2022年高考总复习文数（人教版）讲义：第09章 平面解析几何 第7节 抛物线及其性质 Word版含答案

2022年高考总复习文数（人教版）讲义：第09章 平面解析几何 第7节 抛物线及其性质 Word版含答案考点高考试题考查内容核心素养抛物线的方程及几何性质xx全国卷T55分抛物线与反比例函数结合求函数解析式数学运算xx全国卷T55分抛物线与椭圆结合求线段长度数学运算直线与抛物线的位置关系xx全国卷T2012分抛物线与直线的位置关系数学运算xx全国卷T125分在抛物线中求点到直线距离数学运算xx全国卷T2012分以抛物线为载体证明直线平行，求轨迹方程逻辑推理数学运算命题分析抛物线的定义、标准方程及其简单性质等基础知识常以选择题填空题形式出现，直线与抛物线的位置关系多以解答题形式考查.标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0(以右图为依据)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)y1y2p2，x1x2.(2)|AB|x1x2p(为AB的倾斜角)(3)为定值.(4)以AB为直径的圆与准线相切(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切. 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)抛物线y24x的焦点到准线的距离是4.()(3)若一抛物线过点P(2,3)，其标准方程可写为y22px(p0)()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2(教材习题改编)抛物线yx2的焦点坐标是()A(0，1)B(0,1)C(1,0)D(1,0)解析：选Ayx2化为标准方程x24y,2p4，p2，对称轴y轴开口向下，焦点坐标(0，1)3(教材习题改编)若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()ABCD0解析：选BM到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y，设M(x，y)，则y1，y.4(教材习题改编)抛物线x22py(p0)上的点P(m,2)到焦点F的距离为3，则该抛物线的方程为_解析：P到焦点距离为3，P到准线距离为3.又P点坐标为(m,2)，准线为y1，p2.方程为x24y.答案：x24y抛物线定义及应用析考情高考中对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|d，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线提能力【典例1】 已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是准线l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则|QF|()ABC3D2解析：选C因为4，所以|4|，所以.如图，过Q作QQl，垂足为Q，设l与x轴的交点为A，则|AF|4，所以，所以|QQ|3，根据抛物线定义可知|QF|QQ|3.【典例2】 已知F是抛物线y2x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()AB1CD解析：选C|AF|BF|xAxB3，xAxB.线段AB的中点到y轴的距离为.悟技法抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|x|或|PF|y|.刷好题1设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A、B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为()A相离B相切C相交但不经过圆心D相交且经过圆心解析：选B设圆心为M，焦点为F，过点A，B，M作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，M1，则|MM1|(|AA1|BB1|)由抛物线定义可知|BF|BB1|，|AF|AA1|，所以|AB|BB1|AA1|，|MM1|AB|，即圆心M到准线的距离等于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切2已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，则抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()AB2CD3解析：选B由题可知l2：x1是抛物线y24x的准线，设抛物线的焦点F为(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为焦点F到直线l1：4x3y60的距离，所以最小值是2.抛物线标准方程及性质明技法1求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量2确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解提能力【典例1】 (xx陕西卷)已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为()A(1,0)B(1,0)C(0，1)D(0,1)解析：选B抛物线y22px(p0)的准线为x且过点(1,1)，故1，解得p2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)【典例2】 (xx徐州调研)若抛物线y22px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为()Ay24xBy26xCy28xDy210x解析：选C抛物线y22px，准线为x.点P(2，y0)到其准线的距离为4，4.p4.抛物线的标准方程为y28x.刷好题1(xx全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2B4C6D8解析：选B不妨设抛物线C：y22px(p0)，则圆的方程可设为x2y2r2(r0)，如图，又可设A(x0,2)，D，点A(x0,2)在抛物线y22px上，82px0，点A(x0,2)在圆x2y2r2上，x8r2，点D在圆x2y2r2上，52r2，联立，解得p4，即C的焦点到准线的距离为p4，故选B2设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A(0,2)，若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_解析：抛物线的焦点F的坐标为，则线段FA的中点B的坐标为，代入抛物线方程得12p，解得p，故点B的坐标为，故点B到该抛物线准线的距离为.答案：抛物线中的最值问题析考情在高考中对抛物线中最值问题的考查是一个热考点，它是对抛物线定义、直线与抛物线关系及函数思想方法的综合应用提能力命题点1：定义转换法【典例1】 (xx豫南九校联考)已知点P是抛物线x24y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|PA|PQ|的最小值为()A7B8C9D10解析：选C抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y1，根据抛物线的定义知，|PF|PM|PQ|1.所以|PA|PQ|PA|PM|1|PA|PF|1|AF|111019.悟技法与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算命题点2：平移直线法【典例2】 抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是_.解析：方法一如图，设与直线4x3y80平行且与抛物线yx2相切的直线为4x3yb0，切线方程与抛物线方程联立得消去y整理得3x24xb0，则1612b0，解得b，所以切线方程为4x3y0，抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是这两条平行线间的距离d.方法二由yx2，得y2x.如图，设与直线4x3y80平行且与抛物线yx2相切的直线与抛物线的切点是T(m，m2)，则切线斜率ky|xm2m，所以m，即切点T，点T到直线4x3y80的距离d，由图知抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是.方法三设P(x，x2)，则点P到直线4x3y80的距离d2，在抛物线yx2中，xR，所以当x时，d取得最小值，即抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是.答案：悟技法若抛物线上的任一点P到直线l的距离最小，则过点P与l平行的直线与抛物线相切，且最小距离为两平行直线间的距离，所以可将问题转化为求与抛物线相切的直线，然后求两平行直线间的距离命题点3：函数法【典例3】 若点P在抛物线y2x上，点Q在圆(x3)2y21上，则|PQ|的最小值为_解析：由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A(3,0)，则|PQ|PA|AQ|PA|1，当且仅当P，Q，A三点共线时取等号，所以当|PA|取得最小值时，|PQ|最小设P(x0，y0)，则yx0，|PA|，当且仅当x0时，|PA|取得最小值，此时|PQ|取得最小值1.答案：1悟技法解与抛物线有关的最值问题可通过两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数，再用求函数最值的方法求解解题的关键是根据所给抛物线方程设出动点坐标刷好题1 (xx四川卷)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()ABCD1解析：选C设P，易知F，则由|PM|2|MF|，得M，当t0时，直线OM的斜率k0，当t0时，直线OM的斜率k，所以|k|，当且仅当时取等号，于是直线OM的斜率的最大值为，选C2(xx遵义联考)已知点P是抛物线xy2上的一个动点，则点P到点A(1,2)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为()A2B21C1D1解析：选B抛物线xy2的焦点为F(1,0)由抛物线定义，得点P到点A(1,2)的距离与点P到y轴的距离之和为|PF|PA|1，其最小值为|AF|1121.故选B3(xx黄山月考)已知抛物线x22py(p0)，定点C(0，p)，点N是点C关于坐标原点O的对称点，过定点C的直线l交抛物线于A，B两点设点N到直线l的距离为d，则|AB|d的最小值为_解析：依题意，点N的坐标为N(0，p)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为ykxp，与x22py联立，消去y得x22pkx2p20.由一元二次方程根与系数的关系，得x1x22pk，x1x22p2.|AB|d2SABN22p|x1x2|4p2.当k0时，|AB|d取得最小值，为4p2.答案：4p2