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. 第1章 控制系统的根本概念本章介绍了自动控制的定义，自动控制系统的组成、工作原理和相关的常用术语。比拟了开环控制系统和闭环控制系统，并进一步说明了其优缺点和适用围，介绍了典型闭环系统的功能框图。需要重点掌握负反应在自动控制系统中的作用，闭环系统或反应系统的特征是：采用负反应，系统的被控变量对控制作用有直接影响，即被控变量对自身有控制作用。在分析系统的工作原理时，确定控制系统的被控对象、控制量和被控制量，根据控制系统的工作原理与各元件信号的传送方向，可画出控制系统的职能方框图。方框图是分析控制系统的根底。本章的难点在于由系统的物理结构图或工作原理示意图绘出系统元件框图。按照不同的分类方法可以将自动控制系统分成不同的类型，实际系统可能是几种方式的组合。对自动控制系统的根本要求包括：系统首先必须是稳定的；系统的稳态控制精度要高，即稳态误差要小；系统的动态性能要好，即系统的响应过程要平稳，响应过程要快。这些要求可归纳成稳、准、快三个字。教材习题同步解析1.1 试列举几个日常生活中的开环控制和闭环控制系统的例子，并简述其工作原理。解：1开环控制最普通的热得快，加热到一定程度提醒断电，但不会自主断电，需要人为去断电。电风扇，人工转换电扇档位实现转速的控制，但不能根据环境温度自动调节。洗衣机，洗衣人根据经历，预先设定洗涤、漂洗等洗衣程序，那么洗衣机根据设定的程序完成洗衣过程。系统的被控制量输出量没有通过任何装置反应回输入端，对系统的控制不起作用。2闭环系统饮水机或电水壶，自动断电保温，加温到一定温度停止加温，进入保温状态；温度降低进入加温状态，如此循环。自动调温空调，当环境温度高于或低于设定温度时，空调制冷系统自动开启，调定室温到设定值。全自动洗衣机的水位控制，红外传感器扫描水位上下，当水位适宜时，洗衣机自动停止加水。走道路灯的声光控制系统，根本工作原理如下：白天或夜晚光线较亮时，光控局部将开关自动关断，声控局部不起作用。当光线较暗时，光控局部将开关自动翻开，负载电路的通断受控于声控局部。电路是否接通，取决于声音信号强度。当声强到达一定程度时，电路自动接通，点亮灯泡，并开场延时，延时时间到，开关自动关断，等待下一次声音信号触发。这样，通过对环境声光信号的检测与处理，完成电路通断的自动开关控制。1.2 试比拟开环控制和闭环控制的优缺点。解：1开环系统优点：结构简单，系统稳定性好，调试方便，本钱低。因此，在输入量和输出量之间的关系固定，且部参数或外部负载等扰动因素不大，或这些扰动因素可以预测并进展补偿的前提下，可以采用开环控制系统。缺点：当控制过程中受到来自系统外部的各种扰动因素，如负载变化、电源电压波动等，以与来自系统部的扰动因素，如元件参数变化等，都将会直接影响到输出量，而控制系统不能自动进展补偿，抗干扰性能差。因此，开环系统对元器件的精度要求较高。 2闭环控制优点：抑制扰动能力强，与开环控制相比，对参数变化不敏感，并能获得满意的动态特性和控制精度。缺点：引入反应增加了系统的复杂性，如果闭环系统参数的选取不适当，系统可能会产生振荡，甚至系统失稳而无常工作，这是自动控制理论和系统设计必须解决的重要问题。1.3 自动控制系统通常由哪些环节组成？它们在控制过程中的功能是什么？解：1给定元件给出与被控制量期望值相对应的控制输入信号(给定信号)，这个控制输入信号的量纲与主反应信号的量纲一样。给定元件通常不在闭环回路中。2测量反应元件测量反应元件也叫传感器，用于测量被控制量，并产生与被控制量有一定函数关系的信号与被控制量成比例或与其导数成比例的信号，并反应到输入端与给定信号进展比拟。测量元件的精度直接影响控制系统的精度，应使测量元件的精度高于系统的精度，还要有足够宽的频带。3比拟元件用于比拟控制量和反应量并产生偏差信号。电桥、运算放大器可作为电信号的比拟元件。有些比拟元件与测量元件是结合在一起的，如测角位移的旋转变压器和自整角机等。4放大元件将微弱的偏差信号进展幅值或功率的放大，以与信号形式的变换如有源放大器、交流变直流的相敏整流或直流变交流的相敏调制。5执行元件用于操纵被控对象，如机械位移系统中的电动机、液压伺服马达、温度控制系统中的加热装置等。执行元件的选择应具有足够大的功率和足够宽的频带。6校正元件用于改善系统的动态和稳态性能，根据被控对象特点和性能指标的要求而设计。校正元件串联在由偏差信号到被控制信号间的前向通道中的称为串联校正；校正元件在反应回路中的称为反应校正或并联校正。7被控对象控制系统所要控制的对象，例如水箱水位控制系统中的水箱、房间温度控制系统中的房间、火炮随动系统中的火炮、电动机转速控制系统中电机等。设计控制系统时，认为被控对象是不可改变的，它的输出即为控制系统的被控制量。1.4 试述对控制系统的根本要求。解：1稳定性：是系统正常工作的必要条件。稳是指控制系统的稳定性和平稳性。稳定性：是指系统重新恢复平衡状态的能力，它是自动控制系统正常工作的先决条件。一个稳定的控制系统，其被控量偏离期望值的初始偏差应随时间的增长逐渐减小或趋于零。不稳定的系统是无法工作的。平稳性：是指过渡过程振荡的振幅与频率。即被控量围绕给定值摆动的幅度和摆动的次数。好的过渡过程摆动的幅度要小，摆动的次数要少。2快速性：要求系统的响应速度快、过渡过程时间短。系统的稳定性足够好、频带足够宽，才可能实现快速性的要求。过渡过程越短，说明系统快速性越好，过渡过程持续时间越长，说明系统响应迟钝，难以跟踪快速变化的指令信号。稳定性和快速性反映了系统过渡过程的性能，称为系统的动态性能或瞬态性能。3准确性：准是对系统稳态静态性能的要求。对一个稳定的系统而言，过渡过程完毕后，系统的被控量或反应量对给定值的偏差称为稳态误差，它是衡量系统稳态精度的重要指标。稳态误差越小，或者对某种典型输入信号的稳态误差为零，表示系统的准确性越好，控制精度越高。1.5 图1.1所示的转速闭环控制系统中，假设测速发电机的正负极性接反了，试问系统能否正常工作？为什么？解：假设测速发电机的正负极性接反，偏差电压那么为系统将由负反应变为正反应，而正反应不能进展系统控制，会使系统的偏差越来越大。因此，系统不能正常工作。图1.2 水位自动控制系统原理图解：系统的输入量是电位器的给定电位，被控制量是水池的水位。控制对象是水池，而浮球、连杆机构、放大器、电动机、减速器、进水阀门等组成控制器。在该系统中，浮球用来测量水位上下；连杆机构用来进展比拟。连杆的一端由浮球带动，另一端那么连向电位器控制进水阀门。它将期望水位与实际水位两者进展比拟，得出水位误差，同时推动电位器的滑臂上下移动。电位器输出电压偏差ue反映了误差的性质：大小和方向。电位器输出的微弱电压经放大器放大后驱动直流伺服电动机，其转轴经减速器后拖动进水阀门，对系统施加控制作用。在正常情况下，实际水位等于期望值，此时，电位器的滑臂居中，。当出水量增大时，水位开场下降，浮球也随之下降，带动电位器滑臂向上移动，经放大后成为，控制电动机正向旋转，以增大进水阀门开度，促使水位上升。当实际水位回复到期望值时，系统到达新的平衡状态。可见，该系统在运行时，无论何种干扰引起水位出现偏差，系统就会进展调节，最终总是使实际水位等于期望值，大大提高了控制精度。该控制系统也可用方框图表示，如图1.3所示。图1.3 水位自动控制系统方框图给定水位浮球ue实际水位放大器减速器电动机进水阀门扰动出水量水池图1.5 晶体管稳压电源方块图UwU2晶体管BG3电阻R3、R4晶体管BG2图1.4 晶体管稳压电源原理图Ub3Ub2Ub2b3e3c3b2c2e2-Ube3Ub31.7一晶体管稳压电源如图1.4所示。试画出其方块图，并说明被控量、给定值、干扰量是什么？哪些元件起着测量、放大、执行作用？ 解：稳压管BG1的电压Uw是电源的参考输入即给定值，稳压电源输出电压U2是被控量，干扰量是输入的待稳定电压U1或负载Rfz。稳压管BG1稳定了基准电压Uw，使Uw不受输入或输出电压的影响。电路分为以下四部份：反应测量元件：由分压电路(R3，R4)组成，监视输出端电压U2之变化，把变化Ub3送到放大器晶体管BG2。基准电压元件：由电阻R2和稳压二极管BG1组成，利用稳压二极管的稳压特性输出一稳定的参考电压Uw。 R2用以限制稳压二极管的工作电流。838比拟与放大元件：由三极管BG3所构成的共射极放大器组成，把反应电压Ub3和参考电压Uw作出比拟并放大，输出电压Ub2到控制元件。控制执行元件：由三极管BG2构成。BG2可看成一个可变电阻，其阻受输入基极的电压Ub2所影响，电压Ub2愈高，阻便愈低，流经的电流便愈大，输出电压Uce2便下降，反之那么上升。BG2与负载串联，输出管压降Uce2用于抵消输出电压U2的波动，因此此电路称为串联型稳压电路。各个电压之间的关系如下：，RfzU2Ub3Ube3Ib3Ic3Uce3Ub2Ib2Ue2Uce2U2当干扰引起输出电压U2减小时，系统稳压过程如下：这样，只要输出电压U2有一点微小的变化，就能引起调整管BG2的输出电压Uce2发生较大的变化，提高了稳压电路的灵敏度，改善了稳压效果，而且能输出较大的电流，具有较好的带负载能力。此稳压电源实际上就是一个具有放大环节的电压串联负反应系统，方框图如图1.5所示。1.8 图1.6a、图1.6b所示的系统均为自动调压系统，试分析其工作原理，画出方块图。设空载时，图1.6a和图1.6b的发电机端电压均为110V，试问带上负载后，图1.6a和图1.6b中哪个系统能够保持110V电压不变？哪个系统的电压会稍低于110V？为什么？uf(a) (b)图1.6 自动调压系统原理图MGK负载ifuc+K负载Gif+urufurueueuouo+解 带上负载后，在一开场由于负载的影响，图1.6(a)与1.6 (b)系统的端电压都要下降，但图1.6 (a)中所示系统能恢复到110V，而图1.6 (b) 所示系统却不能。理由如下： 图1.6 (a)系统，当低于给定电压时，偏差电压给定电压与反应电压之差：经放大器放大后，驱动电机M转动，经减速器带动变阻器使发电机G的励磁回路电阻变小，从而使发电机的励磁电流增大，发电机的输出电压会升高，从而使给定电压与发电机机端电压之间的偏差电压减小，直至偏差电压为零时，电机才停止转动。因此，图1.6 (a)系统能保持110V不变。图1.6 (b)系统，当低于给定电压时，其偏差电压经放大器后，输入发电机励磁回路，直接使发电机励磁电流增大，提高发电机的端电压，使发电机G 的端电压上升。偏差电压减小，但不可能等于零，因为当偏差电压为 0时，=0，发电机不能工作。即图1.6 (b)所示系统的稳态电压会低于110V。以上两种自动调压系统都是恒值控制系统，但区别在于：当跟随响应一个给定的恒值信号时，系统1.6 (a)是无差系统，系统1.6 (b)是有差系统。二者的本质不同在于：图1.6 (a)系统励磁电压由单独的电源提供，而图1.6 (b)系统是由发电机系统的偏差电压提供。两种自动调压系统的方框图见图1.7(a)、(b)。a放大器变阻器ue电动机发电机测量电位器urufuoif齿轮减速装置b图1.7 自动调压系统方框图ue发电机测量电位器urufuoif励磁电阻放大器 1.9 仓库大门自动控制系统原理如图1.8所示。试说明仓库大门开启、关闭的工作原理。如果大门不能全开或全关，应该怎样进展调整？解 当给定电位器和测量电位器输出相等时，放大器无输出，门的位置不变。假设门的原始位置在“关状态，当门需要翻开时，“开门开关翻开，“关门开关闭合，给定电位器和测量电位器输出不相等。电位器组会测量出开门位置与大门实际位置间对应的偏差电压，偏差电压经放大器放大后，驱动伺服电动机带动绞盘转动，将大门向上提起。与此同时，和大门连在一起的电刷也向上移动，直到电位器组到达平衡，即测量电位器输出与给定电位器输出相等，那么电动机停止转动，大门到达开启位置。反之，当合上关门开关时，电动机带动绞盘使大门关闭，从而可以实现大门远距离开闭自动控制。系统方框图如图1.9所示。图1.8仓库大门自动控制系统 图1.9 仓库大门自动控制系统方框图关门位置对应的电位开门位置、放大器绞盘ue实际位置电动机大门给定电位器测量电位器如果大门不能全开或者全闭，说明电位器组给定的参考电压与期望的开门位置或关门位置不一致，应该调整电位器组的滑臂位置，即调整“开门或“关门位置对应的参考电压。第2章 自动控制系统的数学模型数学模型是描述系统输入、输出以与部各变量之间关系的数学表达式，建立系统的数学模型是进展控制系统分析和设计的根底。微分方程、传递函数、结构图、信号流图和脉冲响应函数都是用来描述线性系统的数学模型。微分方程是控制系统的时域数学模型，正确地理解和掌握系统的工作过程、各元部件的工作原理是建立系统微分方程的前提。传递函数是在零初始条件下系统输出的拉普拉斯变换和输入拉普拉斯变换之比，是经典控制理论中重要的数学模型，熟练掌握和运用传递函数的概念，有助于分析和研究复杂系统。动态结构图和信号流图是两种用图形表示的数学模型，具有直观形象的特点。其优点是可以方便地应用梅逊增益公式求复杂系统的传递函数。脉冲响应函数是在零初始条件下，用系统对单位理想脉冲输入的时域响应描述系统变量的函数关系。对脉冲响应取拉普拉斯变换，即可求得相应的传递函数。控制系统常用的传递函数有开环传递函数，闭环传递函数和输出对扰动作用的传递函数以与误差传递函数和扰动输入作用下的偏差传递函数，它们在系统分析和设计中的地位十分重要。求系统的传递函数常用的方法有三种：微分方程取拉氏变换法；结构图等效化简法以与梅逊增益公式法。对于力学系统，要用到牛顿第二定理；对于电网络，要用到节点电流定律和回路电压定律，还可以利用复数阻抗的概念方便地写出相应的传递函数。教材习题同步解析2.1 求图2.1中RC电路和运算放大器的传递函数。解：a令Z1=为电容和电阻的复数阻抗之和；Z2=为电阻的复数阻抗。由此可求得传递函数为：图2.1 电路网络图AAB(b) 令Z1=Ls为电感复数阻抗；Z2=为电容和电阻的复数阻抗之和。由此可求得传递函数为：(c) 该电路由运算放大器组成，属于有源网络。运算放大器工作时，A点的电压约等于零，称为虚地。输入、输出电路的复数阻抗Z1和Z2分别为 Z1=，Z2=。又由虚短得故有(d) 假设B点电压为U1，根据A点虚地，与节点电流定理可得：A点的电流关系B点的电流关系可得联立以上各式，消掉U1(s)，有图2.2 弹簧阻尼运动系统xoB1k2k1xMB2B1xrxoxok2k1xrB (a) (b) (c) 2.2 求图2.2所示机械运动系统的传递函数。1求图2.2a的。解：位移为输入量，为输出量。设初始时刻系统不受任何外界压力或拉力，处于静止状态，即系统初始条件为零。由于无质量，系统各受力点任意时刻均满足合外力，如图解2.3(a)所示，并取a点的位移为中间变量x，方向朝下。根据弹簧、阻尼器上力与位移、速度的关系和牛顿定律，取a，b两点分别进展受力分析。对a点有上式中，是弹簧的弹性位移，因此为弹簧的弹力。是阻尼器B的弹性位移，为速度，为阻尼器B的阻尼力。弹簧弹力与阻尼力二者大小相等，方向相反。同理，对b点有联立两式，消除中间变量x可得：， 将x代入b点受力方程，有等式两端取拉氏变换，并考虑系统为零初始条件，有系统传递函数为图2.3 题2.2弹簧阻尼运动系统受力图解xok2k1xrabab (a)xBMB2B1xrxoM (b)2求图2.2b的。解：运动由静止开场，质量M的重力已经由阻尼器B1、B2的阻尼抵消，系统处于一个平衡状态，即初始条件全部为零。质量M相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为、 。运动开场后，质量块的受力关系如图解2.3(b)所示，不计M的重力，由牛顿第二定理可得整理得等式两端取拉氏变换，并考虑系统为零初始条件，有系统传递函数为3求图2.2c的。解：受力关系如图解2.4所示，同上述两题，以初始平衡状态为基点，对a点进展受力分析，根据牛顿定理可写出等式两端取拉氏变换，并考虑系统为零初始条件，有系统传递函数为图2.4 题2.2弹簧阻尼运动系统(c)受力图解xoB1k2k1aax图2.5 RLC网络C2.3 试用复数阻抗法画出图2.5所示电路的动态结构图，并求传递函数与。解：方法一：动态结构图设流经电阻R1的电流为I1，电阻R2的电流为I2，由电路定理，并直接利用复阻抗的概念，可得以下方程组图2.6 题2.3 RLC网络动态结构图Ur(s)Uo(s)每个等式代表一个环节，系统总的输入信号为Ur(s)，输出信号为Uo(s)。因此，根据各环节输入、输出变量之间的关系式，推出系统动态结构图，见图2.6。可采用图2.6中虚线所示方法变换框图，如图2.7(a)、(b)、(c)所示。(c)图2.7题2.3 RLC网络动态结构图简化过程Ur(s)Uo(s)(a)Ur(s)Uo(s)R1(b)Ur(s)Uo(s)因此传递函数为b图2.8 RLC网络信号流图方法二：也可采用梅逊公式求取传递函数。根据图2.6给出的系统动态结构图，推出RLC网络信号流图，如图2.8所示。从输入到输出，全系统只有一条前向通道，其增益为。反应回路共有三个，其回路增益分别为：，有一对互不接触回路L1、L2，故特征式为因三个回路均与前向通道接触，故求余子式时、取0，有根据梅逊增益公式，有，同理，假设求传递函数，那么从输入到输出，只有一条前向通道，其增益为，反应回路仍为，但回路与前向通道不接触，故根据梅逊增益公式，有方法三：复阻抗法串并联电路电容C，电感L，电阻R2的总阻抗为：即并有因此2.4 某系统满足微分方程组为试画出系统的结构图，并求系统的传递函数和。解：在零初始条件下，对上述微分方程组取拉氏变换得：图2.9 题2.4系统动态结构图R(s)E(s)C(s)B(s)10每个等式代表一个环节，且系统的输入信号为，输出信号为，是偏差信号。根据各环节输入、输出变量之间的关系式，推出系统动态结构图，如图2.9所示。化简动态结构图，可得系统传递函数为图2.10 系统结构图RLC网络(a)rr+=r+2.5 简化图2.10所示系统的结构图，求输出的表达式。解：本系统为多输入-单输出系统，可利用线性系统的叠加定理，分别求取各个输入信号作用下的输出，其和即为所求的系统总输出。系统动态结构图可化简为图2.11(a)。(b)图2.11 题2.5系统结构图等效过程r+=r考虑到输入信号D1(s)附近相邻的相加点可交换，将系统结构图图2.11(a)简化为图2.11(b)。1） 求输入信号R(s)用下的输出CR(s)，此时假定其他两个输入为零，即D1(s)= D2(s)=0，那么根据系统结构图2.11(b)，化简可得输出CR(s)为(c)图2.11 题2.5系统结构图等效过程r2） 求输入信号D1(s)用下的输出CD1(s)，此时假定R(s)= D2(s)=0，那么系统结构图可等效为图2.11(c)。化简可得输出CD1(s)为3） 求输入信号D2(s)用下的输出CD1(s)，此时假定R(s)= D1(s)=0，那么系统结构图可等效为图2.11(d)。(d)图2.11 题2.5系统结构图等效过程rr化简可得输出CD2(s)为4综上所述，本系统的总输出为2.6 简化图2.12所示各系统的结构图，并求出传递函数。图2.12 控制系统结构图RLC网络解：图2.12a是具有穿插连接的结构图。为消除穿插，可采用移动相加点、分支点的方法处理。图中a、b两点，一个是相加点，一个是分支点，二者相异，不可以任意交换，但可以相对各串联环节前移或后移，如图2.13(a)所示。求解步骤：1将分支点a后移，等效图如图2.13(b)所示。2将相加点b前移，等效图如图2.13(c)所示。3将相加点b与前一个相加点交换，并化简各负反应与串、并联环节，得图2.13(d)。4化简局部负反应，故得图2.13(e)。5前向通道两环节串联，再化简单位负反应系统，得到系统(a)的闭环传递函数为r=r=r+=rr=r=r+=rr=rr图2.13 题2.6(a)系统结构图简化过程abaab(b)(c)(d)(e)(a)r=r=r+=rb注：本闭环系统的反应回路比拟复杂，共有5个负反应回路，其回路增益分别为：，之间相互接触，共同路径为ba，其传递函数为，如图2.13(a)粗黑虚线局部所示，故特征式为因此，在用梅逊增益公式求解本系统传递函数时，需要特别注意。b同理，图2.12(b)也是具有穿插连接的结构图。为消除穿插，也可采用移动相加点、分支点互换的方法处理，如图2.14(a)所示。并注意到虚线框局部与完全独立，为并联结构。求解步骤：1将分支点a后移，等效图如图2.14 (b)所示。2相加点b处有三个信号相加，将相加点b分解为两个相加点，等效图如图2.14(c)所示。3化简图2.14(c)虚线框的负反应与串联环节，并将分支点c后移，得图2.14(d)。4化简局部负反应，得图2.14(e)，为一典型的并联结构。简化并联结构，系统(b)的闭环传递函数为ar=r=r+=rbr=r=r+=raaccbb图2.14 2.6(b)系统系统结构图简化过程dr=r+=re+=rcacr=r=r+=rca图2.14 2.6(b)系统系统结构图简化过程b此外，图2.14(a)虚线框局部的传递函数也可以利用教材介绍的规律直接求解：如果系统动态结构图满足两个条件：所有回路两两相互接触；任意一回路与每条前向通道接触，那么闭环系统传递函数是一个有理分式；式中，负反应取“+号；正反应取“，m是前向通道的条数，n是反应回路数。对于本系统虚线框局部而言，前向通道传递函数之积为，反应回路有三个，开环传递函数分别为，之间相互接触，并与前向通道接触，且均为负反应，因此满足规律使用的条件。此局部的传递函数为结果与前面的动态结构图简化过程完全一样。实际上，此简化规律就是基于信号流图的梅逊Mason公式的特例，即当系统结构满足上述相互接触的条件时，有，那么系统传递函数为2.7 直流电动机双闭环调速系统的原理线路如图2.15所示。其中，速度调节器的传递函数为，电流调节器的传递函数为，晶闸管电路可控硅触发器和整流装置的传递函数为，电流互感器和测速发电机的传递系数分别为和，直流电动机的微分方程如式2.14所示。调速系统的给定输入为，输出为角速度，负载扰动为。试绘出调速系统的结构图注意，电流调节回路为负反应连接，并求取闭环系统的传递函数。解：1双闭环调速系统的方框图由图2.15给出的系统原理图，确定双闭环调速系统的方框图如图2.16。2直流电动机的动态结构图为电动机角速度rad/s，Mc为折算到电动机轴上的总负载力矩Nm，ua为电枢电压V。在电枢控制情况下，励磁不变。取ua为给定输入量，为输出量，Mc为扰动量。为便于建立直流电动机模型，引入中间变量ea、ia和M。ea为电动机旋转时电枢两端的反电势V，ia为电枢电流A，M为电动机旋转时的电磁力矩Nm。根据电动机运行过程的物理规律包括机和电两个方面，由教材公式(2.9)(2.12)，可列写各输入量、输出量和中间变量的拉氏表达之间的数学关系式如下（1） 电动机电枢回路的电势平衡方程为式中，、分别为电枢回路电感和电阻。通常电枢绕组的电感La较小，可以忽略不计，那么电动机电枢回路的电势平衡方程可简化为图2.15 双闭环调速系统原理图+电流互感器晶闸管电路负载Mc+速度调节器电流调节器测速发电机电动机=r图2.16 双闭环调速系统系统方框图电流调节器ue输入量Mc负载扰动输出量晶闸管电路直 流电动机uiua测 速发电机uf速度调节器电流互感器Mc2电动机的反电势方程为式中，为电动机的电势常数，单位为Vs/rad。3电动机的电磁转矩方程为式中，为电动机的转矩常数，单位为Nm/A。4电动机轴上的动力学方程为式中，J为转动局部折算到电动机轴上的总转动惯量，其单位为Nms2。注意上式中已忽略与转速成正比的阻尼转矩。根据以上各信号的输出、输出关系，直流电动机的动态结构图如图2.17虚线框局部所示，其输入信号为电枢电压ua，输出信号为角速度。假设考虑电枢绕组的电感La的作用，那么将环节改为即可。r=r=r图2.17 双闭环调速系统系统动态结构图3双闭环调速系统的动态结构图根据所确定的直流电动机的动态结构图，并结合由图2.16所给出的闭环调速系统方框图，闭环系统的动态结构图，见图2.17。4闭环系统的传递函数可直接利用前面题2.6(b)解答所介绍的闭环系统动态结构图的简化规律。求系统转速对于控制输入的闭环传递函数时，系统有一条前向通道，三个反应回路，彼此之间相互接触，因此有同理，转速对于干扰输入的闭环传递函数为上式中，由于闭环系统的前向通道是干扰输入到输出，即，那么负反应回路，与前向通道不接触，因此余子式 系统的闭环传递函数也可通过动态框图的化简求得。在直流双闭环调速系统中，电流互感器为校正装置，输入信号为电动机电枢电流，输出信号为电压。电流调节器的输入信号为速度调节器的输出信号。电流负反应的作用是：保证在起动过程中电枢电流保持恒为允许的最大值；而稳态后，不起作用。2.8 某系统的结构如图2.18所示。试绘出相应的信号流图，并利用梅逊公式求出闭环系统的传递函数。 图2.18 多回路系统RLC网络MM图2.19 题2.8多回路系统的信号流图解全系统有五条前向通道，其增益为，。系统有一条反应系数为的主反应通道，并由于系统有如上分析的五条前向通道，因此相对于反应通道，系统有五个反应回路，其回路增益分别为： ，。此外，系统还有两个互不接触的局部反应回路，且二者与间两两互不接触。故特征式为因前向通道与回路L6、L7不接触，故求余子式时、取0，有而其余前向通道均与任意反应回路相接触，故有根据梅逊增益公式，有图2.20 两级RC串联网络2.9 两级RC串联网络如图2.20a所示，其信号流图见图2.53b，试用梅逊公式求出传递函数。解：全系统只有一条前向通道，其增益为。反应回路共有三个，其回路增益分别为：，有一对互不接触回路L1、L2，故特征式为因三个回路均与前向通道接触，故求余子式时、取0，有根据梅逊增益公式，系统传递函数为2.10 分别用结构图变换法与梅逊公式求图2.21所示各系统的传递函数。图2.21 系统结构图图2.21 系统结构图(a) 解：1） 结构图变换法如图2.22(a)所示，虚线框局部为典型的负反应环节，因此系统动态结构图的等效变换如图2.22(b)所示。系统闭环传递函数为r+a rb 图2.22 题2.10(a)系统结构图等效变换2） 梅逊公式法全系统有一条前向通道，其增益为，反应回路有两个，其回路增益分别为：，之间相互接触，故特征式为反应回路与前向通道不接触，因此余子式为(b)解：1） 结构图变换法如图2.23(a)所示，虚线框局部为典型的负反应环节，因此系统动态结构图的等效变换如图2.23(b)所示。系统闭环传递函数为rr ar b图2.23题2.10(b)系统结构图等效变换2梅逊公式法全系统有一条前向通道，其增益为，反应回路有两个，其回路增益分别为：，其中与前向通道不接触，故特征式为余子式为(c)解： 1） 结构图变换法如图2.24(a)所示，虚线框局部为典型的负反应环节，而G3(s)为一独立的并联环节，因此系统动态结构图的等效变换如图2.24(b) 、(c)所示。系统闭环传递函数为r+a+=rrb+=rc图2.24 题2.10(c)系统结构图等效变换2梅逊公式法全系统有两条前向通道，其增益为，；反应回路有两个，其回路增益分别为：，其中是一条独立的前向通道，与与反应回路均不接触，故特征式为余子式为，(d)解：1） 结构图变换法该系统具有比拟复杂的穿插连接结构。从图2.25(a)可见，对于相加点，前向通道有两组。第一组有两个分支，为A相加点相加点，与A相加点相加点相加点；同理，第二组也有两个分支，为A相加点相加点，与A相加点相加点相加点。同理，如2.25(a)图所示，系统虚线框外有一条反应系数为1的主负反应通道，并由于系统有如上分析的四条前向通道，因此系统有四条反应系数为1的负反应回路。此外，虚线框，还存在一个局部负反应回路，为相加点相加点，也就是相加点相加点。综上，系统动态结构图的等效结构如图2.25(b)所示，系统的穿插结构已经解开，仅具有简单的串联、并联、负反应结构，其等效简化过程见图2.25(c) 、(d)。系统闭环传递函数为2梅逊公式法由前面的分析，并注意各信号的正负，全系统有四条前向通道，其增益为，。反应回路有五个，其回路增益为：，五个反应回路相互接触，并与四条前向通道均有接触。注意：回路和的共同路径是AB，C，如图2.25(a)粗黑虚线所示，其传递函数分别为。故系统特征式为+=r+=r+=r+=rrrra+=r+=r+=r+=rrrrbrrrd+=r+=r+=r图2.25题2.10(d)系统结构图等效变换c=r=r=rA=rA=r=r=r=rB=rC=rC=r连杆、电位器B=r(a)+=r=rr(b)+=r=rr(c)+=r=rrr(d)图2.26题2.10(e)系统结构图等效变换baba(f)解：结构图变换法为解除穿插连接，可分别将相加点a前移、分支点b后移，如图2.26(a)所示。动态结构图的等效变换见图2.26(b)、(c)、(d)。系统闭环传递函数为2梅逊公式法全系统有一条前向通道，其增益为；反应回路有四个，其回路增益为：，四个反应回路与前向通道均有接触，但与相互独立，故特征式为2.11 试用梅逊公式求图2.27所示系统的传递函数。gaia b图2.27 系统信号流图 (a)解：全系统有四条前向通道，其增益为，反应回路有一个，其回路增益为：，与四条前向通道均有接触，故特征式为(b)解：全系统有一条前向通道，其增益为，反应回路有三个，其回路增益分别为：，与前向通道P均有接触，但L1、L2互不接触，故特征式为2.12 各系统的脉冲响应函数，试求系统的传递函数。1；2。解：1等式两端取拉氏变换，得解：(2) 方法1：在零初始条件下，等式两端取拉氏变换，根据拉氏变换的时域平移定理，得由欧拉公式，且，那么有方法二根据三角函数的求和定理，系统的脉冲响应函数可展开为在零初始条件下，等式两端取拉氏变换，得MATLAB实验指导M2.1 求解时间函数f(t)的拉普拉斯变换F(s)。1 2解：1MATLAB程序如下syms t; %定义t为变量f =3*cos(2*t+1/4*pi); %定义时间函数fFs=laplace(f) %求解拉氏变换输出结果为Fs = 3/8*2(1/2)*s/(1/4*s2+1)-3/4*2(1/2)/(1/4*s2+1)即时间函数f(t)的拉普拉斯变换F(s)为2MATLAB程序如下syms t %定义t为变量f=4*t2*exp(-3*t) %定义时间函数fFs= laplace(f) %求解拉氏变换输出结果为Fs =8/(s+3)3即时间函数f(t)的拉普拉斯变换F(s)为M2.2 求解F(s)的反拉普拉斯变换f(t)。解：MATLAB程序如下syms s %定义s为变量y2=ilaplace(s2+s+100)/(s*(s2+100) %求解拉氏反变换输出结果为y2 = 1+1/10*sin(10*t)即F(s) 的拉普拉斯反变换f(t)为M2.3 在零初始条件下求解微分方程，解：MATLAB程序如下方法一：利用MATLAB的dsolve函数直接求解高阶微分方程syms t;f=D3c+2*D2c+2*Dc=2*dirac(2,t)+3*dirac(1,t)+2*dirac(t),c(0)=0,Dc(0)=0,D2c(0)=0; %定义微分方程与初始条件c=dsolve(f,t) %求解微分方程上述指令中，dirac(t)为MATLAB定义的单位脉冲函数，dirac(1,t)与dirac(2,t)为其一阶与二阶导数。输出结果为c=-exp(-t)*cos(t)+heaviside(t)*exp(-t)*cos(t)+heaviside(t)-1由于冲激脉冲函数十分特殊，在t=0时刻不连续，其一阶导数是冲激偶Inf Inf，为在原冲激函数坐标处的上下两个方向的箭头，幅度分别为正负无穷大。因此，直接利用dsolve函数求解出来的y(t)是围绕t轴对称的两组信号，实际上取为正的信号，即y(t)为heaviside(t)*exp(-t)*cos(t)+heaviside(t)heaviside(t)函数是MATLAB定义的单位阶跃信号，因此当t0时，信号y(t)为1+exp(-t)*cos(t)关于heaviside(t)和dirac(t)函数的更多信息，请参考有关MATLAB与数字信号处理的书籍。方法二：利用拉氏变换求解在零初始条件下，对微分方程求拉氏变换，得出输出信号与输入信号之间的传递函数为当输入单位脉冲信号时，输出为单位脉冲响应，求解指令为syms s;Y=(2*s2+3*s+2)/(s3+2*s2+2*s); %定义拉氏表达式y=ilaplace(Y) %求解反拉氏反变换输出结果为y =1+exp(-t)*cos(t)即信号y(t)为M2.4 求传递函数的零点和极点。解：MATLAB程序如下num=1 3 3; %分子多项式den=1 3 5 6 2; %分母多项式z,p,k=tf2zp(num,den) %求零、极点输出结果为：z = -1.5000 + 0.8660i %零点 -1.5000 - 0.8660ip = -0.3970 + 1.5050i %极点 -0.3970 - 1.5050i -1.7283 -0.4776 k = 1 %根轨迹增益M2.5 将传递函数分解为局部分式。解：MATLAB程序如下num=1 3 2; %分子多项式den=1 5 6 0; %分母多项式r,p,k=residue(num,den) %求传递函数的留数、极点、常数项输出结果为：Transfer function:r = %留数 0.6667 0 0.3333p = %极点 -3.0000 -2.0000 0k = %常数项 说明传递函数可分解为：实际上，此传递函数有一对可对消的零极点，即-2。M2.6 系统传递函数为，求其传递函数模型的实现。解：MATLAB程序如下num=100 400; %分子多项式den=conv(conv(conv(1 0,1 0.5),1 50),1 50); %多项式相乘，求分母多项式tf(num,den) %建立传递函数的多项式模型输出结果为： Transfer function: 100 s + 400-s4 + 100.5 s3 + 2550 s2 + 1250 sM2.7 系统传递函数为，求其零极点模型的实现。解：MATLAB程序如下num=1 3 2;den=1 3 5 6 0;z,p,k=tf2zp(num,den); %将传递函数模型转换为零极点模型G=zpk(z,p,k) %输出系统的零极点模型输出结果为：Zero/pole/gain: (s+2) (s+1)-s (s+2) (s2 + s + 3)此传递函数也有一对可对消的零极点：-2。M2.8 单位负反应系统前向通道由两个子系统串联而成，求系统的闭环传递函数。解：MATLAB程序如下num1=3; den1=1 4;num2=2 4;den2=1 2 3;numc,denc=series(num1,den1,num2,den2); %求环节串联后的分子与分母多项式fopen=tf(numc,denc) %输出串联环节的传递函数前向通道fclosed=feedback(fopen,1) %单位负反应连接，fopen为前向通道，输出结果输出结果为： Transfer function: 6 s + 12-s3 + 6 s2 + 11 s + 12 %串联后前向传递函数 Transfer function: 6 s + 12-s3 + 6 s2 + 17 s + 24
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