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21.2系统抽样1记住系统抽样的方法和步骤2会用系统抽样从总体中抽取样本3能用系统抽样解决实际问题1系统抽样先将总体中的个体逐一编号，然后按号码顺序以一定的间隔k进行抽取，先从第一个间隔中随机地抽取一个号码，然后按此间隔逐个抽取即得到所需样本2系统抽样的步骤及规则(1)系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，步骤为：编号：先将总体的N个个体编号有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；分段：确定分段间隔k，对编号进行分段当(n是样本容量)是整数时，取k；确定初始编号：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(lk)；抽取样本：按照一定的规则抽取样本(2)抽取样本的规则通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(lk)，再加k得到第3个个体编号(l2k)，依次进行下去，直到获取整个样本判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)总体个数较多时可以用系统抽样法()(2)整个系统抽样过程中，每个个体被抽到的机会可能不相等()(3)用系统抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本，要平均分成n段，每段各有个号码()答案(1)(2)(3)题型一系统抽样的概念【典例1】(1)下列问题中，最适合用系统抽样法抽样的是()A从某厂生产的30个零件中随机抽取6个入样B一个城市有210家超市，其中大型超市20家，中型超市40家，小型超市150家为了掌握各超市的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本C从参加竞赛的1500名初中生中随机抽取100人分析试题作答情况D从参加期末考试的2400名高中生中随机抽取10人了解某些情况(2)分段为000001100000的体育彩票，凡彩票号码最后三位数为345的中一等奖，这种抽奖过程是系统抽样吗？为什么？解析(1)A总体容量较小，样本容量也较小，可采用抽签法；B总体中的个体有明显的层次，不适宜用系统抽样法；C总体容量较大，样本容量也较大，可用系统抽样法；D总体容量较大，样本容量较小，可用随机数表法故选C.(2)中奖号码的获得方法可以看做分段间隔为1000，把总体分为100段，在第1段中抽取000345，在第2段中抽取001345，在第100段中抽取099345，组成样本显然该抽样方法符合系统抽样的特点，因此采用的是系统抽样答案(1)C(2)见解析系统抽样的适用条件及判断方法适用条件：系统抽样适用于个体数较多的总体判断方法：判断一种抽样是否为系统抽样，首先看在抽样前是否知道总体是由什么构成的抽样的方法能否保证将总体分成几个均衡的部分，并保证每个个体等可能入样针对训练1下列抽样方法不是系统抽样的是()A从标有115号的15个球中，任选三个作样本，按从小号到大号的顺序，随机选起点i0，以后选i05，i010(超过15则从1再数起)号入选B工厂生产的产品用传送带将产品送入包装车间前，在一天时间内检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验C做某项市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到达到事先规定的调查人数为止D电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈解析A分段间隔相同；B时间间隔相同；D相邻两排座位号的间隔相同，均满足系统抽样的特征只有C项无明显的系统抽样的特征答案C题型二系统抽样的设计【典例2】(1)某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k16，即每16人抽取一个人在116中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从3348这16个数中应取的数是_(2)某企业对新招的504名员工进行岗前培训，为了了解员工的培训情况，试用系统抽样的方法按照下列要求抽取员工，请你写出具体步骤从中抽取8名员工，了解基本理论的掌握情况从中抽取50名员工，了解实际操作的掌握情况解析(1)采用系统抽样方法，每16人抽取一个人，116中随机抽取一个数抽到的是7，在第k组抽到的是716(k1)，从3348这16个数中应取的数是716239.(2)第一步，将504名员工随机编号，依次为001,002,003，503,504，将其等距分成8段，每一段有63个个体；第二步，在第一段(001063)中用简单随机抽样方法随机抽取一个号码作为起始号码，比如26号；第三步，起始号间隔的整数倍，确定各个个体：将编号为26,2663,26632，26637的个体抽出组成样本第一步，用随机方式给每个个体编号：001,002,003，503,504；第二步，利用随机数表法剔除4个个体，比如剔除编号为004,135,069,308的4个个体，然后再对余下的500名员工重新编号，分别为001,002,003，499,500，并等距分成50段，每段10个个体；第三步，在第一段001,002,003，010中用简单随机抽样方法抽出一个号码(如006)作为起始号码；第四步，起始号间隔的整数倍，确定各个个体，将编号为006,016,026，486,496的个体抽出组成样本答案(1)39(2)见解析设计系统抽样应关注的几个问题(1)系统抽样一般是等距离抽取，适合总体中个体数较多，个体无明显差异的情况(2)总体均匀分段，通常在第一段(也可以选在其他段)中采用简单随机抽样的方法抽取一个编号，再通过将此编号加段距的整数倍的方法得到其他的编号注意要保证每一段中都能取到一个个体(3)若总体不能均匀分段，要将多余的个体剔除(通常用随机数表的方法)，不影响总体中每个个体被抽到的可能性针对训练2某校高中三年级的295名学生已经分段为1,2，295，为了了解学生的学习情况，要按15的比例抽取一个样本，请用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程解按照15的比例抽取样本，则样本容量为29559.抽样步骤是：分段：按现有的号码确定分段间隔k5，把295名同学分成59组，每组5人；第1段是分段为15的5名学生，第2段是分段为610的5名学生，依次下去，第59段是分段为291295的5名学生采用简单随机抽样的方法，从第一段5名学生中抽出一名学生，不妨设分段为l(1l5)那么抽取的学生分段为l5k(k0,1,2，58)，得到59个个体作为样本，如当l3时的样本分段为3,8,13，288,293.题型三简单随机抽样与系统抽样的综合问题【典例3】某集团有员工1019人，其中获得过国家级表彰的有29人，其他人员990人该集团拟组织一次出国学习，参加人员确定为：获得过国家级表彰的人员5人，其他人员30人，如何确定人选？解获得过国家级表彰的人员选5人，适宜使用抽签法；其他人员选30人，适宜使用系统抽样法(1)确定获得过国家级表彰的人员人选：第一步，用随机方式给29人编号，号码为1,2，29；第二步，将这29个号码分别写在一个小纸条上，揉成小球，制成号签；第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，搅拌均匀；第四步，从袋子中逐个抽取5个号签，并记录上面的号码；第五步，从总体中将与抽到的号签的号码相一致的个体取出，人选就确定了(2)确定其他人员人选：第一步，将990名其他人员重新编号(分别为1,2，990)，并分成30段，每段33人；第二步，在第一段1,2，33这33个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如3)作为起始号码；第三步，将编号为3,36,69，960的个体抽出，人选就确定了(1)(2)确定的人选合在一起就是最终确定的人选系统抽样与简单随机抽样的区别和联系(1)区别系统抽样比简单随机抽样更容易实施，可节约抽样成本系统抽样所得样本的代表性与具体的编号有关，而简单随机抽样所得样本的代表性与个体的编号无关如果编号的个体特征随编号的变化呈一定的周期性，可能会使抽样的代表性很差系统抽样的应用比简单随机抽样的应用更广泛，尤其是工业生产线上产品质量的检验，不知道产品的数量，因此不能用简单随机抽样(2)联系将总体均分后的起始部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的与简单随机抽样一样是不放回的抽样总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽样的间隔；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可用简单随机抽样先从总体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被样本容量整除再进行系统抽样针对训练3下面给出某村委会调查本村各户收入情况做的抽样，阅读并回答问题本村人口数1200，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数30；抽样间隔：40；确定随机数字：取一张人民币，后两位数为12；确定第一样本户：编号12的户为第一样本户；确定第二样本户：124052,52号为第二样本户；(1)该村委会采用了何种抽样方法？(2)抽样过程存在哪些问题，试修改(3)何处是用简单随机抽样？解(1)系统抽样(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样抽样间隔10，其他步骤相应改为确定随机数字：取一张人民币，末位数为2.(假设)确定第一样本户：编号02的住户为第一样本户；确定第二样本户：21012,12号为第二样本户(3)确定随机数字：取一张人民币，其末位数为2.课堂归纳小结1本节课的重点是记住系统抽样的方法和步骤，难点是会用系统抽样从总体中抽取样本2本节课要理解并记住系统抽样的三个特征(1)总体已知且数量较大；(2)抽样必须等距；(3)每个个体入样的机会均等. 3本节课要掌握设计系统抽样的四个步骤编号分段确定初始分段抽取样本1为了了解某地参加计算机水平测试的5008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为()A24 B25C26 D28解析5008除以200的整数商为25，选B.答案B2下列抽样试验中，最适宜用系统抽样法的是()A某市的4个区共有2000名学生，4个区的学生人数之比为3282，从中抽取200人入样B从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样解析A项中总体有明显层次，不适宜用系统抽样法；B项中样本容量很小，适宜用随机数表法；D项中总体容量很小，适宜用抽签法故选C.答案C3某商场想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张如15号，然后按顺序往后将65号，115号，165号，发票上的销售金额组成一个调查样本这种抽取样本的方法是()A抽签法B随机数表法C系统抽样法D其他的抽样法解析上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组中抽出了15号，即各组抽1550n(n为自然数)号，符合系统抽样的特点答案C4为了了解参加某次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为()A2 B3 C4 D5解析因为125250252，所以应随机剔除2个个体答案A5为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为()A50 B40 C25 D20解析由25，可得分段的间隔为25.故选C.答案C系统抽样概念不清致误【典例】从2019名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面方法选取：先用简单随机抽样从2019人中剔除9人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2019人中，每个人入选的机会()A都相等，且为B不全相等C均不相等D都相等，且为错解选B或选C或选D.错解分析(1)本题若认为剔除9人后，入选的机会就不相等了，则易误选C.(2)本题易误认为入选的机会虽然相等，但是利用了剔除后的数据，误选D.正解因为在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，本题要先剔除19人，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的机会相等，所以每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是被选中，这两个过程是相互独立的，所以，每个人入选的机会都相等，且为.答案A在系统抽样过程中，为将整个的编号分段(即分成几个部分)，要确定分段的间隔，当在系统抽样过程中比值不是整数时，要从总体中删除一些个体(用简单随机抽样的方法)但是每一个个体入样的机会仍然是相等的，不会发生变化针对训练从样本容量为73的总体中抽取8个个体的样本，若采用系统抽样的方法抽样，则分段间隔k是_；每个个体被抽到的可能性为_解析采用系统抽样的方法，因为9.125，故分段间隔为k9，每个个体被抽到的可能性为.答案9课后作业(十一) (时间45分钟)学业水平合格练(时间25分钟)1中央电视台“动画城节目”为了对本周的热心小观众给予奖励，要从已确定编号的一万名小观众中抽出十名幸运小观众现采用系统抽样的方法抽取，每组容量为()A10 B100 C1000 D10000解析由系统抽样的特点知每组抽取一个，故每组容量为1000，选C.答案C2某校高一(1)班共有40人，学号依次为1,2,3，40，现用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，若学号为2,10,18,34的同学在样本中，则还有一个同学的学号应为()A27 B26 C25 D24解析根据系统抽样的定义可知，抽取样本的号码具备等距离性，1028，18826，即另外一个同学的学号为26，故选B.答案B3采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1,2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间1,450的人做问卷A，编号落入区间451,750的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为 ()A7 B9 C10 D15解析从960人中用系统抽样方法抽取32人，则抽样距为k30，因为第一组号码为9，则第二组号码为913039，第n组号码为9(n1)3030n21，由45130n21750，即15n25，所以n16,17，25，共有2516110(人)答案C4湖南卫视爸爸去哪儿节目组为热心观众给予奖励，要从2014名小观众中抽取50名幸运小观众先用简单随机抽样从2014人中剔除14人，剩下的2000人再按系统抽样方法抽取50人，则在2014人中，每个人被抽取的可能性()A均不相等B不全相等C都相等，且为D都相等，且为解析因为在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则应先剔除几个个体，本题先剔除14人，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的机会相等所以，每个个体被抽到的机会都相等，均为.答案C5某学校高一年级共有480名学生，为了调查高一学生的数学成绩，计划用系统抽样的方法抽取30名学生作为调查对象：将480名学生随机从1480编号，按编号顺序平均分成30组(116号，1732号，465480号)，若从第1组中用抽签法确定的号码为5，则第8组中被抽中学生的号码是()A25 B133 C117 D88解析由系统抽样样本编号的确定方法进行求解因为第1组抽出的号码为5，所以第8组应抽出的号码是(81)165117，故选C.答案C6人们打桥牌时，将洗好的扑克牌(52张)随机确定一张为起始牌，这时，开始按次序搬牌，对每一家来说，都是从52张总体中抽取一个13张的样本则这种抽样方法是_解析简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取而这里只是随机确定了起始张，这时其他各张虽然是逐张起牌的，其实各张在谁手里已被确定所以不是简单随机抽样，据其等距起牌的特点应将其定位为系统抽样答案系统抽样7某班有学生54人，现根据学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的编号是_解析因是系统抽样，54不能被4整除，需先剔除2人，再重新编号分组，最后按系统抽样的步骤抽取，所以抽出的某某号，是编号，并不是学号先按学号随机剔除2人，再重新给52人编号152，每组13人，因为第一组取到3号，292133,423133，所以还有一个同学的编号为113316.答案168将参加数学夏令营的100名学生编号为001,002，100.现采用系统抽样方法抽取一个容量为25的样本，且第一段中随机抽得的号码为004，则在046号至078号中，被抽中的人数为_解析将100名学生分成25组，每组4名，第n组抽中的号码为44(n1)4n，由题意得464n78，11.5n19.5，nN，n12,13,14,15,16,17,18,19，在046号至078号中，被抽中的人数为8.答案89用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1160分段，按分段顺序平均分成20组(18号，916号，153160号)，若第16组应抽出的号码为126，求第一组中用抽签方法确定的号码解S158126，得S6.10为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的成绩，拟从参加考试的15000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本请用系统抽样写出抽取过程解对全体学生的数学成绩进行分段：1,2,3，15000.分段：由于样本容量与总体容量的比是1100，所以我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分包含100个个体在第一部分即1号到100号用简单随机抽样，抽取一个号码，比如是56.(4)以56作为起始数，然后顺次抽取156,256,356，14956，这样就得到一个容量为150的样本应试能力等级练(时间20分钟)11将参加夏令营的600名学生分段为：001,002，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第营区，从301到495在第营区，从496到600在第营区，三个营区被抽中的人数依次为()A26,16,8 B25,17,8C25,16,9 D24,17,9解析由题意知间隔为k12，故抽到的号码为12k3(k0,1，49)，列出不等式可解得：第营区抽25人，第营区抽17人，第营区抽8人答案B12某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间481,720的人数为()A11 B12 C13 D14解析根据系统抽样的等可能性可知，每人入选的可能性都是，由题设可知区间481,720的人数为240，所以编号落入区间481,720的人数为24012.答案B13一个总体中有100个个体，随机分段为00,01,02，99，依分段顺序平均分成10个小组，组号分别为1,2,3，10.现抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与mk的个位数字相同若m6，则在第7组中抽取的号码是_解析由题意知第7组中的数为“6069”10个数由题意知m6，k7，故mk13，其个位数字为3，即第7组中抽取的号码的个位数是3，综上知第7组中抽取的号码为63.答案6314一个总体中的100个个体的编号分别为0,1,2,3，99，依次将其分成10个小段，段号分别为0,1,2，9.现要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0段随机抽取的号码为l，那么依次错位地取出后面各段的号码，即第k段中所抽取的号码的个位数为lk或lk10(lk10)，则当l6时，所抽取的10个号码依次是_解析在第0段随机抽取的号码为6，则由题意知，在第1段抽取的号码应是17，在第2段抽取的号码应是28，依次类推，故正确答案为6,17,28,39,40,51,62,73,84,95.答案6,17,28,39,40,51,62,73,84,9515一个总体中的1000个个体编号为0,1,2，999，并依编号顺序将其平均分成10个小组，组号为0,1,2，9.要抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x33k的后两位数(1)当x24时，写出所抽取样本的10个号码；(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的值解(1)由题意知每组有100个号码根据x24和题意，得2433157，第1组抽取的号码是157；由2433290，则在第2组抽取的号码是290，.故依次是24,157,290,323,456,589,622,755,888,921.(2)由x33087，得x87，由x33187，得x54，由x33287，得x21，由x333187，得x88，求得x的值可能为21,22,23,54,55,56,87,88,89,90.12
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