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第四节二次函数与幂函数2019考纲考题考情1幂函数(1)定义：一般地，函数yx叫做幂函数，其中底数x是自变量，是常数。(2)幂函数的图象比较：2二次函数(1)解析式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)。顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)。两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)。(2)图象与性质：与二次函数有关的不等式恒成立的条件(1)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是(2)ax2bxc1，所以函数y2x26x3在1,1上为单调递减函数，所以ymin2631。答案1二、走近高考3(2017浙江高考)若函数f(x)x2axb在区间0,1上的最大值是M，最小值是m，则Mm()A与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关D与a无关，但与b有关解析设x1，x2分别是函数f(x)在0,1上的最小值点与最大值点，则mxax1b，Mxax2b。所以Mmxxa(x2x1)，显然此值与a有关，与b无关。故选B。答案B三、走出误区微提醒：二次函数解析式形式选择不恰当，致使运算量偏大；幂函数定义不清晰，导致出错；二次函数在给定区间上的恒成立问题忽视给定区间的作用致误。4已知某二次函数的图象与函数y2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(1,3)，则此函数的解析式为()Ay2(x1)23 By2(x1)23Cy2(x1)23 Dy2(x1)23解析设所求函数的解析式为ya(xh)2k(a0)，由题意可知a2，h1，k3，故y2(x1)23。故选D。答案D5已知幂函数yf(x)的图象过点，则此函数的解析式为_；在区间_上递减。解析设yf(x)x，因为图象过点，代入解析式得，则yx，由性质可知函数yx在(0，)上递减。答案yx(0，)6已知函数f(x)x2x1，在区间1,1上不等式f(x)2xm恒成立，则实数m的取值范围是_。解析f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可。因为g(x)x23x1m在1,1上单调递减，所以g(x)ming(1)m1。由m10，得m0)，又f(0)0，得a1，所以f(x)(x1)21x22x。(2)由f(x)是偶函数知f(x)的图象关于y轴对称，所以a，即b2，所以f(x)2x22a2，又f(x)的值域为(，4，所以2a24，故f(x)2x24。答案(1)x22x(2)2x24考点三二次函数的图象和性质微点小专题方向1：二次函数的图象【例3】对数函数ylogax(a0且a1)与二次函数y(a1)x2x在同一坐标系内的图象可能是()ABCD解析当0a1时，ylogax为减函数，y(a1)x2x的图象开口向下，其对称轴为直线x1时，ylogax为增函数，y(a1)x2x的图象开口向上，其对称轴为直线x0，排除B。故选A。答案A确定二次函数的图象从三方面入手1开口方向；2.对称轴；3.特殊点。方向2：二次函数的单调性【例4】函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是()A3,0) B(，3C2,0 D3,0解析当a0时，f(x)3x1，在1，)上递减，满足题意。当a0时，f(x)的图象的对称轴为直线x，由f(x)在1，)上递减知解得3a0。综上，a的取值范围为3,0。答案D【互动探究】若函数f(x)ax2(a3)x1的单调减区间是1，)，则a的取值为_。解析由题意知，f(x)必为二次函数且a0)，求函数f(x)在区间0,2上的最小值。解因为a0，所以f(x)ax22x的图象的开口方向向上，且对称轴为直线x。当时，(0,2)，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)minf。当2，即0a时，f(x)在0,2上单调递减，所以f(x)minf(2)4a4。综上所述，f(x)min1二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动。不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论。2二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解。【题点对应练】1(方向1)如图，若a0，则函数yax2bx的大致图象是_(填序号)。解析函数图象的开口向下，对称轴方程为x0，且过原点，故大致图象是。答案2(方向2)若函数ymx2x5在2，)上是增函数，则m的取值范围是_。解析当m0时，函数在给定区间上是增函数；当m0时，函数是二次函数，图象对称轴为x2，得m，又m0，因此00，即函数图象的开口向上，所以f(0)f(2)，则当f(m)f(0)时，有0m2。故选D。答案D1(配合例2使用)已知二次函数f(x)ax2bxc满足条件：f(3x)f(x)；f(1)0；对任意实数x，f(x)恒成立，则其解析式为f(x)_。解析依题意可设f(x)a2k，由f(1)ak0，得ka，从而f(x)a2恒成立，则，且a0，即0，即0，且a0，所以a1。从而f(x)2x23x2。答案x23x22(配合例3使用)设b0，二次函数yax2bxa21的图象为下列之一，则a的值为()ABC1 D1解析因为b0，故对称轴不可能为y轴，由给出的图可知对称轴在y轴右侧，故a0，所以二次函数的图象为第三个图，图象过原点，故a210，a1，又a0，所以a1。故选D。答案D3(配合例4使用)函数f(x)2x2mx3，当x2，)时，f(x)是增函数，当x(，2时，f(x)是减函数，则f(1)的值为()A3 B13C7 D5解析函数f(x)2x2mx3图象的对称轴为直线x，由函数f(x)的单调区间可知2，所以m8，即f(x)2x28x3，所以f(1)28313。故选B。答案B4(配合例5使用)若函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，则实数a的值为_。解析函数的图象是开口向上的抛物线，所以函数f(x)的最大值在区间的端点处取得。因为f(0)a，f(2)43a，所以或解得a1。答案110
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