曹显兵.概率论讲义(打印版)

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date曹显兵.概率论讲义(打印版)曹显兵.概率论讲义(打印版)第一讲 随机事件与概率考试要求1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算.2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式.3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法.一、古典概型与几何概型1试验，样本空间与事件.2古典概型：设样本空间为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则 3几何概型：设为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则【例1】 一个盒中有4个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取3个球, 试求取出的球中有2个黄球, 1 个白球的概率. （1） 一次取3个；（2） 一次取1 个, 取后不放回；（3） 一次取1个, 取后放回.【例2 】从 （0，1） 中随机地取两个数，试求下列概率：（1） 两数之和小于1.2；（2） 两数之和小于1且其积小于.一、 事件的关系与概率的性质1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有： （1） A与B互斥（互不相容） （2） A与B 互逆（对立事件） ,（3） A与B相互独立 P（AB）=P（A）P（B）. P（B|A）=P（B） （P（A）0）. （0P（A）1）.P（B|A） =P（B|） （ 0 P（A） 1 ） 注: 若（0P（B）0） （0P（B）1）. P（A|B）=P（A|） （0P（B）1） P（|B）=P（|） （0P（B）0）【例3】 已知（A）（）C, 且P（ C ）, 试求P（B ）.【例4】 设两两相互独立的三事件A, B, C满足条件: ABC, P（A）P（B）P（C）,且已知, 则P（A） .【例5】 设三个事件A、B、C满足P（AB）P（ABC）, 且0P（C）1, 则 【 】（A）P（AB|C）P（A|C）+ P（B|C）. （B）P（AB|C）P（AB）.（C）P（AB|）P（A|）+ P（B|）. （D）P（AB|）P（AB）. 【例6】 设事件A, B, C满足条件: P（AB）P（AC）P（BC）, P（ABC）, 则事件A, B, C中至多一个发生的概率为 .【例7】 设事件A, B满足 P（B| A）1则【 】 （A） A 为必然事件. （B） P（B|）=0. （C） . （D） . 【例8】 设A, B, C为三个相互独立的事件,且0P（C）1,则不独立的事件为 【 】 （A） 与C . （B） 与 （C ） 与 （D） 与 【例9】 设A，B为任意两个事件，试证 P（A）P（B）P（AB） P（AB） P（BA） .三、乘法公式，全概率公式，Bayes公式与二项概率公式1 乘法公式：2 全概率公式：3Bayes公式：4二项概率公式: ,【例10】 10件产品中有4件次品, 6件正品, 现从中任取2件, 若已知其中有一件为次品, 试求另一件也为次品的概率.【例11】设10件产品中有3件次品, 7件正品, 现每次从中任取一件, 取后不放回. 试求下列事件的概率. （1） 第三次取得次品;（2） 第三次才取得次品;（3） 已知前两次没有取得次品, 第三次取得次品;（4） 不超过三次取到次品;【例12】 甲, 乙两人对同一目标进行射击,命中率分别为0.6和0.5, 试在下列两种情形下, 分别求事件“已知目标被命中,它是甲射中”的概率.（1）在甲, 乙两人中随机地挑选一人, 由他射击一次;（ 2）甲, 乙两人独立地各射击一次.【例13】设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份,7份和5份. 随机地取一个地区的报名表,从中先后任意抽出两份.(1) 求先抽到的一份是女生表的概率p;(2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q . 第二讲 随机变量及其分布考试要求1. 理解随机变量及其概率分布的概念.理解分布函数（） 的概念及性质.会计算与随机变量有关的事件的概率.2. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握01分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用.3. 了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4. 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布的概率密度为5. 会求随机变量函数的分布. 一、分布函数 1随机变量：定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量. 2分布函数：F（x）为分布函数 （1） 0F（x） 1（2） F（x）单调不减（3） 右连续F（x+0）=F（x）（4） 3离散型随机变量与连续型随机变量 （1） 离散型随机变量分布函数为阶梯跳跃函数. （2） 连续型随机变量 f（x）为概率密度 （1） f（x）0, （2） f（x） 4几点注意【 例1 】 设随机变量的分布函数为 则 .【 例2 】 设随机变量X 的密度函数为 f （x）, 且 f （x） = f （x）, 记和分别是X 和的分布函数, 则对任意实数x 有 【 】 （A）. （B）. （C）. （D）. 【 例3 】 设 随机变量X 服从参数为的指数分布, 试求随机变量 Y= min X, 2 的分布函数【 例4 】设某个系统由 6 个相同的元件经两两串联再并联而成, 且各元件工作状态相互独立每个元件正常工作时间服从参数为 的指数分布, 试求系统正常工作的时间 T 的概率分布.【 例5】设随机变量的概率密度为 试求（1） 的分布函数; （2）概率.二、 常见的一维分布（1） 0-1分布：.（2） 二项分布.（3） Poisson分布：.（4） 均匀分布（5） 正态分布N（，2）： （6） 指数分布 .（7） 几何分布（8） 超几何分布H（N,M,n）: .【例6】某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p（0p1）, 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为【 】（A） . （B） .（C） . （D） . 【例7】 设X （, ）, 则P （ X 1） 【 】 （A） 随的增大而增大 . （B） 随的增大而减小.（C） 随的增大而不变 . （D） 随的增大而减小. 【例8】 设X （, ）, 为其分布函数，则对于任意实数，有 【 】（A） （B） （C） （D） 【例9】 甲袋中有1个黑球，2个白球，乙袋中有3个白球，每次从两袋中各任取一球交换放入另一袋中，试求交换n次后，黑球仍在甲袋中的概率.三、 随机变量函数的分布： 1. 离散的情形 2. 连续的情形 3. 一般的情形 【例10】 设随机变量的概率密度为 令为二维随机变量（X, Y ）的分布函数.（）求Y的概率密度;（） .第三讲 多维随机变量及其分布考试要求1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率.2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件. 3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 . 4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.一、 各种分布与随机变量的独立性1. 各种分布（1）一般二维随机变量 F （x, y）=P X x, Y y , x （, +）, y （, +）的性质F （x, y）为联合分布函数 1） 0 F （x, y）1 , x （, +）, y （, +）; 2） F（, y ）= F（x, ）=0, F（+,+）=1;3） F （x, y）关于x, y 均为单调不减函数；4） F （x, y）关于x, y 均分别右连续. （2）二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布联合概率分布律 PX = xi , Y = yj = pi j , i, j =1, 2 , , pi j 0, .边缘分布律 pi = PX = xi =, i =1, 2 , , p j = P Y = yj =, j =1, 2 , , 条件分布律 PX = xi |Y = yj =, P Y = yj | X = xi =. 二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度f（x, y）为联合概率密度 1 f（x, y）0, 2 .设（ X, Y） f（x, y）则分布函数: ;边缘概率密度: , .条件概率密度: , . 2. 随机变量的独立性和相关性X和Y相互独立 F （x, y）= FX （x）F Y （y）; pi j = pi p j （离散型） f （x, y）= f X （x）f Y （y） （连续型）【注】1 X与Y独立, f （x）, g （x）为连续函数 f （X）与g （Y）也独立. 2 若X1, , Xm, Y1, , Yn相互独立, f , g分别为m 元与 n元连续函数 f （X1, , Xm）与g （Y1, , Yn）也独立.3 常数与任何随机变量独立. 3. 常见的二维分布（1）二维均匀分布 （X, Y ） U （D）, D为一平面区域. 联合概率密度为 （2）二维正态分布 （X, Y ） N （1 , 2, s12 ,s22, r ）, 1, 2 0, s2 0, | r | 1. 联合概率密度为性质:（ a ） X N （1, s12 ）, Y N （2, s22 ）（ b ） X与Y相互独立 rX Y =0 , 即 X与Y不相关.（ c ） C1X+C2Y N （C1 1+ C2 2, C12 s12 + C22s22 +2C1C2 r s1 s2 ）.（ d ） X关于Y=y的条件分布为正态分布: 【 例1 】 设A，B为事件，且P（A）, P（B|A）, P（A|B） 令 X, Y（1） 试求（X, Y）的联合分布律；（2）计算Cov（ X, Y ）；（3） 计算 .【 例2 】设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X, Y）联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处. Y X【 例3 】设随机变量X与Y独立同分布, 且X的概率分布为 记.（I）求（U, V）的概率分布;（II）求（U, V）的协方差Cov（U, V）.【详解】（I）易知U, V 的可能取值均为: 1, 2. 且,故（U, V）的概率分布为: VU1 212 0 （II） ,而 , .故 .【 例4】 设随机变量在区间（0, 1）上服从均匀分布, 在的条件下,随机变量在区间上服从均匀分布, 求（）随机变量和的联合概率密度; （）的概率密度; （）概率. 二、 二维（或两个）随机变量函数的分布1分布的可加性（1）若XB（m, p）, YB（n, p）, 且X与Y相互独立，则 X+Y B （m+n, p）.（2）若XP（1）, YP（2）, 且X与Y相互独立，则 X+Y P （1+2）.（3）若XN（）, YP（）, 且X与Y相互独立，则 X+Y N （）.一般地，若XiN（）, i=1, 2, , n, 且X1，X2，Xn相互独立，则Y=C1X1+C2X2+CnXn+C仍服从正态分布，且此正态分布为 其中C1，Cn为不全为零的常数.2. 两个随机变量函数的分布.【例5】 设X与Y相互独立, 且 则 【 例6】 设X与Y相互独立, 其密度函数分别为: 求Z2XY 的概率密度.【 例7】设二维随机变量（X, Y）的概率密度为 （I）求；（II）求Z+的概率密度.【详解】（I）.（II）方法一： 先求Z的分布函数: 当z0时, ;当时, ；当时, ；当时, .故Z+的概率密度=方法二： ，当z 0 或z 2时, ;当时, ；当时, ；故Z+的概率密度【例8】 设随机变量X与Y相互独立, X有密度函数f （x）, Y的分布律为 试求ZXY 的概率分布.第四讲 数字特征与极限定理考试要求1理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念, 会运用数字特征的基本性质, 并掌握常用分布的数字特征.2会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望；会根据随机变量和的联合概率分布求其函数的数学期望.3了解切比雪夫不等式.4了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大数定律）5了解棣莫弗拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）；（经济类还要求）会用相关定理近似计算有关随机事件的概率一、 数学期望与方差（标准差）1. 定义（计算公式）离散型 , 连续型 , 方差：标准差：, 2. 期望的性质：1 2 3 4 3. 方差的性质：1 2 3 4 一般有 5, 【例1】设试验成功的概率为, 失败的概率为, 独立重复试验直到成功两次为止. 试求试验次数的数学期望.【例2】 n 片钥匙中只有一片能打开房门, 现从中任取一片去试开房门, 直到打开为止. 试在下列两种情况下分别求试开次数的数学期望与方差:（1）试开过的钥匙即被除去; （2）试开过的钥匙重新放回.【例3】 设随机变量X的概率密度为 对X独立地重复观察4次, 用Y表示观察值大于的次数, 求的数学期望.【例4】 设有20人在某11层楼的底层乘电梯上楼, 电梯在中途只下不上, 每个乘客在哪一层（2-11层）下是等可能的, 且乘客之间相互独立, 试求电梯须停次数的数学期望.二、随机变量函数的期望（或方差）1、一维的情形 离散型： ， 连续型： 2、二维的情形 离散型, 连续型, 【例5】 设X与Y独立且均服从N （0，1），求Z 的数学期望与方差.【例6】设两个随机变量X与Y相互独立且均服从N （0，）, 试求ZXY的数学期望与方差. 三 、协方差，相关系数与随机变量的矩 1、重要公式与概念：协方差 相关系数 2、性质：1 2 3 4 5 3、下面5个条件互为充要条件：（1）（2）（3）（4）（5）【例7】设为独立同分布的随机变量, 且均服从, 记, 求: （I） 的方差；（II） 与的协方差;（III） 四、极限定理1. 切比雪夫不等式2. 大数定律 3. Poisson定理4. 中心极限定理列维林德伯格定理: 设随机变量X1，X2，Xn，相互独立同分布, 且 ， 则对任意正数x，有 棣莫弗拉普拉斯定理: 设（即X1，X2，Xn，相互独立, 同服从0一1分布） 则有 .【例8】 银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金，已知这批债券共发放了500张，每张须付本息1000元，设持券人（1人1券）到期到银行领取本息的概率为0.4.问银行于该日应准备多少现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换.【分析】 若X为该日到银行领取本息的总人数，则所需现金为1000X，设银行该日应准备现金x元.为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换，则 P（1000Xx）0.999.【详解】 设X为该日到银行领取本息的总人数，则XB（500，0.4）所需支付现金为1000X，为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换，设银行该日应准备现金x元，则 P（1000 Xx）0.999.由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理知：即 得 x 233958.798.因此银行于该日应准备234000元现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换.第五讲 数理统计考试要求1. 理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念.其中样本方差定义为2. 了解分布、t分布和F分布的概念及性质，了解分位数的概念并会查表计算.3. 了解正态总体的常用抽样分布.4. 理解经验分布函数的概念和性质, 会根据样本值求经验分布函数.5. 理解参数的点估计、估计量与估计值的概念.6. 掌握矩估计法（一阶、二阶矩）和最大似然的估计法.7. 了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性.8. 理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间. 9. 理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误.10. 了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验 一、样本与抽样分布 1. 总体、个体与简单随机样本: 2. 常用统计量:1 样本均值 2 样本方差 3 样本标准差: 4 样本k阶原点矩 5 样本k阶中心矩 3分位数 4. 重要抽样分布（1）（2） t分布（3） F分布5. 正态总体的常用抽样分布: , , 则（1） （2） （3） （4） （5） 与相互独立, 且 , , .【例1】 设总体设是来自总体X的一个样本, 且，求 .【例2】 设总体 设是取自总体X的一个样本, 且，则 .【例3】设随机变量, 则 【例4】 设总体X服从正态分布, 而是来自总体X的简单随机样本, 求随机变量 的分布.【例5】 设总体 设是来自总体X的一个样本, 且，试求统计量 的分布.二、参数估计1. 矩估计2. 最大似然估计3. 区间估计4. 估计量的评选标准 【例6】设总体，为来自总体X的样本，试求的矩估计和最大似然估计.【例7】设总体的概率密度为 其中是未知参数, 为来自总体的简单随机样本, 记N为样本值中小于1的个数, 求：（1）的矩估计；（2） 的最大似然估计.【例8】设总体X的概率密度为 为来自X的简单随机样本，（1） 求的矩估计量；（2） 判断的无偏性;（3） 判断的一致性.三、假设检验 1. 假设检验的基本思想：对总体分布中的未知参数作出某种假设，根据样本在假设为真的前提下构造一个小概率事件，基于“小概率事件”在一次试验中几乎不可能发生而对假设作出拒绝或接受. 2. 单个正态总体均值和方差的假设检验. 3. 假设检验两类错误：第一类错误：原假设为真，但拒绝了.第二类错误；原假设为假，但接受到了.-