椭圆知识点总结及经典习题

椭圆知识点总结及经典习题圆锥曲线与方程-椭圆 知识点 一椭圆及其标准方程 1椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2间隔 的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆，即点集M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|=2c； 这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的间隔 叫椭圆的焦距2c。 时为线段，无轨迹。 2标准方程： 焦点在_轴上：ab0； 焦点Fc，0 焦点在y轴上：ab0； 焦点F0, c 注意：在两种标准方程中，总有ab0，并且椭圆的焦点总在长轴上； 两种标准方程可用一般形式表示： 或者 m_2+ny2=1 二椭圆的简单几何性质： 1.范围 1椭圆ab0 横坐标-a_a ,纵坐标-b_b 2椭圆ab0 横坐标-b_b,纵坐标-a_a 2.对称性 椭圆关于_轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点 1椭圆的顶点：A1-a，0，A2a，0，B10，-b，B20，b 2线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4离心率 1我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率， 记作e， 是圆； e越接近于0 e越小，椭圆就越接近于圆; e越接近于1 e越大，椭圆越扁； 注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。 小结一：根本元素 1根本量：a、b、c、e、共四个量， 特征三角形 2根本点：顶点、焦点、中心共七个点 3根本线：对称轴共两条线 5椭圆的的内外部 1点在椭圆的内部.2点在椭圆的外部.6.几何性质 1点P在椭圆上， 最大角 2最大间隔 ，最小间隔 7.直线与椭圆的位置关系 1 位置关系的断定：联立方程组求根的判别式； 2 弦长公式： 3 中点弦问题：韦达定理法、点差法 例题讲解： 一.椭圆定义： 方程化简的结果是 2假设的两个顶点，的周长为，那么顶点的轨迹方程是 3.椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的间隔 为3,那么P到另一焦点间隔 为 二利用标准方程确定参数 1.假设方程+=11表示圆，那么实数k的取值是 .2表示焦点在_轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 .3表示焦点在y型上的椭圆，那么实数k的取值范围是 .4表示椭圆，那么实数k的取值范围是 .2.椭圆的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 , 3椭圆的焦距为，那么= 。 4椭圆的一个焦点是，那么 。 三待定系数法求椭圆标准方程 1假设椭圆经过点，那么该椭圆的标准方程为 。 2焦点在坐标轴上，且，的椭圆的标准方程为 3焦点在轴上，椭圆的标准方程为 4.三点P5，2、6，0、6，0，求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程； 变式：求与椭圆共焦点，且过点的椭圆方程。 四焦点三角形 1椭圆的焦点为、，是椭圆过焦点的弦，那么的周长是 。 2设，为椭圆的焦点，为椭圆上的任一点，那么的周长是多少？的面积的最大值是多少？ 3设点是椭圆上的一点，是焦点，假设是直角，那么的面积为 。 变式：椭圆，焦点为、，是椭圆上一点假设， 求的面积 五离心率的有关问题 1.椭圆的离心率为，那么 2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为，那么此椭圆的离心率为 3椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，那么椭圆的离心率为 4.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，假设F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。 5.在中，假设以为焦点的椭圆经过点，那么该椭圆的离心率 六、最值问题： 1、椭圆，A(1，0)，P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 最小值 。 2.椭圆两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，那么|PF1|PF2|的最大值为_， 七、弦长、中点弦问题 1、椭圆及直线 1当为何值时，直线与椭圆有公共点？ 2假设直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程 2椭圆， (1)求过点1,0且被椭圆截得的弦长为的弦所在直线的方程 2求过点且被平分的弦所在直线的方程； 同步测试 1F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，那么点P的轨迹为( ) A 圆 B 椭圆 C线段 D 直线 2、椭圆左右焦点为F1、F2，CD为过F1的弦，那么CDF1的周长为_3方程表示椭圆，那么k的取值范围是( ) A -10 C k0 D k1或k0)有 (A)相等的焦距 (B)一样的离心率 (C)一样的准线 (D)以上都不对 11、椭圆与0b0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，那么椭圆的离心率的取值范围是() A(0,1) B.C.D.2椭圆1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P满足F1PF260，那么F1PF2的面积是() A.B.C.D.3椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的间隔 等于9，那么椭圆E的离心率等于() 4点F，A分别是椭圆1(ab0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满足0，那么椭圆的离心率等于() A.B.C.D.5椭圆1的左右焦点分别为F1、F2，过F2且倾角为45的直线l交椭圆于A、B两点，以下结论中：ABF1的周长为8；原点到l的间隔 为1；|AB|；正确结论的个数为() A3B2C1D0 6圆(_2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，那么动点P的轨迹是() A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 7过椭圆C：1(ab0)的一个顶点作圆_2y2b2的两条切线，切点分别为A，B，假设AOB90(O为坐标原点)，那么椭圆C的离心率为_ 8假设椭圆1(ab0)与曲线_2y2a2b2无公共点，那么椭圆的离心率e的取值范围是_ 9ABC顶点A(4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆1上，那么_.10椭圆C：1(ab0)的长轴长为4.(1)假设以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y_2相切，求椭圆C的焦点坐标； .11椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在_轴上，离心率e.(1)求椭圆E的方程； 第 5 页 共 5 页