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15平面直角坐标系中的距离公式1两点间的距离公式一般地，若两点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有|AB|.2点到直线的距离公式点P(x0，y0)到直线AxByC0的距离d.1在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有什么要求？答案直线方程应化为一般式2如何求两条平行直线间的距离？答案转化为一条直线上的一个点到另一条直线的距离两条平行线l1：AxByC10与l2：AxByC20之间的距离d.题型一两点间距离公式的应用【典例1】已知ABC三顶点坐标A(3,1)、B(3，3)、C(1,7)，试判断ABC的形状思路导引先求出三边长度，再判断形状解解法一：|AB|2，|AC|2，又|BC|2，|AB|2|AC|2|BC|2，且|AB|AC|，ABC是等腰直角三角形解法二：kAC，kAB，则kACkAB1，ACAB.又|AC|2，|AB|2，|AC|AB|.ABC是等腰直角三角形(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考查是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考查边是否相等或是否满足勾股定理针对训练1已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标解设点P的坐标为(x,0)，由|PA|10，得10，解得：x11或x5.所以点P的坐标为(5,0)或(11,0).题型二点到直线的距离【典例2】求点P(3，2)到下列直线的距离：(1)yx；(2)y6；(3)x4. 思路导引利用点到直线距离公式时，注意把直线化为一般式，对于特殊的直线，数列结合，求距离即可解(1)直线yx化为一般式为3x4y10，由点到直线的距离公式可得d.(2)因为直线y6与y轴垂直，所以点P到它的距离d|26|8.(3)因为直线x4与x轴垂直，所以点P到它的距离d|34|1.应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用(3)直线方程AxByC0中，A0或B0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解 针对训练2(1)点P0(1,2)到直线2xy100的距离为()A.B2C.D2(2)已知点M(1,4)到直线l：mxy10的距离等于1，则实数m等于()A.BCD.解析(1)依题意，d2.选B.(2)依题意，d1，解得m，选C.答案(1)B(2)C题型三两条平行直线间的距离【典例3】已知直线l1：3x2y10和l2：3x2y130，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1d221，求直线l的方程. 思路导引由题设知l1l2，故ll1l2，设出l的方程，利用距离公式表示出d1，d2，进而求出直线方程解由直线l1，l2的方程知l1l2.又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d10或d20，不符合题意)设直线l：3x2ym0(m1且m13)，由两平行线间的距离公式，得d1，d2，又d1d221，所以|m1|2|m13|，解得m25或m9.故所求直线l的方程为3x2y250或3x2y90.求两平行直线间距离的两种思路(1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离(2)直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：ykxb1，l2：ykxb2，且b1b2时，d；当直线l1：AxByC10，l2：AxByC20且C1C2时，d，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等针对训练3直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1l2，且l1与l2间的距离为5，求l1，l2的方程解若直线l1，l2的斜率存在，设直线l1与l2的斜率为k，由斜截式得l1的方程为ykx1，即kxy10，由点斜式可得l2的方程为yk(x5)，即kxy5k0.在直线l1上取点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d5，25k210k125k225，k.l1的方程为12x5y50，l2的方程为12x5y600.若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x0，l2的方程为x5，它们之间的距离为5，满足条件则满足条件的直线方程有以下两组：l1：12x5y50，l2：12x5y600；l1：x0，l2：x5.题型四距离公式的综合应用【典例4】求过点M(1,2)，且与点A(2,3)，B(4,5)距离相等的直线l的方程思路导引过点M(1,2)的直线可以优先考虑点斜式，利用点A(2,3)，B(4,5)到直线的距离相等确定斜率，注意斜率不存在的情况，或者考虑数形结合，过A(2,3)，B(4,5)的中点或与过A(2,3)，B(4,5)两点直线平行解解法一：当过点M(1,2)的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，恰好与A(2,3)，B(4,5)两点距离相等，故x1满足题意，当过点M(1,2)的直线l的斜率存在时，设l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由点A(2,3)与B(4,5)到直线l的距离相等，得，解得k，此时l的方程为y2(x1)，即x3y50.综上所述直线l的方程为x1或x3y50.解法二：由题意得lAB或l过AB的中点，当lAB时，设直线AB的斜率为kAB，直线l的斜率为kl，则kABkl，此时直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB的中点(1,4)时，直线l的方程为x1.综上所述，直线l的方程为x1或x3y50.利用点斜式求直线方程时，注意直线的斜率是否存在，利用数形结合解决问题时，一定把各种情况考虑全面针对训练4(1)若点(4，a)到直线4x3y0的距离不大于3，则a的取值范围是_(2)已知直线l过点P(3,4)且与点A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为_解析(1)由题意知3，解得a，故a的取值范围为.(2)过点P(3,4)且斜率不存在时的直线x3与A、B两点的距离不相等，故可设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0，由已知得，k2或k，所求直线l的方程为2x3y180或2xy20.答案(1)(2)2xy20或2x3y1801两直线3x4y20与6x8y50的距离等于 ()A3B7 C.D.解析在3x4y20上取一点，其到6x8y50的距离即为两平行线间的距离，d.答案C2已知点(a,1)到直线xy10的距离为1，则a的值为()A1B1 C.D解析由题意知1，即|a|，a.答案D3已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2xy10上，则|MP|的最小值是()A. B. C.D3解析点M到直线2xy10的距离，即为|MP|的最小值，所以|MP|的最小值为.答案B4已知点A(2，1)，B(a,3)，且|AB|5，则a的值为_解析由题意得5，解得a1或a5.答案1或5与对称有关的最值问题在直线l上找一点P到直线异侧两定点A、B的距离之和最小，则点P必在直线AB上，所以要将l同侧的点利用对称转化为异侧的点在直线l上找一点P到直线同侧两点A、B的距离之差最大，则点P必在线段AB(或BA)的延长线上，所以要将l异侧的点利用对称转化为同侧的点【示例】已知直线l：x2y80和两点A(2,0)，B(2，4)(1)在直线l上求一点P，使|PA|PB|最小；(2)在直线l上求一点P，使|PB|PA|最大思路分析数列结合，利用两边之差小于第三边，两边之和大于第三边求解解(1)设A关于直线l的对称点为A(m，n)，则解得故A(2,8)因为P为直线l上的一点，则|PA|PB|PA|PB|AB|，当且仅当B，P，A三点共线时，|PA|PB|取得最小值为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，解得故所求的点P的坐标为(2,3)(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则|PB|PA|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，|PB|PA|取得最大值为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为yx2，解得故所求的点P的坐标为(12,10)题后反思(1)中心对称两点关于点对称：设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点为P2(2ax1,2by1)，即P为线段P1P2的中点两直线关于点对称：设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另外一条直线上，必有l1l2，且P到l1、l2的距离相等(2)轴对称两点关于直线对称：设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上针对训练某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在直线方程为l：x2y100，若在河边l上建一座供水站P使之到A，B两镇的管道最省，问供水站P应建在什么地方？此时|PA|PB|为多少？解如图所示，过A作直线l的对称点A，连接AB交l于P，因为若P(异于P)在直线l上，则|AP|BP|AP|BP|AB|.因此，供水站只能在点P处，才能取得最小值设A(a，b)，则AA的中点在l上，且AAl，即解得即A(3,6)所以直线AB的方程为6xy240，解方程组得所以P点的坐标为.故供水站应建在点P处，此时|PA|PB|AB|.课后作业(二十二) (时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1两条平行线l1：3x4y20，l2：9x12y100间的距离等于()A. B. C. D.解析l1的方程可化为9x12y60，由平行线间的距离公式得d.答案C2到直线2xy10的距离等于的直线方程为()A2xy0B2xy20C2xy0或2xy20D2xy0或2xy20解析根据题意可设所求直线方程为2xyc0，因为两直线间的距离等于，所以d，解得c0或c2，故所求直线方程为2xy0或2xy20.答案D3点P(2,3)到直线：ax(a1)y30的距离d为最大时，d与a的值依次为()A3，3B5,2 C5,1D7,1解析直线恒过点A(3,3)，根据已知条件可知当直线ax(a1)y30与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a1.故选C.答案C4已知ABC的三个顶点坐标分别为A(2,6)、B(4,3)、C(2，3)，则点A到BC边的距离为 ()A.B.C.D4解析BC边所在直线的方程为，即xy10；则d.答案B5已知点A(3，4)，B(6,3)到直线l：axy10的距离相等，则实数a的值等于()A.BC或D或解析由点到直线的距离公式可得，化简得|3a3|6a4|，解得实数a或.故选C.答案C6过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线yxm平行，则|AB|_.解析因为kABba1，所以|AB|.答案7倾斜角为60，且与原点的距离是5的直线方程为_解析因为直线斜率为tan60，可设直线方程为yxb，化为一般式得xyb0.由直线与原点距离为5，得5|b|10.所以b10.所以直线方程为xy100或xy100.答案xy100或xy1008已知直线l1：(k3)x(4k)y10与直线l2：2(k3)x2y30平行，则l1与l2间的距离为_解析l1l2，解得k3或k5.当k3时，l1：y1，l2：y，此时l1与l2间的距离为；当k5时，l1：2xy10，l2：4x2y30，此时l1与l2间的距离为.答案或9直线l过原点，且点(2,1)到l的距离为1，求l的方程解由题意可知，直线l的斜率一定存在又直线l过原点，设其方程为ykx，即kxy0.由点(2,1)到l的距离为1，得1.解得k0或k.直线l的方程为y0或4x3y0.10.如图，已知直线l1：xy10，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2、l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程解设l2的方程为yxb(b1)，则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)，|AD|，|BC|b.梯形的高h就是A点到直线l2的距离，故h(b1)，由梯形面积公式得4，b29，b3.但b1，b3.从而得到直线l2的方程是xy30.应试能力等级练(时间25分钟)11两平行线分别经过点A(5,0)，B(0,12)，它们之间的距离d满足的条件是()A0d5B0d13C0d12D5d12解析当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大，为|AB|13，所以0d13.答案B12若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：xy70和l2：xy50上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为()A3B2 C.D4解析由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为xyc0，则，即c6，点M在直线xy60上，点M到原点的距离的最小值就是原点到直线xy60的距离，即3.答案A13已知x，yR，S，则S的最小值是_解析S可以看作是点(x，y)到点(1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合易知最小值为2.答案214已知点A(1,1)、B(2,2)，点P在直线yx上，则当|PA|2|PB|2取得最小值时点P的坐标为_解析设P(2t，t)，则|PA|2|PB|2(2t1)2(t1)2(2t2)2(t2)210t218t1010102，当t时，|PA|2|PB2|取得最小值，即P.答案15已知直线l经过点A(2,4)，且被平行直线l1：xy10与l2：xy10所截得的线段的中点M在直线xy30上求直线l的方程解解法一：点M在直线xy30上，设点M坐标为(t,3t)，则点M到l1、l2的距离相等，即，解得t，M.又l过点A(2,4)，由两点式得，即5xy60，故直线l的方程为5xy60.解法二：设与l1、l2平行且距离相等的直线l3：xyc0，由两平行直线间的距离公式得，解得c0，即l3：xy0.由题意得中点M在l3上，又点M在xy30上解方程组得M.又l过点A(2,4)，故由两点式得直线l的方程为5xy60.解法三：由题意知直线l的斜率必存在，设l：y4k(x2)，由得直线l与l1、l2的交点分别为，.M为中点，M.又点M在直线xy30上，30，解得k5.故所求直线l的方程为y45(x2)，即5xy60.15
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