),|AB|y1y2|4(m21)又l的斜率为m,所以l的方程为xy2m23.将上式代入y24x,并整理得y2y4(2m23)0.设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3y4,y3y44(2m23)故MN的中点为E(2m23,)|MN|y3y4|.由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|,从而|AB|2|DE|2|MN|2,即4(m21)2(2m)2(2)2化简得m210,解得m1或m1.所求直线l的方程为xy10或xy10.
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