59104926381概率与数理统计教学案

.概率论与数理统计教 案东北农业大学信息与计算科学系第一次课2 学时教学内容：教材1-6页,主要内容有引言、概率论的基本概念、事件之间的关系及运算、事件之间的运算规律。教学目的：1了解概率论这门学科的研究对象,主要任务和应用领域；2深刻理解随机试验、基本事件、样本空间、随机事件的概念；掌握一个随机试验的样本空间、基本事件和有关事件的表示方法。3深刻理解事件的包含关系、和事件、积事件、互斥事件、互逆事件和差事件的意义；掌握事件之间的各种运算,熟练掌握用已知事件的运算表示随机事件；4掌握事件之间的运算规律,理解对偶律的意义。教学的过程和要求：1概率论的研究对象及主要任务10分钟举例说明概率论的研究对象和任务,与高等数学和其它数学学科的不同之处,简单介绍概率论发展的历史和应用； 概率论的研究对象：确定性现象或必然现象：在相同的条件下,每次观察试验得到的结果是完全相同的现象。例：向空中抛掷一物体,此物体上升到一定高度后必然下落；例：在一个标准大气压下把水加热到100必然会沸腾等现象。随机现象或偶然现象：在相同的条件下,每次观察可能出现不同结果的现象。例：在相同的条件下抛一枚均匀的硬币,其结果可能是正面分值面向上,也可能是反面向上,重复投掷,每次的结果在出现之前都不能确定；例：从同一生产线上生产的灯泡的寿命等现象。概率论的研究任务：概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象的统计规律性的一门数学学科。概率论发展的历史：概率论起源于赌博问题。大约在17世纪中叶,法国数学家帕斯卡、费马fermat及荷兰数学家惠更斯用排列组合的方法,研究了赌博中一些较复杂的问题。随着18、19世纪科学的迅速发展,起源于赌博的概率论逐渐被应用于生物、物理等研究领域,同时也推动了概率理论研究的发展. 概率论作为一门数学分支日趋完善,形成了严格的数学体系。概率论发展的应用：概率论的理论和方法应用十分广泛,几乎遍及所有的科学领域以及工、农业生产和国民经济各部门. 如应用概率统计方法可以进行气象预报,水文预报和市场预测、股市分析等；在工业中,可用概率统计方法进行产品寿命估计和可靠性分析等。2随机事件与样本空间；25分钟重点重点讲清随机试验的目的、随机试验要求具备的条件、概率论中随机试验可以是主动做试验,也可能是被动观察某一随机现象；讲清楚随机试验的基本事件、样本空间的定义,对于每个概念要举例说明,可用书中例1、例2、例3、例4或其它,例子中应该包括有限的、无限可数,连续的等类型。应该使学生了解样本空间可以是有限的也可以是无限的,可以是离散的也可以是连续的。随机事件的概念,基本事件与一般随机事件关系、区别,在上述例子中继续给出事件的例子。着重说明事件发生和不发生的含义,引进必然事件和不可能事件的意义。随机试验的目的：要研究随机现象的规律需要进行大量的观察和试验。随机试验要求具备的条件：试验可以在相同的条件下重复进行；试验所有可能的结果是明确知道的,并且不止一个；每次试验必然出现这些可能结果中的一个,但试验前不能预知出现哪一个结果；这样的试验称为随机试验,简称试验,用字母E表示.例：掷一枚均匀硬币观察正面和反面出现的情况；例：某日总机所接到的呼叫次数；例：在一批灯泡中任意抽取一个,测试其寿命等等都是随机试验。基本概念：基本事件样本点：每一个可能的基本结果不可分解称为E的基本事件,通常用表示.基本事件空间样本空间：E的所有基本事件组成的集合称为E的基本事件空间,常用表示。例1 1抛一枚均匀的硬币,其可能出现的结果只有两种：正面、反面. 若令=正面,=反面,则 为该随机试验的两个基本事件,为样本空间. 2 投掷一颗骰子,观察出现的点数. 其可能出现的点数为：1、2、3、4、5、6,若令=,=1,2,3,4,5,6,则为随机试验的基本事件,样本空间. 3 观察单位时间内到达某公交车站候车的人数,令=单位时间内有人到达车站候车,则基本事件为,样本空间. 4 从一批灯泡中任取一只,以小时为单位,测试这只灯泡的寿命,令t表示灯泡的寿命,则大于等于零的任意一个实数都是该试验的一个样本点,. 随机事件：在随机试验中可能发生、也可能不发生的事情称为随机事件,通常用大写字母等表示.例：投掷一颗骰子出现的点数为偶数可以用事件表示,=出现的点数为偶数=2,4,6,而=出现的点数大于4=5,6、=出现的点数为2等等都是随机试验的事件. 事件发生：若一次试验结果出现了事件A中的样本点,即当试验结果为且时,则称事件A发生,否则称A不发生.必然事件：称为必然事件.不可能事件：不包含任何基本事件的事件称为不可能事件,记作.3事件之间的运算关系；30分钟重点对于每一种关系应该举例、画维恩图说明其含义,积事件和和事件要着重说明并推广到多个事件,说明对立事件与互斥事件的相同点与不同点及其应用,差事件的意义及几种表示方法及运算关系；事件之间的运算关系：1事件的包含关系：设在同一个试验中有两个事件A与B,若A发生必然导致B发生即A中任意一个基本事件都在B中,则称事件B包含事件A,记作或.例：如投掷一颗骰子的试验,A=出现4点,B=出现偶数点,则A发生必导致B发生,故。2事件相等：若且,则称事件.例：如掷骰子试验中,记=掷出3点或6点,=掷出3的倍数点,这两个事件所包含样本点相同,因而。3和事件：称事件和至少有一个发生所构成的事件为A与B的和事件,记作.例：如掷一颗骰子观察所得的点数,设A=1,3,5,B=1,2,3,则=1,2,3,5。例2：测试灯泡寿命的试验中,令寿命不超过1000小时,寿命不超过500小时,则寿命不超过1000小时。4积事件：称事件A与B同时发生所构成的事件为A与B的积事件,记作或.例：如在掷骰子的试验中,则=4,即只有随机试验出现4点时,A与B同时发生。5互斥事件：若事件不能同时发生,即,则称事件A与B是互斥事件或互不相容事件。例3：掷一颗骰子,令A=出现奇数点,B=出现4点,则有,即A与B互斥,。6互逆事件：若事件A与事件B在一次试验中必有且只有一个发生,则称事件A与B为互逆事件或对立事件。例4：掷一颗骰子,令C=出现偶数点,则,且,所以,即C与是互逆事件；但由于,而,所以不是互逆事件.7差事件：称事件A发生而B不发生所构成的事件为A与B的差事件,记作.例5：掷骰子试验中,令C=2,4,6,D=1,2,3,则 ,. 4事件之间的运算规律5分钟事件之间的交换律、结合律、分配律只需简单说明,举例说明对偶律的意义和应用。事件之间的运算律：1交换律：2结合律：3分配律：4德摩根定律对偶律：可以推广到任意多个事件的情形。5以例6和例7为主。学生练习10分钟例6：设是样本空间中的三个随机事件,试用的运算表达式表示下列随机事件. 1A与B发生但C不发生；2事件中至少有一个发生；3事件中至少有两个发生；4事件中恰好有两个发生；5事件中不多于一个事件发生. 解：1；2；3；4；5或。练习10分钟。第二次课2学时教学内容：教材7-13页,主要内容：概率的古典定义、统计定义、几何定义,概率的公理化体系及概率的性质。教学目的：1理解概率的古典定义的条件,掌握计算的一般方法,理解古典概率具备的三条性质；2粗知概率的统计定义和几何定义,归纳其性质；3深刻理解概率的公理化定义的意义,掌握概率的性质在概率计算中的应用。教学的过程和要求：1举例简单说明什么是概率；5 分钟阐述概率是随机事件发生的可能性的大小。举例说明：例：抛一枚均匀的硬币,因为已知出现正、反面的可能性相同,各为,足球裁判就用抛硬币的方法让双方队长选择场地,以示机会均等. 例：某厂研制出一种新药,要考虑新药在未来市场的占有率将是多少. 市场占有率高,就应多生产,获取更多利润；市场占有率低,就不能多生产,否则会造成产品积压. 上述问题中的机会、市场占有率以及彩票的中奖率、产品的次品率,射击的命中率等都是用来度量随机事件发生的可能性大小的.都可以用0到1之间的一个数值也称为比率来作为随机事件发生的可能性大小的度量,即事件发生的概率,记作. 把随机事件出现的可能性大小的度量值称为该随机事件的概率.2概率的古典定义和计算30分钟：由简单的例子说明古典概率应具备的条件,即有限性和等可能性,重点讲解古典概型的条件和计算,定义中强调事件和样本空间所含样本点数,而不需知道是什么样本点；讲解书中例1和例2,并通过简单的例子如掷骰子归纳古典概率的三个性质。20分钟。书中例3可不讲,补充习题学生先做教师讲解。10分钟古典概率应具备的条件：试验的样本空间中只含有有限多个基本事件,称为有限性；在每次试验中,每个基本事件出现的可能性相同,称为等可能性.具有这种特点的随机试验称为古典概型.概率的古典定义：定义：若随机试验为古典概型,且已知样本空间中含有个基本事件,事件中含有k个基本事件,则事件A的概率定义中强调事件和样本空间所含样本点数,而不需知道是什么样本点。古典概型的计算：利用概率的古典定义计算随机事件A的概率,首先要确定随机试验E满足古典概型的特点,然后确定样本空间所包含的基本事件总数n和事件A中包含的基本事件数k.有。例1：从有9件正品、3件次品的箱子中抽取两次,每次一件,按两种方式抽取1不放回；2有放回,求事件A=取得两件正品和事件B=取得一件正品一件次品的概率. 解：1从12件产品中不放回抽取两件,所含的基本事件数为, A包含的基本事件数为,B包含的基本事件数为,所以：2从12件产品中有放回抽取两件,所含的基本事件数为, A包含的基本事件数为,B包含的基本事件数为,所以：例2：将n个球随意地放入N个箱子中,假设每个球都等可能地放入任意一个箱子,求下列各事件的概率： 1指定的n个箱子各放一个球； 2每个箱子最多放入一个球； 3某指定的箱子里恰好放入个球. 解：将n个球随意地放入N个箱子中,共有种放法,记1、2、3的事件分别为. 1将n个球放入指定的个箱子,每个箱子各有一球,其放法有种,故有 2每个箱子最多放入一个球,等价于先从N个箱子中任选出n个,然后每个箱子中放入一球,其放法有种,故 3先任取k个球有种取法放入指定的箱子中,然后将其余的个球随意地放入其余个箱子,共有种放法,故有.补充例题： 例题：一个机构投资商考虑对5个公司中的2个公司进行一项大的投资,假设投资者不知道5个公司中的2个公司关于新产品的开发的基础不稳定。a列出所有可能的基本事件。b确定从3个基础更好的公司中选出2个公司的概率。c所选公司中包含1个基础不稳定的公司的概率是多少?d选出2个基础最不稳定公司的概率是多少?古典概率的三个性质：1；2；3设事件两两互斥,则：3简单介绍统计概率和几何概率的定义,并说明其与古典概率具有相同的性质；10分钟统计概率的定义：定义：在一组不变的条件下,进行大量重复试验,随机事件出现的频率稳定地在某个固定的数值的附近摆动,我们称这个稳定值为随机事件A的概率,记为. 几何概率的定义：定义：设在可测区域内,任一具有相同度量的子区域被取到的可能性相等,且从中随机取一点属于子区域A的可能性只与A的测度成正比,而与A的形状及位置无关,则事件A=点属于A的概率为：统计概率和几何概率与古典概率具有相同的性质。4由前面概率的性质引出概率的公理化定义,说明公理化定义的伟大意义。10分钟概率的公理化定义：定义：设随机试验E的样本空间为,对于E的每一个事件A,赋予一个实数,且满足以下三个条件公理： 1非负性：对于任意,有； 2规范性：； 3可列可加性：若是两两互斥的事件列,有则称为事件A的概率. 公理化定义的意义：事件概率的统计定义、古典概率定义、几何概率定义在一定的范围内解决了某些实际问题,但这几种概率的定义都存在着应用上的局限性,缺乏数学定义的严密性与一般性.经过长期的研究,到1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫在总结了前人的研究成果的基础上,提出了概率的公理化体系,明确定义了概率的基本概念,使概率论成为一门严谨的数学分支。5重点讲解概率的性质及应用。性质1和性质2比较显然,直接给出,可不证,性质3说明对立事件的应用、性质4和性质5给出证明,并举出应用的例子。性质5加法定理给出三个事件的情形可根据图形让学生自己总结进而推广到个事件的情形。20分钟概率的性质及证明：性质1：；性质2：有限可加性设有限个事件两两相斥,则性质3：对任何事件,有. 证明：由且,由性质2有 即：. 性质4：设为两个事件,且,则 . 证明：因为,所以且, 由可加性得 即 一般情况下,对任意事件,有性质5：加法定理设为任意两个事件,则.证明：,且, 由性质2、4得：。n个事件的概率加法公式：6利用例5说明概率性质的应用,可补充例题。10分钟例5：设,分别在下列条件下求：1；2A与B互斥；3. 解：1,则,因此 ； 2若互斥,则 ,因此 ；3,因此 . 补充例题：例题：某企业与甲、乙两公司签订某商品的长期供货合同,从以往情况看甲公司按时供货的概率为0.9,乙公司按时供货的概率为0.75,这两公司都按时供货的概率为0.7,求至少有一家公司按时供货的概率。7书中配套练习5分钟第三次课2学时教学内容：教材14-17页,主要内容：条件概率的定义、概率的乘法定理及应用、全概率公式的证明及应用。教学目的：1深刻理解条件概率的意义,掌握条件概率的计算；2了解概率的乘法定理在实际应用中的重要性；掌握两及多个事件乘积的概率计算；3深刻理解全概率公式的意义和方法,掌握全概率公式求事件概率的方法和过程。教学的过程和要求：1条件概率30分钟通过两个例子说明条件概率与无条件概率的不同,并由此给出条件概率的定义和计算方法书中例题2,3可选其一,补充应用例题。举例说明：例：十张彩票中有两张能中奖,甲、乙两人各抽奖一次.抽前乙关心的是自己抽到奖的概率,令A=乙抽到奖,则有. 若甲先抽,乙就会关心甲抽签的结果,因为这会影响到他抽到奖的可能性. 设=甲抽到奖,则在B发生条件下,样本空间已经发生了变化,只含有九个样本点,事件A发生的概率为. 可见考虑在事件B已经发生条件下,事件A发生的概率是有实际意义的.例：两个车间生产同一种产品,产品数量和质量情况如表1-2单位：千件表1-2合格品数不合格品数合计一车间35540二车间501060总计8520100试求：1从所有的产品中任取一件,取到合格品的概率； 2从所有的产品中任取一件,取到的是二车间生产的产品的概率； 3在取到合格品的条件下,取到二车间产品的概率。解：设取到合格品,取到二车间产品,则1 2 3条件概率的定义：定义：设A、B是随机试验E的两个事件,且,在事件B已经发生条件下,事件A发生的条件概率为 条件概率的计算：例3：设一只乌龟能存活60年的概率为0.89,能存活100年的概率为0.83,若现在这只乌龟已经60岁,则它能再存活40年的概率是多少？解：设A=乌龟活到100岁,B=乌龟活到60岁因为,所以p已活到60岁的乌龟再存活40年=也可以理解为100只活到60岁的乌龟中大约有93只能活到100岁. 补充应用例题：考虑下列情况：在对很多保险索赔的分析中,根据保险的类型以及索赔是否属于欺诈对索赔进行分类、得到的结果见下表。假定你负责审核保险索赔具体地说,是要识别出欺诈索赔并且正在处理一桩索赔,那么,事件该桩索赔为欺诈索赔的概率是多少,为了回答这个问题,你考察表中数据,并且注意到在所有的索赔中有10是欺诈索赔。 假定在表中给出的各个百分比与收到特定类型的索赔的真实概率充分接近,就得出P0.10。你会说你面对个欺诈索赔风险的概率有0.10吗?我们想不会因为你有一些可以影响估计P的附加信息。这些附加信息与你正在核审的保险单的类型有关。保险索赔分类类型保险单的类型总和%火灾汽车其他欺诈索赔非欺诈索赔6141293471090总和203050100假定你的附加信息是这桩索赔与一张火灾保险单有关。在表中,我们看到所有的索赔中有20与火灾保险单有关,有6是欺诈性火灾保险索赔。因此,可以得到在已知是火灾保险单的情况下,该桩索赔是欺诈索赔的概率为：学生练习：一家大公司为了评估其雇员在日常工作中的表现,花了相当多的时间开发了一套雇员表现等级的评估办法。这样,可以把应当被安排在重点岗位上的人确定出来,并在需要时进行重大调整。确定重点岗位人员的关键是体现雇员能力的指标,即可以负荷的工作量以及雇员所接受的正规工作训练。工作量正规训练无很少一定程度全面低中等高0.010.050.100.020.060.150.020.070.160.040.100.22由负荷的工作量以及所接受的正规工作训练把所有雇员分成12个类。雇员被安排在重要岗位上的概率如表所示。下面定义3个事件 A：一个雇员负荷的工作量是属于高的； B：一个雇员具有最高的正规训练水平； C：一个雇员很少或没有正规训练并且工作量为中低档。 a求P、P,和P。 b求P,P和P。c 求PP和P 2概率的乘法定理25分钟条件概率和概率的乘积定理的关系和在实际应用中的意义,由条件概率的定义说明实际应用中乘积概率的重要性及计算方法,进而推广到多个事件积的概率,讲解书中例4例5；条件概率和概率的乘积定理的关系：定理：概率乘法公式由条件概率的定义得或 .多个事件积的概率：乘积概率的计算方法：例4：计算机房有10台机器,其中一台是坏的. 现有4名学生同时上机,他们依次随机地选择一台计算机,求4名学生都选到好机器的概率. 解：令=第个学生选到好机器,.则： ,由概率的乘法公式得例5：设袋中有5个红球、3个黑球、2个白球,1不放回摸取三次,每次一球；2有放回地摸取三次,每次一球；求第三次才摸到白球的概率. 解：第三次才摸到白球,意味着第一次、第二次摸到的是红球或黑球. 设A=第一次没有摸到白球,B=第二次没有摸到白球,C=第三次摸到白球,则=第三次才摸到白球. 1无放回摸取时,因而 . 2有放回摸取时,因而 . 3全概率公式35分钟由例子例6引进全概率公式,画图说明全概率公式的含义,给出定理的公式及证明,重点讲清全概率公式应用的条件,举例7；举例说明全概率公式：例6：在前面甲、乙二人摸奖的的试验中,若甲先摸,而乙并不知道甲摸得的结果,求乙摸到奖的概率？解：我们来分析一下,乙摸到奖可以分为两种情况,即在甲摸到奖时乙也摸到奖或甲没有摸到奖时乙摸到奖,并且这两种情况是互不相容的甲要么摸到奖,要么摸不到. 设甲摸到奖,=甲摸不到奖,=乙摸到奖,则：在发生时也发生的概率为在不发生时发生的概率为因此： 。全概率公式的定义及证明：定理：全概率公式设是两两互不相容的事件,且,则对于任意事件B,有证明： 因为,且故： 全概率公式应用的条件：要求有限个事件两两互斥,且。全概率公式的计算：例7：设某批产品中甲、乙、丙三个厂家的产量分别占45%,35%,20%,各厂产品中次品率分别为4%、2%和5%. 现从中任取一件,求取到的恰好是次品的概率. 解：设B=任取一件,恰好是次品,=取到甲厂生产的,=取到乙厂生产的,=取到丙厂生产的,则, , 且 ,由全概率公式得：补充例题：12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.解: 设为第i次比赛取到了i个新球, ,构成完备事件组.设B为第二次取到的3个球中有2个新球. 则有根据全概率公式有书中配套练习第四次课2 学时教学内容：教材19-22页,主要内容：事件的独立性及应用、贝努利概型。教学目的：1深刻理解两个事件的独立性的概念和性质； 2理解多个事件相互独立的定义,了解多个事件相互独立和事件之间两两相互独立的关系；3掌握事件独立性在概率计算中的应用；4理解贝努利概型的条件,理解公式；5掌握贝努概型概率的计算。教学的过程和要求：1两个事件的独立性20分钟:由条件概率引出两个事件的独立性或其它实际例子给出定义,证明两事件独立的推论定理5,书中例题9。举例说明两个事件的独立性：某人掷一颗骰子两次,第一次骰子出现的点数并不会影响第二次骰子出现的点数；此时有,当时,事件独立性定义及独立的充要条件：定义：对任意两个事件A与B,若,则称事件A与B相互独立.定理：事件与独立的充要条件是或 事件独立性计算：例9：甲、乙两人单独地解答同一道习题,甲能答对的概率是0.8,乙能答对的概率是0.9. 试求：1两个都答对的概率；2至少有一个人答对的概率. 解1设A=甲答对,B=乙答对,则,A与B相互独立,两人都答对为事件AB ,则有. 2至少有一人答对的事件为,可用多种方法求解：解法一：解法二：解法三：补充例题：某个大城市的公用事业公司发现其70的顾客付清每月的账单,假定从所有顾客的列表中随机选择2名顾客。两个顾客都付清每月账单的概率是多少？至少一个顾客付清每月账单的概率是多少?2多个事件相互独立20分钟简单介绍多个事件相互独立的含义,两两相互独立与多个事件相互独立的关系。补充例题。这里重点需要说清楚独立性应用的情况。书中配套练习多个事件相互独立的定义：定义：设有n个事件,假如对所有可能的,以下等式均成立：,则称这n个事件是相互独立的. 两两相互独立与多个事件相互独立的关系：事件之间两两独立并不能保证多个事件之间相互独立。多个事件独立的计算：例10：设某种高射炮的命中率为0.6,若有一架敌机入侵领空,欲以99%以上的概率击中它,问至少需要多少门高射炮同时射击？解：设至少需要n门高射炮,=第k门高射炮击中敌机,则之间相互独立,且,. 由题意知即,所以至少需要6门高射炮. 补充例题：在一个均匀的正四面体的四个面上分别涂上红色、蓝色、黄色和红、蓝、黄色,抛掷该四面体,设：有红色着地,：有蓝色着地,：有黄色着地,则,且有,但：练习。3练习题：5分钟学生练习：对公司记录详细的检查表明,付清当月账单的顾客中95的顾客也会付清下一个月的账单。没有付清当月账单的顾客中,仅有10的顾客会付清下一个月的账单。求随机选出的一位顾客,在连续的两个月中都付清账单的概率；连续的两个月中都不付清账单的概率；连续的两个月中只付清一个月账单的概率。4贝努利概型30分钟通过例子阐述什么叫贝努利概型,说明它的前提条件,重点强调独立重复,给出概率计算公式及其取。举例说明其应用例题12,13。举例说明贝努利概型：例：如掷一枚硬币观察其出现正面还是反面；抽取一件产品检验其是正品还是次品；一颗种子发芽或不发芽等. 有些试验虽然可能的结果不止两个,但我们总是可以将感兴趣的试验结果定义为,而所有其它结果都定义为,这样该试验也就只含有和这两个对立的结果了. 我们将这样的试验独立地重复n次,称为n重贝努里试验,针对n重贝努里试验给出的概率模型,称为贝努里概型.贝努利概型的前提条件：有些试验虽然可能的结果不止两个,但我们总是可以将感兴趣的试验结果定义为,而所有其它结果都定义为,这样该试验也就只含有和这两个对立的结果了. 我们将这样的试验独立地重复n次,称为n重贝努里试验,针对n重贝努里试验给出的概率模型,称为贝努里概型.贝努利概型的计算公式：一般地,设一次试验中出现的概率为,则在n重贝努里试验中事件恰好出现了k次的概率为贝努利概型的计算：例12：某彩票每周开奖一次,每次只有百万分之一中奖的机率. 若你每周买一张彩票,尽管你坚持十年每年52周之久,但你从未中过奖的概率是多少？解：每周买一张,不中奖的概率是,十年中共购买520次,且每次开奖都相互独立,所以十年中从未中过奖的概率为例13：现有2500名同一社会阶层的同龄人参加人寿保险,根据以往的资料,这一类人在一年中的死亡率为0.002. 参加保险的人当年向保险公司支付12元保险费,若投保者死亡,其家属可获得2000元补偿. 若不考虑这笔保险费的利息收入及保险业务各项开支情况,求保险公司在一年中获利不少于10000元的概率. 解：本题属于,的贝努里概型. 设这一年中参保者死亡人数为k,保险公司获利要不少于10000元,必有死亡人数满足解出,所以保险公司获利不小于10000元的概率为学生练习：为了估计某城市中失业的户主的百分比,我们从所有家庭中随机选择出一个由多个家庭构成的样本。为了举例说明二项概率的计算,假定求知的百分比实际为10%,从总体中选取 的一个样本,所有5个家庭的户主均有事作的概率是多少？5本章小节15分第五次课教学内容：教材32-36页,主要内容：随机变量的定义,随机变量的分布函数的定义及性质,一维离散型随机变量。教学目的：1深刻理解随机变量的意义,熟练掌握用随机变量表示随机试验的结果； 2深刻理解随机变量分布函数的定义、掌握分布函数的性质；3理解一维离散型随机变量的意义,熟练掌握一维随机变量的表示,掌握离散型随机变量分布函数的计算。教学的过程和要求：1举例给出随机变量的定义,举出连续型和离散型的例子,举出试验结果为数量型和非数量型的情况的随机变量的表示并加以总结给出定义,强调随机变量的取值与随机试验的结果之间的对应关系；说明引进随机变量的意义和目的。20分钟举例说明随机变量的定义：例：掷一颗骰子得到的点数,分别用1、2、3、4、5、6来表示；例：测试一个灯泡的使用寿命,结果对应着0,中的一个实数；例：投篮一次命中可用1表示,没有命中可用0表示；例：从一批产品中随机抽取一个检验,次品用0表示,合格品用1表示等等。随机变量：一个变量的取值取决于随机试验现象的基本结果,则该变量称为随机变量. 随机变量常用大写字母X、Y、Z等表示,其取值用小写字母x、y、z等表示.引进随机变量的意义和目的：意义：随机变量是由随机试验的结果所决定的变量；随机性表现在,随机变量取什么值,在试验前无法确知,要随机会而定. 目的：引入随机变量的概念后,随机事件就可以用随机变量的数量形式来表示,从而把对随机事件的研究转化为对随机变量的研究,这是运用各种数学工具研究随机现象的基础. 2随机变量的分布函数及其性质；此为本节重点。借助于函数及其性质来理解和解决概率问题是引进分布函数的目的。对于分布函数要强调其与一般函数相同之处和不同之处,由此来解释和证明分布函数的性质。声明凡具有分布函数四个性质的函数都可认为是某一随机变量的分布函数。随机变量的分布函数定义：定义：设X是一个随机变量,对于任意实数x,令称为随机变量X的概率分布函数,简称分布函数. 分布函数性质：1对于任意实数,；2；3是单调非减函数,即对于任意,有；4右连续,即. 举例说明分布函数性质：例如：函数只有当 时可以成为某一随机变量的分布函数。可以举一相应的例子35分钟3根据前面所举例子,强调离散型随机变量的特点给出离散型随机变量的分布列的表示和分布列的性质；并说明具有该两性质的数列也可认为是某随机变量的分布列。由分布函数的定义给出离散型随机变量的分布函数；书中例子,计算讲解后注意强调分布函数的右连续性。离散型随机变量的分布列定义及表示：定义：设为离散型随机变量,其可能取值为,且称上式为随机变量的概率分布或分布列.可用表格形式来表示为： Xp分布列的性质：1； 2.离散型随机变量的分布函数：离散型随机变量的分布函数计算：例1：有一批产品共40件,其中有3件次品. 从中随机抽取5件,以表示取到次品的件数,求X的分布列及分布函数. 解：随机变量X可能取到的值为0,1,2,3,按古典概率计算事件的概率,得的概率分布为或X0 1 2 3p0.6624 0.3011 0.0354 0.0011当时,；当时,；当时,=0.9635；类似地可求得：当时,；当时,.故 4补充例题：一批产品分一,二,三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半, 从这批产品中随机地抽取一个检验质量, 用随机变量描述检验的可能结果, 写出它的概率分布函数.25分钟5学生练习：一批产品包括10件正品, 3件次品, 有放回地抽取, 每次一件, 直到取得正品为止, 假定每件产品被取到的机会相同, 求抽取次数的概率函数. 练习：书中配套练习任选10 分钟第六次课教学内容：教材37-41页,主要内容：连续型随机变量的定义、表示及性质,一维随机变量函数的分布的意义及求法。教学目的：1深刻理解连续型随机变量分布密度函数的意义及性质,熟练掌握分布密度函数性质的应用2熟练掌握分布密度函数与随机变量在某区间是取值的概率之间的计算； 3理解随机变量的函数仍为随面变量,其分布函数或密度由原随机变量的分布各函数关系决定,掌握离散型随机变量函数的分布的计算；4了解求连续型随机变量函数分布的一般方法。教学的过程和要求：1对比离散型随机变量的取值情况举例给出连续型随机变量的定义；举例说明连续型随机变量的定义：例3：设一个半径为2的圆盘靶子,假设射击都能中靶,且打到靶上任一同心圆内的概率与该圆的面积成正比. 以X表示弹着点与圆心的距离,试求X的分布函数. 定义：如果对于随机变量X的分布函数,存在函数,使得对于任意实数x,有则称X为连续型随机变量,函数称为X的概率密度函数简称密度函数. 2举例说明密度函数的定义、意义和性质.书中例3强调密度函数的性质及应用其中密度函数中求知参数的求法、已知密度函数求概率。密度函数的定义：连续型随机变量分布函数中的称为X的概率密度函数简称密度函数. 密度函数的意义和性质：1非负性：；2=1；3对于任意实数和,有；4在的连续点处,有密度函数的计算：补充例题：设随机变量的概率密度为：,求1常数；2。3了解密度函数与分布函数的关系。可以练习书后13题并讲解。4举例说明随机变量函数的定义,重点说明随机变量函数的意义和决定随机变函数分布的因素有哪些,通过例题介绍随机变量函数的分布的求法,离散型随机变量讲解书中例1。连续型随机变量函数的分布要注意强调用分布函数的定义的方法,例子以线性函数为主,可对线性函数密度函数之间的关系进行总结.举例说明随机变量函数的定义：例：在测量中由于误差的存在,某轴承的直径X是一个随机变量,可以得到它的分布,但是我们关心的是轴承横截面积,由于直径是随机变量,那么横截面积Y也是一个随机变量,具有一定的分布,可以由与X的函数关系和的分布唯一确定,则的分布即为随机变量函数的分布。定义： X是一个随机变量,为连续实函数,则称为一维随机变量的函数,显然Y也是一个随机变量.随机变量函数的分布的求法：离散型随机变量函数分布的求法：首先将的取值代入函数关系式,求出随机变量Y相应的取值如果的值各不相等,则Y的概率分布为Yp如果中出现相同的函数值,如,则在Y的分布列中,取的概率为.例1：设随机变量X的概率分布为X-2-10123p0.050.150.200.250.20.15求和的概率分布. 解：由函数和X可能的取值,得Y相应的取值为,又由中与是一一对应关系可得的分布如下：-3-11357p0.050.150.200.250.200.15可能取的值为0,1,4,9,相应的概率值为同理 即Z的概率分布为0149p0.200.400.250.15补充例题：测一圆盘的半径,其概率分布为101112130.10.40.30.2求圆的周长和面积的分布。;连续型随机变量函数分布的求法：例2：设的分布密度为,求随机变量,均为常数,且的概率密度. 解：用来表示随机变量的分布函数,由分布函数的定义当时,当时,则的分布密度为 书中配套练习任选10 分钟第七次课教学内容：教材42-47页,主要内容：一维随机变量的数字特征,包括离散型随机变量的数学期望与方差、连续型随机变量的数学期望与方差、随机变量函数的数学期望以及期望和方差的性质。教学目的：1深刻理解随机变量数学期望的实际意义,熟练掌握数学期望的计算；2深刻理解随机变量方差的实际意义,熟练掌握方差的计算； 3理解随机变量的函数的数学期望,掌握随机变量函数数学期望的计算；4理解随机变量数学期望和方差的性质,掌握其应用。教学的过程和要求：1引言：从整体上如何了解一个随机变量,用某些数字刻画随机变量取值的平均值和取值与平均值的偏离程度并举例,参看书中本节引言；3分分布函数在概率意义上给随机变量以完整的刻画,但在许多实际问题的研究中,要确定某一随机变量的概率分布往往并不容易. 就某些实际问题而言,我们更关心随机变量的某些特征.举例说明：例：在研究水稻品种的优劣时,往往关心的是稻穗的平均稻谷粒数；例：在评价两名射手的射击水平时,通常是通过比较两名射手在多次射击试验中命中环数的平均值来区别水平高低；例：在检验自动包装机的生产性能时,则要考察产品的重量与标准重量的偏离程度,偏离程度越小,说明包装机稳定性越好.我们把一些与随机变量的概率分布密切相关且能反映随机变量某些方面重要特征的数值称为随机变量的数字特征。2举例说明随机变量平均数的实际意义,说明该平均数与总的数量无关,只与随机变量取各数的概率及各数的大小有关,给出离散型随机变量数学期望的定义,举书中例2,例3,根据例题说明数学期望在实际应用中的意义。27分举例说明随机变量平均数的意义：例1：某商店向工厂进货,该货物有四个等级：一、二、三和等外,产品属于这些等级的概率依次是：0.50、0.30、0.15、0.05. 若商店每销出一件一等品获利10.50元,销出一件二、三等品分别获利8元和3元,而销出一件等外品则亏损6元,问平均销出一件产品获利多少元？解：假设该商店进货量极大,则平均说来其中有一等品件,二等品和三等品和等外品数分别为件、件、件. 这件产品总的销售获利为元故平均获利为从结果来看,平均获利与进货量并无关系,只与各等级的概率和获利情况有关,等于它们乘积之和. 即这个量不依赖于试验的次数,它体现了随机变量的客观属性,我们把它称为随机变量的数学期望或理论均值。离散型随机变量数学期望的定义：定义： 设随机变量X的分布列为,若级数绝对收敛,则称为随机变量X的数学期望,记作EX,即如果级数发散,则称X的数学期望不存在.离散型随机变量数学期望的计算：例2：某两名射手在相同条件下进行射击,其命中环数及其概率如下表,试问哪名射手的技术更好些？X 8910甲0.10.40.5乙0.30.30.4解：甲、乙射手命中环数X的数学期望为：结果说明若甲、乙进行多次射击,则甲的平均命中环数为9.4,而乙的平均命中环数为9.1,这说明甲的射击技术比乙好些.3依照离散型随机变量数学期望定义的形式给出连续型随机变量数学期望的定义,由前节知近似为连续型随机变量在点附近的概率对定义进行解释；例415分连续型随机变量数学期望的定义：定义：设连续型随机变量X的概率密度为,若积分绝对收敛,则称积分为X的数学期望,记为,即；若积分发散,则称X的数学期望不存在.连续型随机变量数学期望定义的解释：连续型随机变量的期望反映了随机变量X取值的平均水平. 假如X表示寿命,则就表示平均寿命；假如X表示重量,就表示平均重量. 从分布的角度看,数学期望是分布的中心位置.连续型随机变量数学期望的计算：例4：随机变量X的分布密度为,求的数学期望. 解： 由数学期望的定义和随机变量函数的性质,利用一个离散型随机变量函数的数学期望的例子给出45页的定理；15分随机变量函数的数学期望：定理：设X是一个随机变量,为连续实函数. 1若X是离散型随机变量,其概率分布为,若级数绝对收敛,则存在,且 2若X是连续型随机变量,其密度函数为,若积分绝对收敛,则存在,且随机变量函数的数学期望的计算：例5：设X的概率分布如下表所示,求X012p 解：先求则 例6：对例4中分布,求. 补充例题：例：离散型随机变量的分布列为：02030302求随机变量的数学期望。5由随机变量函数的数学期望给出方差的定义并说明其意义书中例子。15分方差的定义：定义：设是一个随机变量,如果存在,则称为的方差,记作,即,称为标准差或均方差.方差的计算式：方差的计算：例7：对例4中的分布,求. 解：由例4、例5的结果可知所以 6数学期望和方差的性质。10分数学期望的性质：1设为任意一个常数,则；2设为一随机变量,且存在,为常数,则有；由1、2可得 为任意常数。方差的性质：1设为常数,则；2如果为随机变量,为常数,则；3如果为随机变量,为常数,则有；由性质2、3可得 为任意常数。7应用案例中例4或例5。或其它练习。5分第八次课教学内容：教材47-52页,主要内容：常见的离散型随机变量：一点分布、两点分布、二项分布、泊松分布的分布列、数字特征用应用。教学目的：1深刻理解每一个分布的实际意义,熟练掌握每个分布的分布列；2熟练掌握每个分布的数学期望方差的计算；并深刻理解其数字特征的实际意义； 3熟练掌握利用分布列求随机变量取值的概率的计算；4掌握泊松定理的应用。教学的过程和要求：1一点分布只用简单介绍,分布列及其性质,已经退化为几乎确定,但并非一个常数。3分常见离散型随机变量的分布1一点分布退化分布：一个随机变量X以概率1取某一常数,即,则称X服从点a处的退化分布一点分布。数学期望,方差。2重点讲两点分布、二项分布。对于每个分布给出或推出分布例,说明满足分布列的性质,数学期望和方差是什么,分布中参数的意义及其变化对分布的影响。要重点讲解各分布的实际应用,两点分布与二项分布之间的关系,联系第一章独立重复试验部分的内容；例1、例2、例32两点分布贝努里分布：若随机变量只有两个可能的取值 0和1,其概率分布为 0 1或 则称X服从参数为p的两点分布.也称0-1分布。数学期望,方差3二项分布：设X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数,则X所有可能的取值为0,1,n,且相应的概率为,0,1,n.称X服从参数为n、p的二项分布,记作.数学期望,方差两点分布、二项分布的关系及应用：例1：假设某篮球运动员投篮命中率为0.8,表示他投篮一次命中的次数,求的概率分布. 解：投篮一次只有不中和命中两个结果,命中次数只可能取0、1两个值,且概率分别为 =0.8 , 也可表示为X 0 1p0.20.8例2：甲、乙两名棋手约定进行10盘比赛,以赢的盘数较多者为胜. 假设每盘棋甲赢的概率都为0.6,乙赢的概率为0.4,且各盘比赛相互独立,问甲、乙获胜的概率各为多少？甲平均赢得的盘数是多少？解：每一盘棋可看作一次贝努里试验. 设X为甲赢的盘数,则,即按约定,甲只要赢6盘或6盘以上即可获胜. 所以甲获胜 =若乙获胜, 则甲赢棋的盘数,即. 事件甲获胜与乙获胜并不是互逆事件,因为两人还有输赢相当的可能. 容易算出：. 由于 甲平均赢得的盘数为6盘 .例3：某厂需从外地购买12只集成电路. 已知该型号集成电路的不合格率为0.1,问至少需要购买几只才能以99%的把握保证其中合格的集成电路不少于12只？解：设需要购买n只,X表示这n只集成电路中合格品个数,则,按题意,要求事件的概率不小于0.99,即可算出至少需要购买17只集成电路,才能以99%的把握保证其中合格品不少于12只. 补充例题：某柜台上有4个售货员, 并预备了两个台秤, 若每个售货员在一小时内平均有15分钟时间使用台秤, 求一天10小时内, 平均有多少时间台秤不够用.解: 每个时刻构成一n=4的贝努里试验, 且p=15/60=0.25, 因此, 设为每个时刻要用秤的售货员数, 则B, 当2时, 台秤不够用. 因此每时刻台秤不够用的概率为0.0508因此10个小时内平均有0.050810=0.508个小时台秤不够用.32分3练习对超几何分布进行说明。其与二项分布的关系。10分4超几何分布：假设100个产品中有10个次品,从中任取5个产品,求其中次品数的分布列. 4说明泊松分布的分布列、性质及数字特征和分布列中参数的意义,了解泊松分布表的应用；例4、例525分5泊松分布：若一个随机变量X的概率分布为,k = 0,1,2,其中为参数,则称X服从参数为的泊松分布,记作。数学期望,方差。泊松分布的应用：例4：某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月的销售量可以用的泊松分布来描述. 为了以95%以上的把握保证不脱销,问商店在月底应存有多少件该种商品？假设只在月底进货. 解：设该商店每月的销售量为X,据题意. 设月底存货为a件,则当时就不会脱销. 即求a使得查泊松分布表可得,于是这家商店只要在月底保证存货不少于15件就能以95%以上的把握保证下月该商品不会脱销.5泊松定理的应用条件和应用方法并举例。例5、例610分泊松定理：定理：设随机变量序列服从二项分布这里概率与n有关,若满足为常数,则有：泊松定理的应用：在实际应用中,当n比较大,p较小,而不太大时,可直接利用以下近似公式：,其中 泊松定理的计算：例5：在500个人组成的团体中,恰有5个人的生日是元旦的概率是多少？解：该团体中每个人的生日恰好是元旦的概率都是,则该团体中生日为元旦的人数,恰有5个人的生日是元旦的概率为其中,满足泊松定理条件,可以用的泊松分布来近似计算：例6：为保证设备正常工作,需要配备一些维修工. 若设备是否发生故障是相互独立的,且每台设备发生故障的概率都是0.01. 每台设备发生故障可由1人排除. 试求： 1若一名维修工负责维修20台设备,求设备发生故障而不能及时维修的概率； 2若3人负责80台设备,求设备发生故障而不能及时维修的概率；解：1设表示20台设备中同时发生故障的台数,则,根据泊松定理,X又可近似地看作服从泊松分布,其中参数. 20台设备中只配备一个维修人员,则只要有两台或两台以上设备同时发生故障,就不能得到及时维修. 故所求概率为 280台设备中同时发生故障的台数,类似的,可用的泊松分布来近似,于是所求概率为与第一种安排方式相比,3人维修80台设备,虽然比1人维修20台设备任务重,但工作效率却比第一种方式高,不能及时排除故障的概率仅为0.009. 6练习对几何分布进行说明,其与二项分布的关系的计算关系。10分6几何分布：设某人射击命中率为,现进行连续射击,直到命中为止射击次数的分布。第九次课教学内容：教材52-59页,主要内容：常见的连续型随机变量：均匀分布、指数分布、正态分布的分布密度函数及其性质、数字特征和参数的意义。各分布的应用。教学目的：1深刻理解每一个分布的实际意义,熟练掌握每个分布