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微积分同步练习册 班级 姓名 学号第二章 极限与连续 2.1 数列极限1. 写出下列数列的通项,考察时通项的变化趋势,用极限的形式表示其结果:(1) ; (2) 2. 求下列数列极限:(1);(2);(3)设, 求;(4)设,求;(5) 求;(6) 求;(7) 求.3. 设求4. 设,求5. 设,求2.2 函数极限 1. 由函数的图形考察极限2. 由函数的图形考察极限 3. 求下列函数极限:(1) (2)(3) (4) (5) (6)4. 设,讨论极限是否存在.5. 设,且极限存在,求实数的值.2.3 函数极限的性质及运算法则1、 利用夹逼定理求极限,其中表示的取整函数。2、 证明:(1)(2)3、 讨论极限的存在性。4、 证明:的充要条件是。5、 设证明:不存在,且不为无穷大。2.4 无穷大量和无穷小量1、 求下列极限: (1) (2)2、 求下列极限:(1) (2) (3) (4)3、已知存在,求。4、设求常数和。2.5 函数的连续性 1、 求下列极限:(1) (2)(3) (4)2、设,且在内处处连续,求常数的值。3、设,求的表达式,并求出它的间断点。2.6 闭区间上连续函数的性质1、 设函数在上连续,和分别是在上的最小值和最大值,若 求函数在上的最小值和最大值。2、 设函数在内连续,若存在使得 证明:在内至少存在一个零点。3、 设函数连续于,且没有零点,证明:在上保号。4、 证明:方程有一个根介于1和2之间,还有一个根介于2和3之间。第二章 自测题一、选择题(1) 下列数列中收敛的是( )(A) (B) (C) (D) (2) ( )(A) 不存在 (B) 等于0 (C) 等于1 (D) 等于2(3) 设,且,其中,则必有 ( )(A) (B) 可能(C) 当均在连续时,(D) 当均在连续时,可能 (4) 若则 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 下列命题中正确的是 ( )(A) 若在点处函数连续而不连续,则在处必不连续(B) 若在点处函数和均不连续,则在处必不连续(C) 若在点处函数不连续,则在处不连续(D) 若在点处函数连续,则在处连续(6) 下列各项正确的是 ( )(A) (B) (C) (D) (7) 当时,下列四个量中 ( ) 是比其他三个更高阶的无穷小量?(A) (B) , (C) (D) (8) 设函数则的间断点 ( )(A) 不存在, (B) 为 (C) 为 (D) 为(9) 对任意的,总有且则 ( )(A) 存在且等于 (B) 存在但不一定为(C) 一定不存在 (D) 不一定存在(10) 设定义于,且,则 ( )(A) 为的第一类间断点 (B) 为的第二类间断点(C) 为的连续点 (D) 在处的连续性与值无关(11) 当时,下列变量中与是等价无穷小量的是 ( )(A) (B) (C) (D) 二、解答题1、设函数和均在上连续,且试证:至少存在一点使得2、设函数在上连续,且证明:在上必有一点,使得. 3、设函数在上连续,且证明:一定存在使得 第三章 导数与微分3.1 导数概念1. 求下列曲线在指定点的切线方程与法线方程:(1) 在点 (2) 在点2. 根据导数定义,求下列函数在点处的导数:(1) (2) 3. 设函数,当与取何值时,函数在可导.4. 设存在,求下列极限:(1) (2) 5. 设函数在处可导,且,求:(1) (2) 6. 讨论函数在给定点处的连续性与可导性;若可导,求出 3.2 导数运算与导数公式1. 求下列函数的导数:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 2. 求下列函数的导数:(1) (2) (3) (4) 3.3 复合函数求导法则1. 利用复合函数求导法求下列函数的导数:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 2. 利用对数求导法求下列函数的导数:(1) (2) (3) (4) 3. 设函数可导,求解下列导数:(1) 求(2) 求 4. 求由下列方程确定的隐函数的导数:(1) 求(2) 求5. 求曲线在点处的切线方程. 3.4 微分及其计算1. 求下列函数的微分(1) (2) (3) (4) 2. 求由下列方程确定的隐函数的微分:(1) (2) 3. 求的近似值. 4. 求曲线在处的切线方程.5. 求下列参数方程的及:(1) (2) 3.5 高阶导数与高阶微分1. 求下列函数的二阶导数:(1) (2) (3) (4) 2. 已知,求.3. 求的阶导数. 3.6 导数与微分在经济学中的简单应用1. 设某产品的总成本函数和总收入函数分别为,其中为该产品的销量,求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.2. 设某产品的需求量方程和总成本函数分别为其中为销售量,为价格,求边际利润函数,并计算和时的边际利润.3. 求下列函数的弹性(其中、为常数):(1) (2) 第三章 自测题一、选择题1. 假设函数在点处可导且,则 等于 ( )(A) (B) (C) (D) 2. 设函数在点点可导且,则当时,该函数在处的微分是 ( )(A) (B) (C) (D) 3. 函数在点点可导的充要条件是存在极限 ( )(A) 与等价的无穷小 (B) 与同阶的无穷小(C) 与低阶的无穷小 (D) 与高阶的无穷小4.函数在点处可导且,则 等于 ( )(A) (B) (C) (D) 5. 关于曲线,且在内,则在内 ( )(A) (B) (C) (D) 二、填空题1. 设为可导的偶函数,若,则_.2. 某商品的市场需求量(为价格)的需求价格弹性,则当价格上涨1%时,需求量下降约_ _.3. 若,则_ _, _ _. 4. 设,则_ _.5. 设,则_ _.6. 设可导,若在处的增量,且相应的函数增量的线性主部为,则_ _. 三、计算题1. 设,求. 2. 已知,求.3. 设,求. 4. 设,求,. 5. 设 ,求,. 6. 设,求. 7. 设,求. 8. 设是由方程确定的隐函数,求. 9. 已知是由方程所确定的隐函数,求. 10. 设是由函数方程所确定的隐函数,求该函数在处的导数.11. 已知是由方程所确定的隐函数,求曲线在处的切线方程. 12. 求在点处的切线方程. 13. 已知某曲线满足方程,求及曲线在点处的切线方程. 14. 求的近似值. 四、应用题1. 已知函数 在可导,求,并求. 2. 已知函数 在可导,求,并求. 3. 设函数(1) 为何值时,当时有极限; (2) 为何值时,在处连续; (3) 为何值时,在处可导. 第四章 中值定理与导数的应用 4.1 微分中值定理 1. 证明:方程(是常数)在区间内不可能有两个不同的实根. 2. 应用拉格朗日中值定理证明 . 3. 设可导,求证:在两零点之间一定有的零点.4. 证明:,. 4.2 泰勒公式 1. 求函数的Maclaurin展式.2. 求函数的Maclaurin展式.3. 用泰勒公式求下列极限: (1) (2) .4.3 洛必达法则 1求下列待定型的极限:(1); (2)(3)其中; (4)(5); (6);(7); (8);(9); (10); (11) (12).4.4 函数的单调性与凹凸性 1应用函数的单调性证明下列不等式:(1) (2)2确定下列函数的单调区间:(1); (2)3. 确定下列函数的凹凸区间与拐点:(1); (2)4证明在其定义域内有惟一的零点4.5 函数的极值与最大(小)值 1求下列函数的极值:(1); (2).2设在处都取的极值,试定出和的值;并问这时在和是取得极大值还是极小值. 3求下列函数在指定区间上的最大值与最小值:(1) (2)4. 点到抛物线最短距离. 4.6 函数作图 1. 求下列曲线的渐近线: (1) ;(2) ;(3) . 2. 作出下列函数的图形:(1); (2) . 第四章 自测题 一、选择题 1. 下列函数中在-1,1上满足罗尔定理的是 . A B C D 2. 设偶函数在内有,则在内有 .A B C D3. 函数在点处取得极大值,则必有 . A B C且 D 或不存在4. 设偶函数具有连续的二阶导数,且,则 .A 不是的极值点 B 一定是的极值点 C 一定不是的极值点 D 是否为极值点不能确定5的垂直渐近线为 .A B C D 6. 恰有两个不同的零点,则等于 .A 2 B 4 C 6 D 8二、填空题 1. 函数在上的最大值为 .2. 方程在内有 个实根. 3. 曲线在内恒有,则在内单调递 (填增或减);严格 (填上凸或下凸) .4. 曲线的竖直渐近线为 ,水平渐近线为 . 三、解答题1. 计算下列极限:(1) (2);(3) (4) .2. 某种商品的需求量是单价的函数:,商品的总成本是需求量的函数:,每单位商品要纳税2元,求使销售利润最大时的商品单价. 3已知某商品的需求函数为,其中为价格,为商品数量,生产该商品的总成本函数为. 试求总利润最大时的产量. 4在曲线上求到点的距离最短的点,并求出最短距离. 5. 设在连续,在内可导,且。求证:至少存在一点,使得. 6. 证明:. 7. 证明:方程在内有且仅有一个实根. 8. 求函数的单调区间、凹凸区间、渐近线与拐点.第五章 不定积分 5.1 原函数与不定积分的概念 5.2 基本积分公式1. 已知一曲线经过点(1,2),且在其上任一点(x,y)处的切线斜率等于4x,求曲线的方程. 2. 求下列不定积分:(1) 已知, 求不定积分;(2) 已知, 求不定积分;(3) 已知, 求不定积分. 3. 求下列不定积分:(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) ;(7) ; (8) . 5.3 凑微分法和分部积分法1. 用凑微分方法求下列不定积分: (1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) ;(7) ; (8) ;(9) ; (10) . 2. 已知,求.3. 用分部积分法求下列不定积分:(1) ; (2) ;(3) ; (4) .4. 求下列有理函数的不定积分:(1) ; (2) .5. 求下列不定积分:(1) 已知是的一个原函数,求;(2) 已知是的一个原函数,求. 5.4 换元积分法1. 求下列不定积分: (1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) ;(7) ; (8) .2*. 求不定积分. 3*. 已知,求. 第五章 自测题 一、选择题 1设,则的结果是 A B C D 2= A B C D 3设,则 A B C D 4若,则下列等式中一定成立的是 A B C D 5下列等式中不成立的是 A B C D 6 A B C D 7设,且,则= A B C D 8在内,均可导,且,则 A B C (常数) D不能确定之间的关系二、填空题 1若,则 2设,则f (x)= 3已知的一个原函数为,则 4设,则 5不定积分 6设,则 三、解答题1计算下列不定积分: (1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) ; (7) ; (8) 2*. 已知,求不定积分. 3*已知,求. 南京审计学院20082009学年第一学期微积分一试卷一、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分)1. 设,则 2. 已知收益函数为,则边际收益为 3. 利用微分计算的近似值为 4. 若,则二、单项选择题(本题共5小题,每小题2分,满分10分)1. 当时, 是 (A) 无穷小量 (B) 无穷大量 (C) 有界变量 (D) 无界变量2. 下列结论中正确的是 有界数列必有极限; 无界数列必是无穷大量; 单调数列必有极限; 单调数列或有极限,或是无穷大量.3. 当时,是的 高阶无穷小 低阶无穷小 等价无穷小 同阶但非等价无穷小4. 设函数在连续,在有二阶导数,其导函数的图像如下图,则有 (A) 有两个极大值点和一个极小值点,有一个拐点(B) 有一个极大值点和两个极小值点,有一个拐点(C) 有两个极大值点和两个 极小值点,有一个拐点(D) 有一个极大值点和一个极小值点,有两个拐点5. 已知,则 三、计算极限(本题共2小题,每小题5分,满分10分) 四、(本题满分6分)求函数的间断点,并判别间断点的类型.五、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) 1. 设是由方程确定的隐函数,求2. 求曲线在点处的切线方程. 六、求不定积分(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1) (2)(3)七、综合题(本题满分7分) 已知 在内可导,求及. 八、应用题(本题共2小题,每小题7分,满分14分)1. 在曲线上求到点的距离最短的点,并求出这个最短距离. 2. 某种商品的需求量是单价(单位:元)的函数:,商品的总成本是需求量的函数:,每单位商品要纳税元,求使销售利润最大的商品单价. 九、综合题(本题满分10分)给定函数(1) 求, (2) 将函数的定义域适当分成若干部分,填下表 (填区间或点) (填符号或“不存在”) (填符号或“不存在”) (填单调性或极值以及凹凸性或拐点) (3) 求曲线的渐近线. 十、证明题(本题满分6分)以下两题中选做一题1. 已知函数的导函数在闭区间上连续,证明存在常数,使得,有 . 2证明:当时,. 南京审计学院20092010学年第一学期微积分一试卷一、填空题(共10个空,每空2分,满分20分)1. 函数 的间断点为 ,此间断点为第 类间断点.2. 设,则 .3. 设为可导的偶函数,则 .4. 曲线的垂直渐近线是 ,斜渐近线是 . 5. 某商品的需求函数为,则总收益在价格处的弹性为 .6. 函数在上满足罗尔中值定理的全部条件,且是其满足罗尔中值定理的中值,则 , .7当 时,. 二、单项选择题(共5题,每题2分,满分10分)1.下列等式正确的是( ) 2. 数列,当时,是( ) 无穷大量 无穷小量 有界变量,但非无穷小量 无界变量,但非无穷大量 3.设可导,且,则( ) 4. 函数在点处取得极小值,则( ) 且 或不存在 5. 设存在,则( ) 三、计算题(共8题,每题4分,满分32分)1. 已知,求常数和. 2. . 3. 设,求. 4. 求方程 所确定的隐函数的导数.5. . 6. . 7. . 8. . 四、(12分)设函数,确定函数的单调区间、极值点和极值、凹凸区间和拐点. 五、(满分10分)设函数,(1)为何值时,当时有极限; (2)为何值时,在处连续; (3)为何值时,在处可导.六、证明题(满分5分)证明:当时,有.七、 应用题(共2题,满分11分)1(5分)某公司的销售收入(单位:千元)是广告费用支出(单位:千元)的函数,设.(1)公司希望的符号是正还是负?(2)的经济意义是什么?(3)假设公司计划花费100千元作为广告费用,如果,那么公司该花费略多于还是略少于100千元的广告费? 为什么?2(6分)某厂生产某种商品的总成本函数为,该商品的需求函数为(其中为价格,为产量),这种商品在市场上是畅销的. 求出使该商品总利润最大的价格,并求出最大利润. 南京审计学院20102011学年第一学期微积分一试卷一、单项选择题(本题共5小题,每小题2分,满分10分)1. 拉格朗日中值定理中的条件:在上连续,在内可导是在内至少存在一点,使得的 (A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D) 非充分非必要条件 2. 数列是 (A) 无穷大量 (B) 无穷小量 (C) 有界变量 (D) 无界变量3. 设,则下列结论正确的是 当时,是比高阶的无穷小量; 当时,是比高阶的无穷小量; 当时,与是同阶但不是等价的无穷小量; (D) 当时,与是等价的无穷小量.4. 若在点可导,则在点处 必可导 连续但不一定可导 一定不可导 (D) 不连续5. 以下结论正确的是 若,在点不都连续,则在必不连续; 若与在点均不连续,则在必不连续; 若,在点不都连续,则在必不连续; (D) 若与在点均不连续,则在必不连续.二、填空题(本题共5小题,每小题2分,满分10分)1. 当时,要使与是等价无穷小量,则应等于 2. 设,则 3. 已知,则 4. 已知某商品的利润函数为,其中为销售量,则边际利润为 5. 设,其中连续,则在 三、计算题(本题共3小题,每小题6分,满分18分)1. 计算极限 2. 计算极限 3. 求函数的间断点,并指出间断点的类型. 四、计算题(本题共2小题,每小题7分,满分14分) 1. 确定的值,使函数 在可导,并求导函数.2. 设,求以及二阶导数. 五、计算题(本题共2小题,每小题7分,满分14分)1. 求曲线在点处的切线方程和法线方程. 2. 求曲线的渐近线.六、应用题(本题共2小题,满分14分)1.(本题满分8分)某农场需雇佣西红柿采摘工收获1000公斤西红柿,每一采摘工每小时能摘10公斤西红柿,并且给每人每小时要付6元工钱。另外,农场还聘了监工,每小时付监工10元,为每个雇佣的采摘工付给劳务介绍所10元。这个农场应雇佣多少个采摘工才能使收获这些西红柿的费用最少?最小花费是多少?2.(本题满分6分)某公司每年为其全体员工支付的保险费(单位:元)与公司员工人数之间的关系为,已知,利用微分近似计算当公司员工人数由224人增加到227人时所增加的保险费. 七、综合题(本题满分10分) 给定函数(1) 求,(2) 将函数的定义域适当分成若干部分,填下表 (填区间或点) (填符号或“不存在”) (填符号或“不存在”) (填单调性或极值以及凹凸性或拐点) 八、证明题(本题共2小题,每小题5分,满分10分)1证明方程 至少有一个不超过的正数解. 2设函数在上连续,在内二阶可导,且对一切均有.利用中值定理证明:在内,恒有. 62
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