土力学第八章一到第五节

第八章地基承载力第一节概述建筑物或构筑物因地基问题引起破坏，一般有两种情形: 一是建筑物荷载过大，超过了地基所能承受的荷载能力而使地基破坏失稳，即强度和稳定性问题; 二是在建筑物荷载作用下，地基和基础产生了过大的沉降和沉降差，使建筑物产生结构性损坏或丧失使用功能，即变形问题。因此，在进行地基基础设计时，必须满足上部结构荷载通过基础传到地基土的压力不得大于地基承载力的要求，以确保地基土不丧失稳定性。地基承载力是指地基土单位面积上所能承受荷载的能力，其单位一般以kPa 计。通常把地基不致失稳时地基土单位面积上所能承受的最大荷载称为地基极限承载力pu。由于工程设计中必须确保地基有足够的稳定性，必须限制建筑物基础基底的压力p，使其不得超过地基的承载力容许值pa，因此地基承载力容许值是指考虑一定安全储备后的地基承载力。同时，根据地基承载力进行基础设计时，应考虑不同建筑物对地基变形的控制要求，进行地基变形验算。当地基土受到荷载作用后，地基中有可能出现一定的塑性变形区。当地基土中将要出现但尚未出现塑性区N；，地基所承受的相应荷载称为临塑荷载；当地基土中的塑性区发展到某一深度时，其相应荷载称为临界荷载; 当地基土中的塑性区充分发展并形成连续滑动面时，其相应荷载则为极限荷载。关于变形计算在本书前面有关章节中巳有介绍，关于变形控制问题则将会在基础工程设计中进一步阐述。本章主要从强度和稳定性角度介绍由于承载力问题引起的地基破坏及地基承载力确定。一、地基破坏的性状为了了解地基承载力的概念以及地基土受荷后剪切破坏的过程及性状，可以通过现场载荷试验或室内模型试验来研究，这些试验实际上是一种基础受荷过程的模拟试验。现场载荷试验是在要测定的地基土上放置一块模拟基础的载荷板，见图9-1所示。载荷板的尺寸较实际基础为小，一般约为0.25 ? 1.0m2。然后在载荷板上逐级施加荷载，同时测定在各级荷载下载荷板的沉降量及周围土的位移情况，直到地基土破坏失稳为止。图 9-1 载荷试验I- 载荷板 ;2- 千斤顶 ;3- 百分表 ;通过试验可得到载荷板下各级压力p 与相应的稳定沉降量s4- 反力梁5- 枕木垛 ;6 - 荷载之间的关系，绘得p? s 曲线如图 9-2 所示。对 p? s 曲线的特性进行分析，可以了解地基破坏的机理。图 9-2 中曲线 a 在开始阶段呈直线关系，但当荷载增大到某个极限值以后沉降急剧增大，呈现脆性破坏的特征；曲线 b 在开始阶段也呈直线关系，在到达某个极限以后虽然随着荷载增大，沉降增大较快，但不出现急剧增大的特征；曲线c 在整个洱降发展的过程中不出现明显的拐弯点，沉降对压力的变化率也没有明显的变化。这三种曲线代表了三种不同的地基破坏特征，太沙基等（1943) 对此作了分析，提出两种典型的地基破坏形式，即整体剪切破坏及局部剪切破坏。1/31整体剪切破坏的特征是，当基础上荷载较小时，基础下形成一个三角形压密区I 见图 9-3a)，随同基础压人土中，这时P? S 曲线呈直线关系（见图9-2 中曲线a) 。随着荷载增加，压密区I向两侧挤压，土中产生塑性区，塑性区先在基础边缘产生，然后逐步扩大形成图9-3a) 中的II 、II I 塑性区。这时基础的沉降增长率较前一阶段增大，故p? s 曲线呈曲线状。当荷载达到最大值后，土中形成连续滑动面，并延伸到地面，土从基础 两侧挤出并隆起，基础沉降急剧增加，整个地基失稳破坏，如图9-3a) 所示。这时P? S 曲线上出现明显的转折点，其相应的荷载称为极限荷载 Pu，见图 9-2 曲线 a。整体剪切破坏常发生在浅埋基础下的密砂或图 9-2p-s曲线硬黏土等坚实地基中。局部剪切破坏的特征是，随着荷载的增加，基础下也产生压密区Ia- 整体剪切破坏 ;b- 局部剪切破坏；c- 刺入剪切破坏及塑性区II ，但塑性区仅仅发展到地基某一范围内，土中滑动面并不延伸到地面，见图9-3b) ，基础两侧地面微微隆起，没有出现明显的裂缝。其P? s 曲线如图9-2中的曲线6 所示，曲线也有一个转折点，但不像整体剪切破坏那么明显。P? s 曲线在转折点后，其沉降量增长率虽较前一阶段为大，但不像整体剪切破坏那样急剧增加。局部剪切破坏常发生于中等密实砂土中。图 9-3 地基破坏形式a) 整体剪切破坏;b) 局部剪切破坏 ;c ) 刺入剪切破坏魏锡克 (Vesic ， 1963) 提出除上述两种破坏情况外，还有一种刺入剪切破坏。这种破坏形式常发生在松砂及软土中，其破坏的特征是，随着荷载的增加，基础下土层发生压缩变形，基础随之下沉，当荷载继续增加，基础周围附近土体发生竖向剪切破坏，使基础刺人土中。基础两边的土体没有移动，如图9-3c) 。刺人剪切破坏的p? S 曲线如图9-2 中曲线c，沉降随着荷载的增大而不断增加，但/ 曲线上没有明显的转折点，没有明显的比例界限及极限荷载。地基的剪切破坏形式，除了与地基土的性质有关外，还与基础埋置深度、加荷速度等因素有关。如在密砂地基中，一般会出现整体剪切破坏，但当基础埋置很深时，密砂在很大荷载作用下也会产生压缩变形，而出现刺入剪切破坏; 又如在软黏土中，当加荷速度较慢时会产生压缩变形而出现刺人剪切破坏，但当加荷很快时，由于土体不能产生压缩变形，就可能发生整体剪切破坏。表 9-1 综合列出了条形基础在中心荷载下不同剪切破坏形式的各种特征，以供参考。2/31条形基础在中心荷载下地基破坏形式的特征表 9-1破坏形式地基中卜 S曲线 基础四周 地基础沉事故出现适用条件面降情况地 基埋加荷速率滑动面基础表现控制指标土深整体剪切连续，有明显隆起较小倾斜强度突然倾斜密实小缓慢至地面拐点局部剪切连续，拐点不易 有时稍有 隆中等可能倾斜变形为主较慢下沉松散中快速或 冲确定起时有倾斜击荷载地基内刺人剪切不连续拐点无法 沿基础下陷较大仅有下沉变形缓慢下沉软弱大快速或 冲确定击荷载格尔谢万诺夫（ epcea,1948)根据载荷试验结果，提出地基破坏的过程经历3 个阶 段，见图9-4。1. 压密阶段 ( 或称直线变形阶段）相当于 p? s 曲线上的oa 段。在这一阶段, p? s 曲线接近于直线，土中各点的剪应力均小于土的抗剪强度，土体处于弹性平衡状态。在这一阶段，载荷板的沉降主要是由于土的压密变形引起的，见图9-4a) 和图 9-4b) 。相应于p? s 曲线上 a 点的荷载即为临塑荷载pcr 。a）图 9-4地基破坏过程的三个阶段a)ps曲线 b)压密阶段 c ）剪切阶段d ）破坏阶段2. 剪切阶段相当于 p? s 曲线上的 ab 段。在这一阶段 P? S 曲线已不再保持线性关系，沉降的增长率As/Ap 随荷载的增大而增加。在这个阶段，地基土中局部范围内（首先在基础边缘处）的剪应力达到土的抗剪强度，土体发生剪切破坏而出现塑性区。随着荷载的继续增加，土中塑性区的范围也逐步扩大 如图 9-4c)所示 ，直到土中形成连续的滑动面，由载荷板两侧挤出而破坏。因此，剪切阶段也是地基中塑性区的发生与发展阶段。相应于p? s 曲线上 6 点的荷载即为极限荷载pu 。3. 破坏阶段3/31相当于p? s 曲线上的bc 段。当荷载超过极限荷载后，载荷板急剧下沉，即使不增加荷载，沉降也不能稳定，因此，p? s 曲线陡直下降。在这一阶段，由于土中塑性区范围的不断扩展，最后在土中形成连续滑动面，土从载荷板四周挤出隆起，地基土失稳而破坏。二、确定地基承载力的方法确定地基承载力的方法，一般有以下3 种：根据载荷试验的P? s 曲线来确定地基承载力从载荷试验曲线确定地基承载力时，可以有3 种确定方法：用极限承载力A1 除以安全系数K 可得到承载力容许值，一般安全系数取2? 3。取 p-s 曲线上临塑荷载（比例界限荷载作为地基承载力容许值。对于拐点不明显的试验曲线，可以用相对变形来确定地基承载力容许值。当载荷板面积为0. 25? 0. 50m 2，可取相对沉降s/b= 0.01 ? 0. 015(b为载荷板宽度）所对应的荷载为地基承载力容许值。根据设计规范确定地基承载力在公路桥涵地基与基础设计规范(JTGD63 2007) 中给出了各种土类的地基承载力容许值 表，这些表是根据在各类土上所做的大量的载荷试验资料，以及工程经验总结，并经过统计分析而得到的。使用时可根据现场土的物理力学性质指标，以及基础的宽度和埋置深度，按规范中的表格和公式得到地基承载力容许值。根据地基承载力理论公式确定地基承载力地基承载力的理论公式中，一种是土体极限平衡条件导得的临塑荷载和临界荷载计算公式，另一种是根据地基土刚塑性假定而导得的极限承载力计算公式。工程实践中，根据建筑物不同要求，可以用临塑荷载或临界荷载作为地基承载力容许值，也可以用极限承载力公式计算得到的极限承载力除以一定的安全系数作为地基承载力容许值第二节临塑荷载和临界荷载的确定上一节已经指出，在荷载作用下地基变形的发展经历压密阶段、剪切阶段和破坏阶段3 个阶段。地基变形的剪切阶段也是土中塑性区范围随着作用荷载的增加而不断发展的阶段，土中塑性区开展到不同深度时，通常为相当于基础宽度的1/4 或 1/3 ，其相应的荷载即为临界荷载p1/ 4 或 p1 / 3 。一、塑性区边界方程的推导如图 9-5a) 所示，当地基表面作用条形均布荷载p 时，土中任意点M由 p 引起的最大与最小主应力1及 3 ，可按第四章中有关均布条形荷载作用下的附加应力公式计算：13-1 ）p ( 2 sin 2 )（ 94/31若条形基础的埋置深度为D 时（见图 9-5b ），计算基底下深度z 处 M点的主应力时，可将作用在基底水平面上的荷载（包括作用在基底的均布荷载p，以及基础两侧埋置深度D范围内土的自重压力0 D ），分解为图 9-5c ）所示两部分，即无限均布荷载0 D 以及基底范围内的均布荷载（p0 D ）。严格地说，M点上土的自重应力在各向是不等的，因此上述两项在M点产生的应力在数值上不能叠加，为了简化起见，在下述荷载公式推导中，假定土的自重应力在各向相等，即假设土的侧压力系数K 0 =1，则土的重力产生的压应力将如同静水压力一样，在各个方向是相等的，均为0 Dz，其中0 为基底以上土的加权平均重度，为基底以下土的重度。这样，当基础有埋置深度时，土中任意点M的主应力为：1p 0 D (2 sin 2 ) 0 D z（9-2 ）3a)b）c)图9-5塑性区边界方程的推导若 M点位于塑性区的边界上，它就处于极限平衡状态。根据第六章土体强度理论中的公式可知，土中某点处于极限平衡状态时，其主应力间满足下述条件：1 (13)sin21 (13 )c ?cot2将（ 9-2 ）带入上式并整理后可得：zp0 D ( sin 22 )c ?cot0 D（9-3 ）sin式（ 9-3 ）就是土中塑性区边界线的表达式。若已知条形基础的尺寸B 和 D、荷载 p，以及土的指标0、 、 c、时，假定不同的视角2 值带入式（ 9-3 ），求出相应的深度z 值，然后把一系列由 2对应的 z 值处位置点连起来，就得到条形均布荷载p 作用下土中塑性区的边界线，也即绘得土中塑性区的发展范围。5/31例题 9-1 有一条形基础，如图9-6 所示，基础宽度 B=3m，埋置深度 D=2m，作用在基础底面的均布荷载 p=190kpa 。已知土的内摩擦角15 ，粘聚力 c=15kpa ，重度18kN / m3 。求此时地基中塑性区范围。解地基土中塑性区边界线的表达式如式（9-3 ），即：zp0 Dsin 22c ?cot0Dsin190 182sin 215cot 151818sin 1521821810.52sin 25.455.11图 9-6将不同的 值带入上式，求得其相应的z 值，列于表9-2 。按表 9-2 的计算结果，绘出土中塑性区范围，示于图 9-6 。塑性区边界线计算表 9-204550555.266.768.069.119.8810.3610.5210.359.8810.52 sin 2 5.455.11-1.43-1.90-2.38-2.86-3.33-3.81-4.28-4.75-5.22-5.11-5.11-5.11-5.11-5.11-5.11-5.11-5.11-5.11z(m)-1.28-0.250.571.141.441.441.130.49-0.45二、临塑荷载及临界荷载计算在条形均布荷载 p 作用下，计算地基中塑性区开展的最大深度zm ax 值时，可以将式 (9-3)对 求导数，并令此导数等于零，即：dz 2( p 0 D)cos2（ 9-d1 0sin4）由此求得：cos2sin（ 9-5）2（ 9-26）将式（ 9-6 ）中的 2 值带入式（ 9-3 ），即得地基中塑性区开展最大深度的表达式为：6/31zmaxp 0 Dcotc ? cot0 D（ 9-27）由式（ 9-7 ）也可得到如下相应的基底均布荷载p 的表达式：cot2cotpzmax0 Dc（9-cot2cot2cot28）式（ 9-8 ）是计算临塑荷载及临界荷载的基本公式。从式（9-8 ）可以看出，地基承载力由粘聚力c、基底以上超载 q(0 D ) 以及基底以下塑性区土的重力zmax 提供的 3部分承载力所组成。若令 zmax 0 ，代入式（ 9-8 ），此时的基底压力p 即为临塑荷载pcr （即对应于基底土中将要出现塑性区但尚未出现塑性区时的基底压力）。其计算公式为：pcr N q 0 D N c c（9-9）式中：cotN q2cotN c2cotcot2工程实践表明，即使地基发生局部剪切破坏，地基中塑性区有所发展，只要塑性区范围不超出某以限度，就不致影响建筑物的安全和正常使用，因此以pcr 作为地基土的承载力偏于保守。地基塑性区发展的容许深度与建筑物类型、荷载性质以及土的特性等因素有关，目前在国际上尚无一致意见。一般认为，在中心垂直荷载下，塑性区的最大发展深度zm ax 可控制在基础宽度的1/4 ，相应的临界荷载为 p1/ 4 。因此，在式（9-8 ）中令 zmaxB / 4（ B 为基础宽度），可得相应的临界荷载p1/ 4 计算公式：p1 / 4BN0 DN qcNc（ 9-10 ）式中： N；4 cot2其余符号意义同前。N 、 N q、 N c 称为承载力系数，它只与土的内摩擦角有关，可以从表9-3 查用。7/31错误 ! 文档中没有指定样式的文字。表 9-3NNqNcNNqNc001.003.14220.613.446.0420.031.123.32240.723.876.4540.061.253.51260.844.376.9060.101.393.71280.984.937.4080.141.553.93301.155.597.95100.181.734.17321.346.358.55120.231.944.42341.557.219.22140.292.174.69361.818.259.97160.362.435.00382.119.4410.80180.432.725.31402.4610.8411.73200.513.065.66453.6615.6414.64通过上述临塑荷载及临界荷载计算公式的推导，可以看出这些公式是建立在下述假定基础上的：（1）计算公式适用于条形基础。若将它近似地用于矩形和圆形基础，其结果是偏于安全的。（2）在计算土中由自重产生的主应力时，假定土的侧压力系数K 0 1，这与土的实际情况不符，但这样可使公式简化。（ 3）在计算临界荷载 p1/ 4 时，土中已出现塑性区，但这时仍按弹性理论计算土中应力，这在理论上是相互矛盾的，其所引起的误差是随着塑性区范围的扩大而扩大。例题 9-2 求例题 9-1 中条形基础的临塑荷载pcr和临界荷载 p1 / 4 。解 已知土的内摩擦角15 ，由表 9-3 查得承载力系数N0.33, Nq 2.30, N c 4.85 ，由式（ 9-9 ）得临塑荷载为：pcrN q 0 DN cc 2.3 1824.8515155.6kPa由式（ 9-10 ）得临界荷载为：8/31p1/ 4 BN0 DN q cNc0.331832.31824.8515173.4kPa第三节 极限承载力计算地基极限承载力除了可以从载荷试验求得外，还可以用半理论半经验公式计算，这些公式都是在刚塑体极限平衡理论基础上解得的。下面介绍常用的几个极限承载力公式。一、普朗特尔地基极限承载力公式I . 普朗特尔基本解假定条形基础置于地基表面（d=0），地基上无重量（=0 ），且基础底面光滑无摩擦力时，如果基础下形成连续的塑性区而处于极限平衡状态时，普朗特尔（Pmndtl ，1920) 根据塑性力学得到的地基滑动面形状如图9-7 所示。地基的极限平衡区可分为3 个区：在基底下的I 区，因为假定基底无摩擦力，故基底平面是最大主应力面，两组滑动面与基础底面间成(45 - /2)角，也就是说I 区是朗金主动状态区；随着基础下沉，I 区土楔向两侧挤压，因此III区为朗金被动状态区，滑动面也是由两组平面组成，由于地基表面为最小主应力平面，故滑动面与地基表面成（ 45- /2) 角； I 区与 III区的中间是过渡区II ，第 II区的滑动面一组是辐射线，另一组是对数螺旋曲线，如图9-7 中的 CD及 CE，其方程式为（图9-8 ) 。图 9-7普朗特尔公式的滑动面形状图 9-8对数螺旋线对以上情况，普朗特尔得出条形基础的极限荷载公式如下：pu =c etan2）1=cNc（tan4+ - cot2式中，承载力系数tan2）1是土内摩擦角的函数，可从表 9-4 查得。N c =e（cottan+-，422. 雷斯诺对普朗特尔公式的补充普朗特尔公式是假定基础设置于地基的表面，但一般基础均有一定的埋置深度，若埋置深度较浅时，为简化起见，可忽略基础底面以上土的抗剪强度，而将这部分土作为分布在基础两侧的均布荷载 q=0 d 作用在 GF面上，见图9-9. 雷斯诺（ Reissner ， 1924）在普朗特尔公式假定的基础上，导得了由超载q 产生的极限荷载公式 :9/31tan图 9-29基础有埋置深度时的雷斯诺解pu =qetan（+）=qN q42N q = etantan2+）1cot是土内摩擦角的函数，可从表9-4 查得。（42式中，承载力系数-，上述普朗特尔及雷斯诺导得的公式，均是假定土的重度 =0，但是由于土的强度很小，同时内摩擦角 又不等于零，因此不考虑土的重力作用是不妥当的。若考虑土的重力时，普朗特尔导得的滑动面 II 区中的 CD、 CE 就不再是对数螺旋曲线了，其滑动面形状很复杂，目前尚无法按极限平衡理论求得其解析值，只能采用数值计算方法求得。3. 泰勒对普朗特尔公式的补充普朗特尔一雷斯诺公式是假定土的重度=0时，按极限平衡理论解得的极限荷载公式. 若考虑土体的重力时，目前尚无法得到其解析值，但许多学者在普朗特尔公式的基础上作了一些近似计算。泰勒 (Tayl or， 1948) 提出，若考虑土体重力时，假定其滑动面与普朗特尔公式相同，那么图9-9 中的滑动土体 ABGECDFA的重力，将使滑动面GECDF上土的抗剪强度增加。泰勒假定其增加值可用一个换算黏聚力 c= t?tan来表示 ， 其中 ， 为土的厚度及内摩擦角， t 为滑动土体的换算高bb）。 这样用（ c+c ）代替式（ 9-14）中的 c，既得考虑滑动土度， 假定 t=OC= 2 cot =2 tan（4+2体重力时的普朗特尔极限荷载计算公式：puqNq(cc )?N cqNqcN c c N cqNqcNcb tan() e tan tan2 () 124242= 1 bN +qN q +cN c2式中，承载力系数Ntan（） e tan tan2 ()1（ N1） tan（）4 242q4 2 ,可按值由表 9-4 查得。二、斯肯普顿地基极限承载力公式对于饱和软粘土地基（ =0），连续滑动面II 区的对数螺线蜕变成圆弧（r=r0 e tan =r0 ）10/31其连续滑动面如图9-10 所示。其中，CD及 CE 为圆周弧长。取OCDI 为隔离体， OA面上作用着极限荷载pu ， OC面上受到的主动土压力：pu =putan2）2（-）-2c（4- -ctan=pu242图 9-10斯肯普顿公式的滑动面形状DI 面上收到的为被动土压力：pu =pu tan2+） 2（+）（4+ ctan=pu +2c242在上述计算主动、被动土压力时，没有计及地基土重力（#0) 的影响，因为 =Q 时，主动土压力和被动土压力系数均为1，土体重力在OC和 DI 面上产生的主动、被动土压力大小和作用点相同、方向相反，对地基的稳定没有影响。CD面上还有黏聚力 c，各力对 A 点取力矩，由图可得：222q（OC） （OA）（DI ）2pa+pu=c（ CD ） AC+p p2+ （AI）222或1 b 21 b 22b21 b2q b2（ pa -2c）（ ）+p u （ ）=c4b+ （q+2c）（2）+（ ）22222222所以p =（ +2）c+q=5.14c+q=5.14c+d（ 9-u016）以上是斯肯普顿 (SkemPt on ，1952) 得出的饱和软黏土地基在条形荷载作用下的极限承载力公式。它是普朗特尔一雷斯诺极限荷载公式在 =O时的特例。对于矩形基础，参考前人的研究成果，斯肯普顿给出的地基极限承载力公式为：pu =5c（ 1+ b ）（ 1+ d ）+0d（ 9-5l5b17）式中 :c 地基土黏聚力（ kPa) ，取基底以下 0. 707b深度范围内的平均值 ; 考虑饱和黏性土与 粉土在不排水条件的短期承载力时，黏聚力应采用土的不排水抗剪强度Cu ;b、l 分别为基础的宽度和长度 (m) ；0 基础埋置深度 d 范围内的土的重度 (kN/m3) 。工程实践证明，用斯肯普顿公式计算的软土地基承载力与实际情况是比较接近的，安全系数 K 可取 I.10 ? I.30 。11/31三、太沙基地基极限承载力公式太沙基 (Ter Zaghi ， 1943) 提出了确定条形浅基础的极限荷载公式。太沙基认为从实用考虑，当基础的长宽比及基础的埋置深度db 时，就可视为是条形浅基础。基底以上的土体看作是作用在基础两侧的均布荷载q= 0 d 。太沙基假定基础底面是粗糙的，地基滑动面的形状如图9-11 所示，也可以分成3 个区：I 区为在基础底面下的土楔 ABC，由于假定基底是粗糙的，具有很大的摩擦力，因此AB 而不会发生剪切位移， I区内土体不是处于朗金主动状态，而是处于弹性压密状态，它与基础底面一起移动。太沙基假定滑动面AC(或 BC)与水平面成 角。 II 区的假定与普朗特尔公式一样，滑动面一组是通过 AB 点的辐射线，另一组是对数螺旋曲线CD、CE。前面已经指出，如果考虑土的重度时，滑动面就不会是对数螺旋曲线，目前尚不能求得两组滑动面的解析解。因此，太沙基是忽略了土的重度对滑动面形状的影响，是一种近似解。由于滑动面AC 与 CD 间的 夹角应该等于（/ 2-），所以对数螺旋曲线在C 点的切线是竖直的。 III区是朗金被动状态 区，滑动面AD及 DF与水平面（/ 2-) 角。若作用在基底的极限荷载为Pu 时，假设此时发生整体剪切破坏，那么基底下的弹性压密 区（ I 区)ABC 将贯入土中，向两侧挤压土体 ACDF及 BCEG达到被动破坏。因此，在 AC及 BC面上将作用被动力 Ep，Ep 与作用面的法线方向成角， 已 知 摩 擦 角 = ， 故 Ep 是竖 直 向 的，见图 9-12 。取脱离体 ABC，考虑单位长基础，根据平衡条件，有：pu b=2C1 sin+2Ep -W（ 9-18 ）式中： C1 AC 及 BC面上土黏聚力的合力，W 土楔体 ABC的重力， W= 1Hb= 1b2 tan24。图 9-11太沙基公式滑动面形状图 9-12土楔体 ABC受力示意图由此，式（ 9-18 ）可写成：（9-19 ）被动力 Ep 是由土的重度 、黏聚力 C 及超 载q （也 即基 础 埋 置深 度d） 3 种因素引起的总值，很难精确地确定。太沙基认为从实际工程要求的精度，可以用下述简化方法分别计算由3 种因素引起的被动力的总和： 土是无质量、有黏聚力和内摩擦角，没有超载，即=0，c 0,q=0; 土是无质量、无黏聚力，有内摩擦角、有超载，即 0 ，c=0 ， 0， q 0; 土是有质量的，没有黏聚力，但有内摩擦角，没有超载。即0， c=0 ， =0.q=0. 最后代入式(9-19) 可得太沙基的极限承载力公式：12/3120）（9-式中： NN q、N c 承载力系数，它们都是无量纲系数，仅与土的内摩擦角 有关，可由表、9-5 查得。太沙基公式承载力系数表表 9-5O051015。20。25。30。35。40。45。Ny00. 511.20I. 804. 0011.021. 845. 4125326NqI. 00I. 642. 694. 457. 4212. I22.541. 481. 3173.3Nc5. 717.329. 5812. 917. 625. I37. 257. 795. I172.2式 (9-20) 只适用于条形基础，在应用于圆形或矩形基础时，计算结果偏于安全。由于圆形或方形基础属于三维问题，因数学上的困难，至今尚未能导得其分析解，因此，太沙基提出了半经验的极限荷载公式：圆形基础p u =0.6RN +qN q +1.2c N c（ 9-21）式中： R圆形基础的半径；其余符号意义同前。方形基础p u =0.4bN+qN q+1.2cN c（9-22）式（ 9-20 ）、式（ 9-21 ）、式（ 9-22 ）只适用于地基土是整体剪切破坏情况，即地基土觉密实，其 ps 曲线有明显的转折点，破坏前沉降不打等情况。对于松软土质，地质破坏是局部剪切破坏，沉降较大，其极限荷载较小。太沙基建议在这种情况下采用较小的、 c值代入上列各式计算极限荷载。即令：tan =2tanc=2c(9-23)33根据 值从表 9-5 中查承载力系数，并用c代入公式计算用太沙基极限荷载公式计算地基承载力时，其安全系数应取为3.例题 9-3 某路堤如图 9-13 所示，检算路堤下地基地下承载力是否满足 . 采用太沙基公式计算地基极限荷载（取安全系数 K=3） . 计算时要求按下述两种施工情况进行分析：(I) 路堤填土填筑速度很快，它比荷载在地基中所引起的超孔隙水压力的消散速率为快。(2) 路堤填土施工速度很慢，地基土中不引起超孔隙水压力。图 9-13路堤下地基承载力计算已知路堤填土性质 ： 1 =18.8kN/m 3， c1=33.4kPa，1 =20 地基土 ( 饱和黏土）性质：2 =15.7kN/m3；。土的不排水抗剪强度指标为cu =22kPa ，u =0 ，土的固结排水抗剪强度指标为13/31cd =4kPa ，d =22 。解将梯形断面路堤折算成等面积和等高度的矩形断面（如图中虚线所示） ，求 得其 换算 路堤宽 度 b =2 7 m，地 基 土 的浮 重度2 = 2 -9.81=15.7-9.81=5.9kN/m 3 .用沙太基公式（ 9-20 ）计算极限荷载：p = 1bN +qN+cNcu2q情况 （ a ）：u =0 ，由 表9 - 5 查得 承 载 力系 数为 ， N =0 ， N q =1.0， N c =5.712 =5.9kN/m 3， cu =22kPa ， d=0， q=1d=0， b=27m已 知 ：代入上式得：pu = 15.9270+0 1+22 5.71=125.4kPa2路堤 填土 压力p= 1H=18.88=150.4kPa地基 承载 力安 全 系数 K= pu = 125.4 =0.83 3 ，故 路堤 下的 地基 承载 力不 能满 足 需 求 。p150.4情况 （ b ）：b =22， 由 表 9 - 5 查 得 承 载力 系 数 为， N =6.8， N q =9.17， N c =20.2p = 15.9276.8+0+420.2=541.6+80.8=633.4kPau2622.4地基承载力安全系数 K=4.1 3，故地基承载力满足条件。从上述计算可知，当路堤填土填筑速度较慢，允许地基土中的超孔隙水压力能充分消散时，则能使地基承载力得到满足。四、考虑其他因素影响时的地基极限荷载计算公式前面所介绍的普朗特尔、雷斯诺、斯肯普顿及太沙基等的极限荷载公式，都只适用于中心 竖向荷载作用时的条形基础，同时不考虑基底以上土的抗剪强度的作用。因此，若基础上作用 的荷载是倾斜的或有偏心，基底的形状是矩形或圆形，基础的埋置深度较深，计算时需要考虑、 基底以上土的抗剪强度影响 , 或土中有地下水时，就不能直接应用前述极限荷载公式。要得出 全面地考虑这么多影响因素的极限荷载公式是很困难的，许多学者做了一些对比的试验研究， 提出了对上述极限荷载公式 ( 如普朗特尔一雷斯诺公式 ) 进行修正的公式，可供一般使用。以下介绍两种计算方法。一 . 汉森地基极限承载力公式汉森 (Hari SOn，1961，1970) 提出，对于均质地基，在中心倾斜荷载作用下，不同基础形状及 不同埋置深度时的极限承载力计算公式如下：1pu =bN i s d g b +qN qi q sq dq gq bq +cN ci csc dcgcbc2（9- 24）14/31式中N、9-13 ) 及N qN c 承载力系数。 Nq、N c 值与普朗特尔一雷斯诺公式相同，见式（:式（ 9-12) ， 或由表 9-4 查得 ; N值汉森建议按 N =1.8( N q -1) 计 算；i 、 i q、 i c 荷载倾斜系数，其表达式及以 下各系数均见表 9-6;g 、 gq、 gc 地面倾斜系数；b 、 bq、 bc 基底倾斜系数 ；s 、 sq、 sc 基础形状系数；d 、 d q、 d c 深度系数；其余符号意义同前。从上述公式可知，汉森公式考虑的承载力影响因素是比较全面的，下面对汉森公式的应用做简单说明：（ 1）荷载偏心及倾斜的影响.如果作用在基础底面的荷载是竖直偏心荷载，那么计算极限荷载时，可引入假想的基础有效宽度 b=b-2 eb 来代替基础的实际宽度b，其中eb 为荷载偏心距。这个修正方法对基础长度方向的偏心荷载也同样适用，即用有效长度l =l-2 el 代替基础实际长度 l 。如果作用的荷载是倾斜的，汉森建议可以把中心竖向荷载作用时的极限荷载公式中的各项分别乘以荷载倾斜系数 i 、 i q、 i c ( 表 9-6)，作为考虑荷载倾斜的影响。(2) 基础底面形状及埋置深度的影响矩形或圆形基础的极限荷载计算在数学上求解比较困难，目前都是根据各种形状基础所做的对比载荷试验，提出了将条形基础极限荷载公式进行逐项修正的公式。在表9-6 中给出了汉森提出的 基 础 形 状 系 数 s 、 sq、sc 的 表 达 式 。前述的极限荷载计算公式，都忽略了基础底面以上土的抗剪强度影响，也即假定滑动面发展到基底水平面为止。这对基础埋深较浅，或基底以上土层较弱时是适用的; 但当基础埋深较大，或基底以上土层的抗剪强度较大时，就应该考虑这一范围内土的抗剪强度影响。汉森建议用深度系数15/31d 、 d q、 d c 对前述极限荷载公式进行逐项修正，他所提出的深度系数列于表9-6。(3 ) 地下水的影响式 (9-24)中的第一项是基底下 最大滑动深度范围内地基土的重度，第二项（ q= d ) 中 的是基 底以上地基土的重度，在进行承载力计算时，水下的土均应采用有效重度，如果在各自范围内的地基由重度不同的多层土组成，应按层厚加权平均取值。，埋置深度地基为饱和软黏例题9-4有一矩形基础如图9-15所示。已知，l=15md = 3m;b=5m土，饱和 重度sat=19kN/m3c= 4kPa ， =202m处；作用在基底，土的抗剪强度指标为地下水位在地面下的竖向荷载 P=10000kN ，其偏心距 eb =0.4m， el=0，水平荷载 H =200kN。试求其极限荷载。解当 = 2 0 时 ， 由 表 9 - 4 查 得： N q =6.4， N c =14.8（1 ）基础的有效面积计算b=b-2eb5 2 0.4 4.2m基础的有效宽度及长度l l2el 15mAb l 4.2 15 63m2基础的有效面积（2 ）荷载倾斜系数计算（按表9-6中公式计算）0.7H50.75i11200Accot10000634=0.94Pcot 20?0.5H5