2022年高三下学期3月月考数学试卷（理科） 含解析(II)

2022年高三下学期3月月考数学试卷（理科） 含解析(II)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1如果复数（aR）为纯虚数，则a=（）A2B0C1D22若集合A=x|12x8，B=x|log2（x2x）1，则AB=（）A（2，3B2，3C（，0）（0，2D（，1）0，33某流程如图所示，现输入四个函数，则可以输出的函数是（）Af（x）=xtanxBf（x）=xexCf（x）=x+2lnxDf（x）=xsinx4已知等差数列数列an满足an+1+an=4n，则a1=（）A1B1C2D35已知实数x，y满足，则的最小值为（）A1B3C4D66某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A2BCD37若（，），且5cos2=sin（），则tan等于（）ABCD38过抛物线y2=4x的焦点F作直线l与其交于A，B两点，若|AF|=4，则|BF|=（）A2BCD19已知圆C：（x）2+（y1）2=1和两点A（t，0），B（t，0）（t0），若圆C上存在点P，使得APB=90，则t的最小值为（）A4B3C2D110已知三棱锥PABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A16B32C64D12811已知A，B是单位圆上的两点，O为圆心，且AOB=120，MN是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足=+（1）（R），则的最小值为（）ABCD112已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则t的取值范围是（）A（，2B1，+）C2，1D（，21，+）二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13已知（x+2）（x1）4=a0+a1（x+1）+a5（x+1）5，则a1+a3+a5=_14函数f（x）=2sinxcos（x），x0，的最小值为_15把3个不同的球放入3个不同的盒子中，恰有一个空盒的概率是_16如图，在ABC中，BAC=120，ADAB，|BC|=|BD|，|AD|=1，则|AC|=_三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤运算过程17已知数列an中，a1=，an+1=（nN*）（1）求证：数列1是等比数列，并求an的通项公式an；（2）设bn=，求证：218某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图直方图：（）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在150名和9511000名的学生进行了调查，得到如下数据：是否近视1509511000合计年级名次近视413273不近视91827合计5050100根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（）在（）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在150名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望P（K2k）0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879附：K2=n=a+b+c+d19如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，PD底面ABCD，ABCD，ADCD，AD=AB=1，BC=（）求证：平面PBD平面PBC；（）设H为CD上一点，满足=2，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角HPBC的余弦值20若椭圆（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点F内分成了3：1的两段（1）求椭圆的离心率；（2）过点C（1，0）的直线l交椭圆于不同两点A、B，且，当AOB的面积最大时，求直线l和椭圆的方程21已知函数f（x）=xlnxx2x+a（aR）在定义域内有两个不同的极值点（1）求a的取值范围；（2）记两个极值点x1，x2，且x1x2，已知0，若不等式x1x2e1+恒成立，求的取值范围请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，在ABC中，CD是ACB的平分线，ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC，（1）求证：BE=2AD；（2）求函数AC=1，BC=2时，求AD的长选修4-4：坐标系与参数方程23在极坐标系中，曲线C：=2acos（a0），l：cos（）=，C与l有且仅有一个公共点（）求a；（）O为极点，A，B为C上的两点，且AOB=，求|OA|+|OB|的最大值选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|3x1|+ax+3（1）若a=1，解不等式f（x）5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围xx重庆市巴蜀中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1如果复数（aR）为纯虚数，则a=（）A2B0C1D2【考点】复数的基本概念【分析】对所给的复数分子和分母同乘以1i，再进行化简并整理出实部和虚部，再令虚部为零求出a的值【解答】解：由题意知， =，（aR）为纯虚数，2a=0，解得a=2故选D2若集合A=x|12x8，B=x|log2（x2x）1，则AB=（）A（2，3B2，3C（，0）（0，2D（，1）0，3【考点】交集及其运算【分析】求出集合A，B，根据集合的交集定义进行计算【解答】解：12x8，0x3，A=0，3，log2（x2x）1，x2或x1，B=（，1）（2，+），AB=（2，3，故选：A3某流程如图所示，现输入四个函数，则可以输出的函数是（）Af（x）=xtanxBf（x）=xexCf（x）=x+2lnxDf（x）=xsinx【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件f（x）+f（x）=0，即函数f（x）为奇函数；f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点逐一分析四个答案中给出的函数的性质，即可得到正确答案【解答】解：对于A，f（x）=xtanx，不是奇函数，故不满足条件；对于B，f（x）=xex，不是奇函数，故不满足条件；对于C，f（x）=x+lnx，（x0），不是奇函数，故不满足条件；对于D，f（x）=xsinx既是奇函数，且函数图象与x有交点，故f（x）符合输出的条件故选：D4已知等差数列数列an满足an+1+an=4n，则a1=（）A1B1C2D3【考点】等差数列的通项公式【分析】根据an+1+an=4n，写出a2+a1，a3+a2的值，两式作差可求出公差，从而可求出首项【解答】解：数列an是等差数列，且an+1+an=4n，a2+a1=4，a3+a2=8，两式相减得a3a1=84=4，数列an是等差数列2d=4，即d=2，则a2+a1=2a1+d=4=2a1+2即a1=1故选：B5已知实数x，y满足，则的最小值为（）A1B3C4D6【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（0，2）连线的斜率加2求得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），=2+，其几何意义为可行域内的动点与定点P（0，2）连线的斜率加2，的最小值为4故选：C6某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A2BCD3【考点】简单空间图形的三视图【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V=3x=3故选D7若（，），且5cos2=sin（），则tan等于（）ABCD3【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用；三角函数的化简求值；两角和与差的余弦函数【分析】利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简已知条件，然后利用同角三角函数基本关系式求解即可【解答】解：（，），且5cos2=sin（），可得5（cossin）（cos+sin）=（cossin），可得：cos+sin=1+2sincos=，解得：tan=故选：A8过抛物线y2=4x的焦点F作直线l与其交于A，B两点，若|AF|=4，则|BF|=（）A2BCD1【考点】抛物线的简单性质【分析】根据抛物线的定义，结合|AF|=4，求出A的坐标，然后求出AF的方程求出B点的横坐标即可得到结论【解答】解：抛物线的焦点F（1，0），准线方程为x=1，设A（x，y），则|AF|=x+1=4，故x=3，此时y=2，即A（3，2），则AF的斜率k=，则直线AF的方程为y=（x1），代入y2=4x得3x210x+3=0，解得x=3（舍）或x=，则|BF|=+1=，故选：B9已知圆C：（x）2+（y1）2=1和两点A（t，0），B（t，0）（t0），若圆C上存在点P，使得APB=90，则t的最小值为（）A4B3C2D1【考点】直线与圆的位置关系【分析】可以设圆上一点P（x0，y0），由APB=90，可得APBP，kAPkBP=1，然后的到关于t的关系式，求解t的最小值【解答】解：设P点坐标（x0，y0），kAPkBP=，整理得，即=由此可以将求t的最小值问题看做点P到原点的最短距离问题，如图所示，当P点在如图位置时，OP的距离最小，即t取得最小值，A点坐标（，1）易知OA所在直线方程为：y=，联立圆的方程：（x）2+（y1）2=1，可得P点坐标（，）从而|OP|=1，即t=1故t的最小值为1故选：D10已知三棱锥PABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A16B32C64D128【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】根据已知求出ABC外接圆的半径，从而求出该三棱锥外接球的半径和三棱锥的外接球表面积【解答】解：底面ABC中，AB=AC=2，BC=6，cosBAC=sinBAC=，ABC的外接圆半径r=2，所以三棱锥外接球的半径R2=r2+（）2=（2）2+22=16，所以三棱锥PABC外接球的表面积S=4R2=64故选：C11已知A，B是单位圆上的两点，O为圆心，且AOB=120，MN是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足=+（1）（R），则的最小值为（）ABCD1【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据题意可知C在线段AB上，从而得出|的范围，用，表示出，代入数量积公式得出关于|的式子，根据|的范围得出答案【解答】解：=+（1），点C在线段AB上，即A，B，C三点共线OA=OB=1，AOB=120，O到直线AB的距离d=|1=（）（）=（）+MN是单位圆O的直径，=1， =，=1+0则的最小值为，故选：C12已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则t的取值范围是（）A（，2B1，+）C2，1D（，21，+）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】利用换元法设m=f（x），将方程转化为关于m的一元二次方程，利用根的分布建立不等式关系进行求即可【解答】解：设m=f（x），作出函数f（x）的图象如图：则m1时，m=f（x）有两个根，当m1时，m=f（x）有1个根，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则等价为m2+m+t=0有2个不同的实根，且m1或m1，当m=1时，t=2，此时由m2+m2=0得m=1或m=2，满足f（x）=1有两个根，f（x）=2有1个根，满足条件当m1时，设h（m）=m2+m+t，则h（1）0即可，即1+1+t0，则t2，综上t2，故选：A二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13已知（x+2）（x1）4=a0+a1（x+1）+a5（x+1）5，则a1+a3+a5=1【考点】二项式定理的应用【分析】由（x+2）（x1）4=a0+a1（x+1）+a5（x+1）5，令x=0可得：2=a0+a1+a5；令x=2可得：0=a0a1+a2+a5相减即可得出【解答】解：由（x+2）（x1）4=a0+a1（x+1）+a5（x+1）5，令x=0可得：2=a0+a1+a5；令x=2可得：0=a0a1+a2+a5相减可得：2（a1+a3+a5）=2，则a1+a3+a5=1故答案为：114函数f（x）=2sinxcos（x），x0，的最小值为0【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=sin（2x），由x0，利用正弦函数的图象和性质即可计算得解【解答】解：f（x）=2sinxcos（x）=2sinx（cosx+sinx）=sin2xcos2x+=sin（2x）+，x0，2x，当x=0时，2x=，函数f（x）=sin（2x）+最小值为0故答案为：015把3个不同的球放入3个不同的盒子中，恰有一个空盒的概率是【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】先求出基本事件总数，再求出恰有一个空盒包含的基本事件个数，由此能求出恰有一个空盒的概率【解答】解：把3个不同的球放入3个不同的盒子中，基本事件总数n=33=27，恰有一个空盒包含的基本事件个数m=18，恰有一个空盒的概率是p=故答案为：16如图，在ABC中，BAC=120，ADAB，|BC|=|BD|，|AD|=1，则|AC|=2【考点】解三角形的实际应用【分析】过C作CEAD交AD延长线于E，利用相似三角形得出DE，即可求出AE，从而得出AC【解答】解：过C作CEAD交AD延长线于E则ABDECD=DE=，AE=AD+DE=CAE=BACBAD=30，AC=2故答案为：2三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤运算过程17已知数列an中，a1=，an+1=（nN*）（1）求证：数列1是等比数列，并求an的通项公式an；（2）设bn=，求证：2【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）由题意可得1=2（1），即可证明1是首项为2，公比为2的等比数列，求出通项公式即可，（2）利用错位相减法即可求出前n项和，再利用放缩法即可证明【解答】证明：（1）an+1=，2an+1an+1an=an，1=2（1），a1=，1=2，1是首项为2，公比为2的等比数列，1=2n，an=，（2）bn=n（）n，令Sn=1（）1+2（）2+n（）n，Sn=1（）2+2（）3+（n1）（）n+n（）n+1，Sn=+（）2+（）3+（）nn（）n+1=1，Sn=22，故：218某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图直方图：（）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在150名和9511000名的学生进行了调查，得到如下数据：是否近视1509511000合计年级名次近视413273不近视91827合计5050100根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（）在（）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在150名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望P（K2k）0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879附：K2=n=a+b+c+d【考点】独立性检验的应用【分析】（）由频率分布直方图可知：分布求得第一到第六组的频数，求得视力在5.0以的频率为10.08=0.82，全年级5.0以上的人数为10000.82=820；（）求出K2，与临界值比较，K24.1103.841由此能求出在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系（）依题意9人中年级名次在150名和9511000名分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望【解答】解：（）由图可得：前三组的频率分别为：0.03，0.07，0.27，第一组有3人，第二组7人，第三组有27人，后四组频数成等差数列，后四组的频数27，24，21，18，所以视力在5.0以的频率为10.08=0.82，所以全年级5.0以上的人数为10000.82=820；（）K2=4.1103.841因此，在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；（）由题意可知9人中年级在150名给我9511000名的人数分别为3人好6人，X的取值为0，1，2，3，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，X的分布列为： X 01 2 3 PE（X）=0+1+2+3=1，E（X）=119如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，PD底面ABCD，ABCD，ADCD，AD=AB=1，BC=（）求证：平面PBD平面PBC；（）设H为CD上一点，满足=2，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角HPBC的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（）通过勾股定理可得BCBD，利用面面垂直的判定定理即得结论；（）通过题意以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立坐标系，所求二面角的余弦值即为平面HPB的一个法向量与平面PBC的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可【解答】（）证明：ADCD，ABCD，AD=AB=1，BD=，BDC=45，又BC=，CD=2，CD2=BC2+BD2，即BCBD，PD底面ABCD，PDBC，又PDBD=D，BC平面PBD，平面PBD平面PBC；（）解：由（I）可知BPC为PC与平面PBD所成的角，PB=，PD=1，由=2及CD=2，可得CH=，DH=，以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立坐标系，则B（1，1，0），P（0，0，1），C（0，2，0），H（0，0），设平面HPB的法向量为=（x1，y1，z1），则，即，取y1=3，则=（1，3，2），同理可得平面PBC的法向量为=（1，1，2），又，二面角HPBC的余弦值为20若椭圆（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点F内分成了3：1的两段（1）求椭圆的离心率；（2）过点C（1，0）的直线l交椭圆于不同两点A、B，且，当AOB的面积最大时，求直线l和椭圆的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质【分析】（1）由c+=3（c），能够求出椭圆的离心率（2）设直线l：x=ky1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，知2y2+y1=0，由，得（k2+2）y22ky+12b2=0，再利用韦达定理，结合题设条件，能够求出椭圆方程【解答】解：（1）由题意知，c+=3（c），b=c，a2=2b2，e=（2）设直线l：x=ky1，A（x1，y1），B（x2，y2），（1x1，y1）=2（x2+1，y2），即2y2+y1=0，由（1）知，a2=2b2，椭圆方程为x2+2y2=2b2，由，消去x，得（k2+2）y22ky+12b2=0，由知，=，S=3=33=，当且仅当|k|2=2，即k=时取等号，此时直线的方程为x=或x=又当|k|2=2时， =1，由，得b2=，椭圆方程为21已知函数f（x）=xlnxx2x+a（aR）在定义域内有两个不同的极值点（1）求a的取值范围；（2）记两个极值点x1，x2，且x1x2，已知0，若不等式x1x2e1+恒成立，求的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）由导数与极值的关系知可转化为方程f（x）=lnxax=0在（0，+）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+）上有两个不同交点；（2）原式等价于，令t=，t（0，1），则不等式lnt在t（0，1）上恒成立令h（t）=lnt，t（0，1），根据函数的单调性求出即可【解答】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+），方程f（x）=0在（0，+）有两个不同根，即方程lnxax=0在（0，+）有两个不同根；转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+）上有两个不同交点，如图示：，可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0ak令切点A（x0，lnx0），故k=y|x=x0=，又k=，故 =，解得，x0=e，故k=，故0a；（2）因为e1+x1x2等价于1+lnx1+lnx2由（1）可知x1，x2分别是方程lnxax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2所以原式等价于1+ax1+ax2=a（x1+x2），因为0，0x1x2，所以原式等价于a，又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，ln =a（x1x2），所以原式等价于，因为0x1x2，原式恒成立，即ln恒成立令t=，t（0，1），则不等式lnt在t（0，1）上恒成立令h（t）=lnt，t（0，1），又h（t）=，当21时，可见t（0，1）时，h（t）0，所以h（t）在t（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）0在t（0，1）恒成立，符合题意当21时，可见t（0，2）时，h（t）0，t（2，1）时h（t）0，所以h（t）在t（0，2）时单调增，在t（2，1）时单调减，又h（1）=0，所以h（t）在t（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去综上所述，若不等式e1+x1x2恒成立，只须21，又0，所以1请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，在ABC中，CD是ACB的平分线，ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC，（1）求证：BE=2AD；（2）求函数AC=1，BC=2时，求AD的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）连接DE，因为ACED是圆的内接四边形，所以BDEBCA，由此能够证明BE=2AD（2）由条件得AB=2AC=2，根据割线定理得BDBA=BEBC，即（ABAD）BA=2AD（2AD+CE），由此能求出AD【解答】（1）证明：连接DE，ACED是圆的内接四边形，BDE=BCA，DBE=CBA，BDEBCA，AB=2AC，BE=2DECD是ACB的平分线，AD=DE，从而BE=2AD（2）解：由条件得AB=2AC=2，设AD=t，根据割线定理得BDBA=BEBC，（ABAD）BA=2ADBC，（2t）2=2t2，解得t=，即AD=选修4-4：坐标系与参数方程23在极坐标系中，曲线C：=2acos（a0），l：cos（）=，C与l有且仅有一个公共点（）求a；（）O为极点，A，B为C上的两点，且AOB=，求|OA|+|OB|的最大值【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为，B的极角为+，则|OA|+|OB|=2cos+2cos（+）=2cos（+），利用三角函数的单调性即可得出【解答】解：（）曲线C：=2acos（a0），变形2=2acos，化为x2+y2=2ax，即（xa）2+y2=a2曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：cos（）=，展开为，l的直角坐标方程为x+y3=0由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1（）不妨设A的极角为，B的极角为+，则|OA|+|OB|=2cos+2cos（+）=3cossin=2cos（+），当=时，|OA|+|OB|取得最大值2选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|3x1|+ax+3（1）若a=1，解不等式f（x）5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义【分析】（）a=1时，f（x）=|3x1|+x+3，分类讨论，去掉绝对值，求得x的范围（）化简f（x）的解析式，根据一次函数的单调性与一次项系数符号的关系，求得a的范围【解答】解：（）a=1时，f（x）=|3x1|+x+3当时，f（x）5可化为3x1+x+35，解之得；当时，f（x）5可化为3x+1+x+35，解之得综上可得，原不等式的解集为（）函数f（x）有最小值的充要条件为，即3a3xx9月28日