平行四边形的性质和判定讲义

平行四边形一、知识梳理1平行四边形：(1) 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形平行四边形用符号“边形 ABCD记作，读作平行四边形ABCD”表示平行四2平行四边形的性质：(1) 平行四边形的对边平行且相等(2) 平行四边形的对角相等，邻角互补。(3) 平行四边形的对角线互相平分(4) 若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积例 1ABCD 中， A 的平分线分 BC 成 4cm 和 3cm 两条线段，则ABCD的周长为例 2在ABCD 中， C=60o,DE AB（ 1）则 EDF=；于E,DF BCD于 FC（ 2）如图，若 AE=4 ， CF=7 ，则ABCD 周长 =;FAEB例 3.在平行四边形 ABCD中，已知 A 40，则 B， C，D.例 4。.中，周长为 20cm，对角线 AC 交 BD 于点 O， OAB 比 OBC 的周长多 4，则边 AB _，BC _ 变式训练角线 AC.如图，在平行四边形和 BD 的和是多少？ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，AOB的周长为15，AB 6，那么对例 5、如图，在 ABCD中，O 是对角线的交点， 过 O 的直线交AB 于 E，交 DC 于 F ，图中全等三角形共有（）ADEOFA2 对B3对C6 对D8对 BC3两条平行线间的距离：(1) 定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离(2) 两平行线间的距离处处相等例 6、有以下四个说法：两点的距离，点到直线的距离，两条平行线间的距离，都是指某种线段的长如果两点的位置固定，那么它们的距离是定值如果一点和一条直线的位置固定，那么它们的距离是定值两条平行线间的距离不是定值其中正确说法的个数是（）A1B2C3D44 平行四边形的面积：(1) 如图，(2) 同底 ( 等底 ) 同高 ( 等高 ) 的平行四边形面积相等如图，有公共边BC，则例 7、如图 , 四边形 ABCD是平行四边形 ,AB=10，AD=8， ACBC, 求 AC、OA以及平行四边形ABCD的面积变式训练 ： 1、平行四边形两邻边分别是4 和 6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是_2、平行四边形的周长为20cm ， AE BC于 E， AF CD于 F， AE=2 cm，AF=3 cm，求平行四边形ABCD的面积。5平行四边形的判别方法：(1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(4) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形(5) 对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形的判定1. 两组对边分别平行的四边形为平行四边形例例 8 如图所示， 1= 2， 3= 4，问四边形ABCD 是不是平行四边形变式训练 ：平行四边形 ABCD中， M、 N分别为 AD、BC的中点，连结 AN、 DN、BM、 CM，且 AN、 BM交于点 P，CM、 DN交于点 Q. 四边形 MGNP是平行四边形吗？为什么？ 2. 两组对边分别相等的四边形为平行四边形例 9 如图，在 ABCD 的各边 AB、 BC、 CD、 DA 上，分别取点 K、 L、 M、 N，使 AK=CM 、 BL=DN，则四边形KLMN 为平行四边形吗？说明理由.变式训练： 如图所示，在四边形ABCD中， AB=CD， BC=AD， E， F 为对角线AC上的点，且AE=CF，求证： BE=DF 3. 一组对边平行且相等的四边形为平行四边形例 10 如图，ABCD中， E、 F 分别在 BA、DC的延长线上，且AE=1 AB， CF=1 CD，试证明AECF为平行四边形 .22变式训练： 如图， AD=BC ， DAC= BCA ，试判断四边形 ABCD 是平行四边形吗？请说说你的理由. (7分)BCAD 4. 两组对角分别相等的四边形为平行四边形例 11(2008 湖北恩施 ) 如图，在平行四边形 ABCD中, ABC的平分线交 CD于点 E, ADC的平分线交 AB 于点 F. 试证明四边形 DFBE为平行四边形 .变式训练： 在四边形 ABCD 中，已知 A= C ， B= D, 求证四边形ABCD 为平行四边形。 5. 对角线互相平分的四边形为平行四边形例 12（2010 江苏宿迁）如图，在 ABCD中，点 E、 F 是对角线 AC上两点，且 AE=CF求证： EBF=FDE变式训练 ：如图， ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于 O，若 OE=OF ，求证：四边形 BFDE 是平行四边形6. 三角形中位线：定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半。例 13如图所示， DE是 ABC的中位线， BC=8，则 DE=_7、平行四边形知识的运用：(1) 直接运用平行四边形特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等DC(2) 识别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行F(3) 先识别个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些E问题O基础自测AB一、相信你的选择 (每小题 3 分 ,共 21 分 )1如图 1，在平行四边形 ABCD 中，下列各式不一定正确的是（）(A)12180(B)23180(C)34180(D)241802如图有图 12，在 ABCD中， EF/AB ，GH/AD ，EF图与2GH交于点 O，则该图中的平行四边形的个数共（）.(A)7个(B)8个(C)9 个(D)11个3下列给出的条件中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的是(A)AB CD ，AD=BC(B)AB=AD ，CB=CD(C)AB=CD ，AD=BC(D) B= C， A= D5 如图3 , 在 ABCD中 , B=110,延长AD至 F,延长CD().(A)110 (B)30 (C)50 (D)70 至E,连接（）.EF,则 E+F的值为图5图3图46如图 4，ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，将 AOD 平移至 BEC 的位置，则图中与相等的其它线段有（） .(A)1 条(B)2 条(C) 3 条(D) 4 条7如图 5，点 D、E、F 分别是 AB 、BC、 CA 边的中点，则图中的平行四边形一共有（）.(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个OA8（ 08 泰州市）在平面上，四边形ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O，且满足 AB=CD 有下列四个条件：（1）OB=OC；（ 2）AD BC；（3） AODO ；（ ）OBC若只增加其中的一个COBO4OAD=条件，就一定能使 BAC= CDB 成立，这样的条件可以是A（2）、（4）B（2）C（3）、（4）D（4）二、试试你的身手（每小题4 分，共 24 分）1在平行四边形ABCD 中，若 A-B=70，则 A=_， B=_，C=_， D=_2在 ABCD 中， AC BD ，相交于 O， AC=6，BD=8 ，则 AB=_，BC= _3如图 6，已知 ABCD 中，AB=4 ，BC=6，BC 边上的高 AE=2，则 DC 边上的高 AF 的长是 _图6图74如图 7,ABC 中， D、E 分别是 AB 、 AC 边的中点，且 DE=6cm，则 BC=_5用 40cm 长的长绳围成一个平行四边形， 使长边与短边的比是3：2，则长边是 _cm,短边是 _cm.图9图106.如图7.如图9,ABCD 中,DB=DC, C=70,AEBD 于 E,则 DAC=_度.10， E、 F 是ABCD 对角线 BD 上的两点，请你添加一个适当的条件：，使四边形AECF是平行四边形三、解答题1.如图 11，在 ABCD 中，已知对角线 AC 和 BD 相交于点 O， AOB 的周长为 25，AB=12 ，求对角线AC与BD的和.图 112. 如图 12,在 ABCD 中,已知点 E 和点 F 分别在 AD 和 BC 上,且 AE=CF,连结 CE 和 AF,试说明四边形AFCE 是平行四边形 .图 123.如图 13 ,ABCD 中， BD AB ， AB=12cm，AC=26cm，求 AD 、 BD 长图 134.如图 14， E、 F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点， AF=CE，DF=BE，DF BE求证：（1） AFD CEB（2）四边形 ABCD 是平行四边形家庭作业1如 图所示，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，下列式子中一定成立的是AACBDB OA=OCCAC=BDD AO=OD()2如图，平行四边形的周长为28cm ，ABC 的周长是 22cm ，则 AC 的长为 ()A 6cmB 12cm C 4cmD 8cm3如图，在平行四边形 ABCD 中， AD=5 ，AB=3 ，AE 平分BAD 交 BC 边于点 E，则线段 BE、 EC 的长度分别为A2和3B3和2C4和1D1和 4AADDOBCB第 1 题C第24将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法共有A1 种B2 种C3 种D无数种()5平行四边形 ABCD 中，A ：B ：C：D 的值可以是()A4：3：3：4B7：5：5：7C 4： 3：2： 1D 7：5：7：56如图，在平行四边形ABCD 中，延长 BA 至 E，下列各式不一定成立的是()A 1+2=1800B 2+3=180 0EC3+4=1800D 2+4=1800ADA1D2B34B第3题 C第 6 题CE7两个全等的不等边三角形，可以拼成（不许重叠）形状不同的平行四边形的个数最多为A 2B 3C4D 5()8已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中能分别作为它的两条对角线长的是A 10与16B12 与 16C20 与 22D10与 40()9如图， EF 过平行四边形ABCD 对角线的交点O，并交 AD 于 E，交 BC 与 F，若 AB=4 ，BC=5 ，OE=1.5 ，那么四边形 EFCD 的周长是()A16B 14C 12D 10AEDAGDOEOFBB第 9 题FCCH第10题10如图，在平行四边形ABCD 中， EF BC ， GH AB ， EF、 GH 的交点 O 在 BD 上，则图中面积相等的平行四边形有()AA1对B2 对C3 对D4 对DFBEC第11题11在平行四边形ABCD 中， AEBC 于 E， AF CD 于 F，若 AE=4 ，AF=6 ，平行四边形ABCD 的周长为40，则 S 平行四边形 ABCD12自平行四边形65 0 角的顶点作平行四边形的两条高，则这两条高的夹角为13O 是平行四边形 ABCD的对角线的交点，ABO 的面积为5 cm2 ， 则 这 个 平 行 四 边 形 的 面 积为A14如图，等腰ABC 中， AB=AC ， AB=8 cm ， D 为EBC 上任意一点， DE AC ， DFAB ，则平行四边F形 AEDF 的周长为BD C第 14题15在平行四边形ABCD 中， M 是 BC 的中点， AB ： BC=1 ：2，则AMD=16 平 行四边形 ABCD一 个内角 平分 线把一条边分 成 4cm 和 5cm 两 段， 则平行 四边形ABCD 的周长为17如图，平行四边形 ABCD 中， BC=2AB ，现要截取一个直角三角形，使BC 为斜边，且直角顶点E 在ADAD 上，则 E为AD 的B题C第 1718已知，如图，平行四边形ABCD 中，BCD 的平分线交AB 于 E，交 DA 的延长线于F，试说明 AE=AF DCABE第 18题F19如图， 平行四边形 ABCD 的相邻边 AD ：AB=5 ：4，过点 A 作 AE BC，AF CD ，垂足分别为 E、F，AE=4 cm ，求 AF 的长ADFBCE19 题20如图所示，平行四边形ABCD 中， BC=2AB ， AF=AB=BE ，且点 E、 F 在直线 AB 上，求EOF 的度数DCOFABE第20题21如图所示， M、 N 分别为平行四边形ABCD 边 BC、 CD 上的点，且 MN BD ，则AND 的面积ABM 的面积怎样？请说明理由CDNM