高等数学第九章多元函数极值典型问题

. 1设函数在处取得极值，试求常数a，并确定极值的类型2求函数在区域上的最大值和最小值3（04研）设是由确定的函数，求的极值点和极值4 求函数在条件（其中）下的条件极值1设函数在处取得极值，试求常数a，并确定极值的类型分析 这是二元函数求极值的反问题， 即知道取得极值，只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解此题解因为在处的偏导数均存在，因此点必为驻点， 则有，因此有，即因为， ，所以，函数在处取得极小值2求函数在区域上的最大值和最小值分析这是多元函数求最值的问题只需要求出函数在区域可能的极值点与在区域边界上的最大值和最小值点，比较其函数值即可 解由，解得，且在边界上，它在上最大值和最小值分别为1和；同理，在边界上有相同的结果在边界上，在上最大值和最小值为1和；同理，在边界上有相同的结果 综上所述，函数在区域上的最大值和最小值分别为， 注 求多元连续函数在有界闭区域上的最大值和最小值时，求出可能的极值点后，并不需要判别它是否为极值点另外，求函数在边界上的最大值和最小值时，一般是将问题化为一元函数的最值问题或用其他方法，比如用条件极值的方法或不等式的技巧 3（04研）设是由确定的函数，求的极值点和极值分析 此题考查由方程确定的隐函数的极值问题，应先求出驻点再求出二阶偏导数，利用充分条件判定是否为极值点解因为，所以方程两边分别对与求偏导，得令 ，解之得 即 将，代入可得 或 ，即点与点是可能的极值点，下面判定是否为极值点在（1）式两边对求偏导，得，在（1）式两边对求偏导，得，在（2）式两边对求偏导，得，所以故，又，从而点是的极小值点，且极小值为类似地由故，又，所以点是的极大值点，且极大值为综上所述，点是的极小值点，且极小值为；点是的极大值点，且极大值为4 求函数在条件（其中）下的条件极值分析条件极值问题可考虑将其转化为无条件极值，或用拉格朗日乘法来求解法1将代入函数，得，于是由解得，则，所以，当时，函数取得极大值，且极大值为解法2令，于是由解得，即为可能的极值点，将代入函数，得， 则为可能的极值点，余下解法同解法1，求出知时，函数取得极大值5 / 5