2022年高考数学 考前30天之备战冲刺押题系列 名师预测卷 4

2022年高考数学 考前30天之备战冲刺押题系列 名师预测卷 4一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应的位置上1若集合A=x|x2，B=x|x3，则AB= 答案： 解析：AB= 2函数y=sin2x+cos2x的最小正周期是 答案：解析：y=sin2x+cos2x=2 sin(2 x+60) T=2/2= 3已知(a+i)2=2i，其中i是虚数单位，那么实数 a= 答案：1解析：(a+i)2= a2+2 ai+ i2= a2-1+2 ai=2i a=14已知向量a与b的夹角为60，且|a|=1，|b|=2，那么的值为 答案：7解析：=a2+ b2+2ab = a2+ b2+2|a|b| cos60=12+22+2x1x2=75底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为 m2答案：解析：如图所示，正三棱锥，为顶点在底面内的射影，则为正的垂心，过作于，连接。则，且，在中，。于是，。所以。6若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数k的值是 答案：8解析：法一：双曲线的渐近线方程为；焦点坐标是。由焦点到渐近线的距离为，不妨。解得。法二：可以将问题变为“若椭圆的离心率为，则实数k= ”，这时需要增加分类讨论的意思法三：结论法: 在双曲线中，双曲线的焦点到渐近线的距离为b 【在本题中，则b 2=k=（)2=8】7若实数x，y满足则z=x+2y的最大值是 答案：2解析：满足题中约束条件的可行域如图所示。目标函数取得最大值，即使得函数在轴上的截距最大。结合可行域范围知，当其过点时，。8对于定义在R上的函数f(x)，给出三个命题：若，则f(x)为偶函数；若，则f(x)不是偶函数；若，则f(x)一定不是奇函数其中正确命题的序号为 答案：解析：命题学生很容易判为真命题反例：函数是奇函数，且满足请注意以下问题：既是奇函数又是偶函数的函数是否唯一？答案是否定的，如函数，等9图中是一个算法流程图，则输出的n= 答案：1110已知三数x+log272，x+log92，x+log32成等比数列，则公比为 答案：3解析：， 本题首先应整体观察出三个对数值之间的关系，并由此选定log32，得出log272=log32，log92=log32，最后通过假设将x用log32表示11已知55数字方阵：中，则= 答案：-1解析：假如题中出现，应注意a15中5为1的倍数题中方阵是一个迷惑，应排除这一干扰因素本题的实质就是先定义aij，后求和应注意两个求和符号中的上下标是不一致的，解题应把求和给展开12 已知函数f(x)=，x，则满足f(x0)f()的x0的取值范围为 答案：解析：法1 注意到函数是偶函数故只需考虑区间上的情形由知函数在单调递增，所以在上的解集为，结合函数是偶函数得原问题中取值范围是法2 ，作出函数在上的图象并注意到两函数有交点可得取值范围是13甲地与乙地相距250公里某天小袁从上午750由甲地出发开车前往乙地办事在上午900，1000，1100三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有1小时到达乙地”假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午1100时，小袁距乙地还有 公里 答案：60解析：设从出发到上午11时行了公里，则，解得，此时小袁距乙地还有60公里14定义在上的函数f(x)满足：f(2x)=cf(x)(c为正常数)；当2x4时，f(x)=1-|x-3|若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c= 答案：1或2解析：由已知可得：当时，；当时，；当时，由题意点共线，据得或2 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请把答案写在答题卡相应的位置上解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15(本题满分14分)某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：组号分组频数频率第一组80.16第二组0.24第三组15第四组100.20第五组50.10合 计501.00(1)写出表中位置的数据；(2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；(3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率 解：(1) 位置的数据分别为12、0.3； 4分(2) 第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1； 8分(3) 设上述6人为abcdef(其中第四组的两人分别为d，e)，则从6人中任取2人的所有情形为：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef共有15种10分记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数有9种 12分所以，故2人中至少有一名是第四组的概率为 14分16(本题满分14分) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中 (1)若BB1=BC，B1CA1B，证明：平面AB1C平面A1BC1；(2)设D是BC的中点，E是A1C1上的一点，且A1B平面B1DE，求的值解：(1)因为BB1=BC，所以侧面BCC1B1是菱形，所以B1CBC1 3分又因为B1CA1B ，且A1BBC1=B，所以BC1平面A1BC1， 5分又B1C平面AB1C ，所以平面AB1C平面A1BC1 7分(2)设B1D交BC1于点F，连结EF，则平面A1BC1平面B1DEEF因为A1B/平面B1DE， A1B平面A1BC1，所以A1B/EF 11分所以又因为，所以 14分17(本题满分14分)在ABC中，a2+c2=2b2，其中a，b，c分别为角A，B，C所对的边长(1)求证：B；(2)若，且A为钝角，求A解：(1)由余弦定理，得 3分因，6分由0B，得 ，命题得证 7分(2)由正弦定理，得 10分因，故=1，于是12分因为A为钝角，所以所以(，不合，舍) 解得 14分（2）其它方法：法1 同标准答案得到，用降幂公式得到，或，展开再处理，下略法2 由余弦定理得，结合得，展开后用降幂公式再合，下略法3 由余弦定理得，结合得，下略18(本题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆(ab0)的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上(1)求椭圆的方程；(2)设A，B，M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角，使 (i)求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；(ii)求OA2+OB2解：(1)依题意，得 c=1于是，a=，b=1 2分所以所求椭圆的方程为 4分(2) (i)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则， 又设M(x，y)，因，故 7分因M在椭圆上，故整理得将代入上式，并注意，得 所以，为定值 10分(ii)，故又，故所以，OA2+OB2=3 16分19(本题满分16分)已知数列an满足：a1=a2=a3=2，an+1=a1a2an-1(n3)，记(n3)(1)求证数列bn为等差数列，并求其通项公式；(2)设，数列的前n项和为Sn，求证：nSn1，10分=，故，于是16分第(2)问，为了结果的美观，将Sn放缩范围放得较宽，并且可以改为求不小于Sn的最小正整数或求不大于Sn的最大正整数本题（2）的方法二是错误的，请不要采用。注意=，故0所以|8分当，即-ab2a，则(i) 当-ab时，则0a+b所以 0所以 | 12分(ii) 当b2a时，则0，即a2+b20所以=0，即所以 |综上所述：当0x1时，|16分数学（附加题）21【选做题】本题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲如图，O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为O上一点，AE=AC，求证：PDE=POC证明：因AE=AC，AB为直径， 故OAC=OAE 3分所以POC=OAC+OCA=OAC+OAC=EAC又EAC=PDE，所以，PDE=POC10分B选修42：矩阵与变换已知圆C：在矩阵对应的变换作用下变为椭圆，求a，b的值解：设为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点，则 ，即 4分又因为点在椭圆上，所以 由已知条件可知， ，所以 a2=9，b2=4因为 a0 ，b0，所以 a=3，b=2 10分C选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，求经过三点O(0，0)，A(2，)，B(，)的圆的极坐标方程解：设是所求圆上的任意一点，3分则， 故所求的圆的极坐标方程为 10分注：亦正确D选修45：不等式选讲已知x，y，z均为正数求证：证明：因为x，y，z都是为正数，所以 3分同理可得 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得10分22【必做题】本题满分10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤已知函数，其中a0(1)若在x=1处取得极值，求a的值；(2)若的最小值为1，求a的取值范围 解：(1) 因在处取得极值，故，解得a=1 (经检验)4分(2)，因 ，故ax+10，1+x0当a2时，在区间上，递增，的最小值为f(0)=1当0a2时，由，解得；由，解得f(x)的单调减区间为，单调增区间为于是，f(x)在处取得最小值，不合综上可知，若f(x)得最小值为1，则a的取值范围是 10分注：不检验不扣分23【必做题】本题满分10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤过抛物线y2=4x上一点A(1，2)作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C(异于点A)在抛物线上，点E在线段AC上，满足=1；点F在线段BC上，满足=2，且1+2=1，线段CD与EF交于点P(1)设，求；(2)当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程解：(1)过点A的切线方程为y=x+1 1分切线交x轴于点B(-1，0)，交y轴交于点D(0，1)，则D是AB的中点 所以 (1) 3分由=(1+) (2)同理由 =1， 得=(1+1)， (3) =2， 得=(1+2) (4)将(2)、(3)、(4)式代入(1)得因为E、P、F三点共线，所以 + =1，再由1+2=1，解之得=6分(2)由(1)得CP=2PD，D是AB的中点，所以点P为ABC的重心所以，x=，y= 解得x0=3x，y0=3y-2，代入y02=4x0得，(3y-2)2=12x由于x01，故x3所求轨迹方程为(3y-2)2=12x (x3) 10分