《微积分(一)》同步练习册

微积分同步练习册 班级 姓名 学号第二章 极限与连续 2.1 数列极限1. 写出下列数列的通项，考察时通项的变化趋势，用极限的形式表示其结果：（1） ； （2） 2. 求下列数列极限：（1）；（2）；（3）设， 求；（4）设，求；（5） 求；（6） 求；（7） 求.3. 设求4. 设，求5. 设，求2.2 函数极限 1. 由函数的图形考察极限2. 由函数的图形考察极限 3. 求下列函数极限：（1） （2）（3） （4） （5） （6）4. 设，讨论极限是否存在.5. 设，且极限存在，求实数的值.2.3 函数极限的性质及运算法则1、 利用夹逼定理求极限，其中表示的取整函数。2、 证明：（1）（2）3、 讨论极限的存在性。4、 证明：的充要条件是。5、 设证明：不存在，且不为无穷大。2.4 无穷大量和无穷小量1、 求下列极限： （1） （2）2、 求下列极限：（1） （2） （3） （4）3、已知存在，求。4、设求常数和。2.5 函数的连续性 1、 求下列极限：（1） （2）（3） （4）2、设，且在内处处连续，求常数的值。3、设，求的表达式，并求出它的间断点。2.6 闭区间上连续函数的性质1、 设函数在上连续，和分别是在上的最小值和最大值，若 求函数在上的最小值和最大值。2、 设函数在内连续，若存在使得 证明：在内至少存在一个零点。3、 设函数连续于，且没有零点，证明：在上保号。4、 证明：方程有一个根介于1和2之间，还有一个根介于2和3之间。第二章 自测题一、选择题(1) 下列数列中收敛的是（ ）(A) (B) (C) (D) (2) ( )(A) 不存在 (B) 等于0 (C) 等于1 (D) 等于2(3) 设，且，其中，则必有 ( )(A) (B) 可能(C) 当均在连续时，(D) 当均在连续时，可能 (4) 若则 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 下列命题中正确的是 ( )(A) 若在点处函数连续而不连续，则在处必不连续(B) 若在点处函数和均不连续，则在处必不连续(C) 若在点处函数不连续，则在处不连续(D) 若在点处函数连续，则在处连续(6) 下列各项正确的是 ( )(A) (B) (C) (D) (7) 当时，下列四个量中 ( ) 是比其他三个更高阶的无穷小量？(A) (B) , (C) (D) (8) 设函数则的间断点 ( )(A) 不存在, (B) 为 (C) 为 (D) 为(9) 对任意的，总有且则 ( )(A) 存在且等于 (B) 存在但不一定为(C) 一定不存在 (D) 不一定存在(10) 设定义于，且，则 ( )(A) 为的第一类间断点 (B) 为的第二类间断点(C) 为的连续点 (D) 在处的连续性与值无关(11) 当时，下列变量中与是等价无穷小量的是 ( )(A) (B) (C) (D) 二、解答题1、设函数和均在上连续，且试证：至少存在一点使得2、设函数在上连续，且证明：在上必有一点，使得. 3、设函数在上连续，且证明：一定存在使得 第三章 导数与微分3.1 导数概念1. 求下列曲线在指定点的切线方程与法线方程：(1) 在点 (2) 在点2. 根据导数定义，求下列函数在点处的导数：(1) (2) 3. 设函数，当与取何值时，函数在可导.4. 设存在，求下列极限：(1) (2) 5. 设函数在处可导，且，求：(1) (2) 6. 讨论函数在给定点处的连续性与可导性；若可导，求出 3.2 导数运算与导数公式1. 求下列函数的导数：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 2. 求下列函数的导数：(1) (2) (3) (4) 3.3 复合函数求导法则1. 利用复合函数求导法求下列函数的导数：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 2. 利用对数求导法求下列函数的导数：(1) (2) (3) (4) 3. 设函数可导，求解下列导数：(1) 求(2) 求 4. 求由下列方程确定的隐函数的导数：(1) 求(2) 求5. 求曲线在点处的切线方程. 3.4 微分及其计算1. 求下列函数的微分(1) (2) (3) (4) 2. 求由下列方程确定的隐函数的微分：(1) (2) 3. 求的近似值. 4. 求曲线在处的切线方程.5. 求下列参数方程的及：(1) (2) 3.5 高阶导数与高阶微分1. 求下列函数的二阶导数：(1) (2) (3) (4) 2. 已知，求.3. 求的阶导数. 3.6 导数与微分在经济学中的简单应用1. 设某产品的总成本函数和总收入函数分别为，其中为该产品的销量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.2. 设某产品的需求量方程和总成本函数分别为其中为销售量，为价格，求边际利润函数，并计算和时的边际利润.3. 求下列函数的弹性（其中、为常数）：(1) (2) 第三章 自测题一、选择题1. 假设函数在点处可导且，则 等于 ( )(A) (B) (C) (D) 2. 设函数在点点可导且，则当时，该函数在处的微分是 ( )(A) (B) (C) (D) 3. 函数在点点可导的充要条件是存在极限 ( )(A) 与等价的无穷小 (B) 与同阶的无穷小(C) 与低阶的无穷小 (D) 与高阶的无穷小4.函数在点处可导且，则 等于 ( )(A) (B) (C) (D) 5. 关于曲线，且在内，则在内 ( )(A) (B) (C) (D) 二、填空题1. 设为可导的偶函数，若，则_.2. 某商品的市场需求量(为价格)的需求价格弹性，则当价格上涨1%时，需求量下降约_ _.3. 若，则_ _, _ _. 4. 设，则_ _.5. 设，则_ _.6. 设可导，若在处的增量，且相应的函数增量的线性主部为，则_ _. 三、计算题1. 设，求. 2. 已知，求.3. 设，求. 4. 设，求，. 5. 设 ，求，. 6. 设，求. 7. 设，求. 8. 设是由方程确定的隐函数，求. 9. 已知是由方程所确定的隐函数，求. 10. 设是由函数方程所确定的隐函数，求该函数在处的导数.11. 已知是由方程所确定的隐函数，求曲线在处的切线方程. 12. 求在点处的切线方程. 13. 已知某曲线满足方程，求及曲线在点处的切线方程. 14. 求的近似值. 四、应用题1. 已知函数 在可导，求，并求. 2. 已知函数 在可导，求，并求. 3. 设函数(1) 为何值时，当时有极限; (2) 为何值时，在处连续; (3) 为何值时，在处可导. 第四章 中值定理与导数的应用 4.1 微分中值定理 1. 证明：方程（是常数）在区间内不可能有两个不同的实根. 2. 应用拉格朗日中值定理证明 . 3. 设可导，求证：在两零点之间一定有的零点.4. 证明：，. 4.2 泰勒公式 1. 求函数的Maclaurin展式.2. 求函数的Maclaurin展式.3. 用泰勒公式求下列极限： (1) (2) .4.3 洛必达法则 1求下列待定型的极限：（1）; （2）（3）其中; （4）（5）; （6）;（7）; （8）;（9）； （10）; （11） （12）.4.4 函数的单调性与凹凸性 1应用函数的单调性证明下列不等式：（1） （2）2确定下列函数的单调区间：（1）; （2）3. 确定下列函数的凹凸区间与拐点：（1）; （2）4证明在其定义域内有惟一的零点4.5 函数的极值与最大(小)值 1求下列函数的极值：（1）; （2）.2设在处都取的极值，试定出和的值；并问这时在和是取得极大值还是极小值. 3求下列函数在指定区间上的最大值与最小值：(1) (2)4. 点到抛物线最短距离. 4.6 函数作图 1. 求下列曲线的渐近线： (1) ；(2) ；(3) . 2. 作出下列函数的图形：(1)； (2) . 第四章 自测题 一、选择题 1. 下列函数中在-1,1上满足罗尔定理的是 . A B C D 2. 设偶函数在内有，则在内有 .A B C D3. 函数在点处取得极大值,则必有 . A B C且 D 或不存在4. 设偶函数具有连续的二阶导数,且,则 .A 不是的极值点 B 一定是的极值点 C 一定不是的极值点 D 是否为极值点不能确定5的垂直渐近线为 .A B C D 6. 恰有两个不同的零点，则等于 .A 2 B 4 C 6 D 8二、填空题 1. 函数在上的最大值为 .2. 方程在内有 个实根. 3. 曲线在内恒有，则在内单调递 (填增或减)；严格 (填上凸或下凸) .4. 曲线的竖直渐近线为 ，水平渐近线为 . 三、解答题1. 计算下列极限：（1） （2）；(3) (4) .2. 某种商品的需求量是单价的函数：，商品的总成本是需求量的函数：，每单位商品要纳税2元，求使销售利润最大时的商品单价. 3已知某商品的需求函数为，其中为价格，为商品数量，生产该商品的总成本函数为. 试求总利润最大时的产量. 4在曲线上求到点的距离最短的点，并求出最短距离. 5. 设在连续，在内可导，且。求证：至少存在一点，使得. 6. 证明：. 7. 证明：方程在内有且仅有一个实根. 8. 求函数的单调区间、凹凸区间、渐近线与拐点.第五章 不定积分 5.1 原函数与不定积分的概念 5.2 基本积分公式1. 已知一曲线经过点(1,2)，且在其上任一点（x,y）处的切线斜率等于4x，求曲线的方程. 2. 求下列不定积分：(1) 已知, 求不定积分；(2) 已知, 求不定积分；(3) 已知, 求不定积分. 3. 求下列不定积分：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) . 5.3 凑微分法和分部积分法1. 用凑微分方法求下列不定积分： (1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) ；(9) ； (10) . 2. 已知，求.3. 用分部积分法求下列不定积分：(1) ； (2) ；(3) ； (4) .4. 求下列有理函数的不定积分：(1) ； (2) .5. 求下列不定积分：(1) 已知是的一个原函数，求；(2) 已知是的一个原函数，求. 5.4 换元积分法1. 求下列不定积分： (1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) .2*. 求不定积分. 3*. 已知，求. 第五章 自测题 一、选择题 1设，则的结果是 A B C D 2= A B C D 3设，则 A B C D 4若，则下列等式中一定成立的是 A B C D 5下列等式中不成立的是 A B C D 6 A B C D 7设，且，则= A B C D 8在内，均可导，且，则 A B C （常数） D不能确定之间的关系二、填空题 1若，则 2设，则f (x)= 3已知的一个原函数为，则 4设，则 5不定积分 6设，则 三、解答题1计算下列不定积分： (1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ； (7) ； (8) 2*. 已知，求不定积分. 3*已知，求. 南京审计学院20082009学年第一学期微积分一试卷一、填空题（本题共4小题，每小题3分,满分12分）1. 设，则 2. 已知收益函数为，则边际收益为 3. 利用微分计算的近似值为 4. 若，则二、单项选择题（本题共5小题，每小题2分,满分10分）1. 当时, 是 (A) 无穷小量 (B) 无穷大量 (C) 有界变量 (D) 无界变量2. 下列结论中正确的是 有界数列必有极限； 无界数列必是无穷大量； 单调数列必有极限； 单调数列或有极限，或是无穷大量.3. 当时，是的 高阶无穷小 低阶无穷小 等价无穷小 同阶但非等价无穷小4. 设函数在连续，在有二阶导数，其导函数的图像如下图，则有 (A) 有两个极大值点和一个极小值点，有一个拐点(B) 有一个极大值点和两个极小值点，有一个拐点(C) 有两个极大值点和两个 极小值点，有一个拐点(D) 有一个极大值点和一个极小值点，有两个拐点5. 已知，则 三、计算极限（本题共2小题，每小题5分,满分10分） 四、（本题满分6分）求函数的间断点，并判别间断点的类型.五、（本题共2小题，每小题5分,满分10分） 1. 设是由方程确定的隐函数，求2. 求曲线在点处的切线方程. 六、求不定积分（本题共3小题，每小题5分,满分15分）（1） （2）（3）七、综合题（本题满分7分） 已知 在内可导，求及. 八、应用题（本题共2小题，每小题7分,满分14分）1. 在曲线上求到点的距离最短的点，并求出这个最短距离. 2. 某种商品的需求量是单价（单位：元）的函数：，商品的总成本是需求量的函数：，每单位商品要纳税元，求使销售利润最大的商品单价. 九、综合题（本题满分10分）给定函数(1) 求， (2) 将函数的定义域适当分成若干部分，填下表 (填区间或点) (填符号或“不存在”) (填符号或“不存在”) (填单调性或极值以及凹凸性或拐点) （3） 求曲线的渐近线. 十、证明题（本题满分6分）以下两题中选做一题1. 已知函数的导函数在闭区间上连续，证明存在常数，使得，有 . 2证明：当时，. 南京审计学院20092010学年第一学期微积分一试卷一、填空题（共10个空，每空2分,满分20分）1. 函数 的间断点为 ，此间断点为第 类间断点.2. 设，则 .3. 设为可导的偶函数，则 .4. 曲线的垂直渐近线是 ，斜渐近线是 . 5. 某商品的需求函数为，则总收益在价格处的弹性为 .6. 函数在上满足罗尔中值定理的全部条件，且是其满足罗尔中值定理的中值，则 ， .7当 时，. 二、单项选择题（共5题，每题2分,满分10分）1.下列等式正确的是（ ） 2. 数列，当时，是（ ） 无穷大量 无穷小量 有界变量，但非无穷小量 无界变量，但非无穷大量 3.设可导，且，则（ ） 4. 函数在点处取得极小值，则（ ） 且 或不存在 5. 设存在，则（ ） 三、计算题（共8题，每题4分，满分32分）1. 已知，求常数和. 2. . 3. 设，求. 4. 求方程 所确定的隐函数的导数.5. . 6. . 7. . 8. . 四、（12分）设函数，确定函数的单调区间、极值点和极值、凹凸区间和拐点. 五、（满分10分）设函数，（1）为何值时，当时有极限； （2）为何值时，在处连续； （3）为何值时，在处可导.六、证明题（满分5分）证明：当时，有.七、 应用题（共2题，满分11分）1（5分）某公司的销售收入（单位：千元）是广告费用支出（单位：千元）的函数，设.（1）公司希望的符号是正还是负?（2）的经济意义是什么?（3）假设公司计划花费100千元作为广告费用，如果，那么公司该花费略多于还是略少于100千元的广告费? 为什么?2（6分）某厂生产某种商品的总成本函数为，该商品的需求函数为（其中为价格，为产量），这种商品在市场上是畅销的. 求出使该商品总利润最大的价格，并求出最大利润. 南京审计学院20102011学年第一学期微积分一试卷一、单项选择题（本题共5小题，每小题2分,满分10分）1. 拉格朗日中值定理中的条件：在上连续，在内可导是在内至少存在一点，使得的 (A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D) 非充分非必要条件 2. 数列是 (A) 无穷大量 (B) 无穷小量 (C) 有界变量 (D) 无界变量3. 设，则下列结论正确的是 当时，是比高阶的无穷小量； 当时，是比高阶的无穷小量； 当时，与是同阶但不是等价的无穷小量； (D) 当时，与是等价的无穷小量.4. 若在点可导，则在点处 必可导 连续但不一定可导 一定不可导 (D) 不连续5. 以下结论正确的是 若，在点不都连续，则在必不连续； 若与在点均不连续，则在必不连续； 若，在点不都连续，则在必不连续； (D) 若与在点均不连续，则在必不连续.二、填空题（本题共5小题，每小题2分,满分10分）1. 当时，要使与是等价无穷小量，则应等于 2. 设，则 3. 已知，则 4. 已知某商品的利润函数为，其中为销售量，则边际利润为 5. 设，其中连续，则在 三、计算题（本题共3小题，每小题6分，满分18分）1. 计算极限 2. 计算极限 3. 求函数的间断点，并指出间断点的类型. 四、计算题（本题共2小题，每小题7分,满分14分） 1. 确定的值，使函数 在可导，并求导函数.2. 设，求以及二阶导数. 五、计算题（本题共2小题，每小题7分,满分14分）1. 求曲线在点处的切线方程和法线方程. 2. 求曲线的渐近线.六、应用题（本题共2小题，满分14分）1.（本题满分8分）某农场需雇佣西红柿采摘工收获1000公斤西红柿，每一采摘工每小时能摘10公斤西红柿，并且给每人每小时要付6元工钱。另外，农场还聘了监工，每小时付监工10元，为每个雇佣的采摘工付给劳务介绍所10元。这个农场应雇佣多少个采摘工才能使收获这些西红柿的费用最少？最小花费是多少？2.（本题满分6分）某公司每年为其全体员工支付的保险费（单位：元）与公司员工人数之间的关系为，已知，利用微分近似计算当公司员工人数由224人增加到227人时所增加的保险费. 七、综合题（本题满分10分） 给定函数(1) 求，(2) 将函数的定义域适当分成若干部分，填下表 (填区间或点) (填符号或“不存在”) (填符号或“不存在”) (填单调性或极值以及凹凸性或拐点) 八、证明题（本题共2小题，每小题5分,满分10分）1证明方程 至少有一个不超过的正数解. 2设函数在上连续，在内二阶可导，且对一切均有.利用中值定理证明：在内，恒有. 62