（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第5节 第2课时 椭圆的简单几何性质学案 理 新人教B版

第2课时椭圆的简单几何性质考点一椭圆的性质【例1】 (1)(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A. B. C. D.(2)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点.若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析(1)以线段A1A2为直径的圆是x2y2a2，直线bxay2ab0与圆相切，所以圆心(0，0)到直线的距离da，整理为a23b2，即.e.(2)设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.设M(0，b)，则，1bb0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A. B. C. D.(2)设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率等于_.解析(1)设M(c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以，所以a3c，所以e.(2)由题意知F1(c，0)，F2(c，0)，其中c，因为过F2且与x轴垂直的直线为xc，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A，B.因为AB平行于y轴，且|F1O|OF2|，所以|F1D|DB|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为，又ADF1B，所以kADkF1B1，即1，整理得b22ac，所以(a2c2)2ac，又e且0e1，所以e22e0，解得e(e舍去).答案(1)A(2)考点二椭圆性质的应用【例2】 (1)(2018湖南东部六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e，且它的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则此椭圆方程为()A.1 B.1C.y21 D.y21(2)已知点F1，F2是椭圆x22y22的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|的最小值是()A.0 B.1 C.2 D.2解析(1)依题意，可设椭圆的标准方程为1(ab0)，由已知可得抛物线的焦点为(1，0)，所以c1，又离心率e，解得a2，b2a2c23，所以椭圆方程为1，故选A.(2)椭圆的标准方程为y21，因为原点O是线段F1F2的中点，所以2，即|2|2|PO|，椭圆上点到中心的最短距离为短半轴长，即|PO|的最小值为b1，所以|的最小值为2.答案(1)A(2)C规律方法利用椭圆几何性质的注意点及技巧(1)在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系.(2)求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.【训练2】 (1)(2018贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A.1 B. C.2 D.2(2)(2017全国卷)设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A.(0，19，) B.(0，9，)C.(0，14，) D.(0，4，)解析(1)设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以2cb1，bc1，而2a222(当且仅当bc1时取等号)，故选D.(2)当焦点在x轴上，依题意得0m3，且tan.0m3且m1，则03，且tan，m9，综上，m的取值范围是(0，19，).答案(1)D(2)A考点三直线与椭圆(多维探究)命题角度1弦及中点弦问题【例31】 已知椭圆y21，(1)过A(2，1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；(2)求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程.解(1)设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点是M(x，y).得，所以，化简得x22x2y22y0(包含在椭圆y21内部的部分).(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k，因此所求直线方程是y，化简得2x4y30.规律方法弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.命题角度2直线与椭圆的位置关系(易错警示)【例32】 (2018沈阳质检)已知P点坐标为(0，2)，点A，B分别为椭圆E：1(ab0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，ABP是等腰直角三角形，且.(1)求椭圆E的方程；(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.解(1)由ABP是等腰直角三角形，得a2，B(2，0).设Q(x0，y0)，则由，得代入椭圆方程得b21，所以椭圆E的方程为y21.(2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为ykx2.联立消去y并整理得(14k2)x216kx120.(*)因直线l与E有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，故(16k)248(14k2)0，解得k2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由根与系数的关系得因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，所以0，即x1x2y1y20，又由x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)4(1k2)2k40，解得k24，综上可得k24，则k2或2k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，求k的取值范围.解(1)设M(x1，y1)，则由题意知y10.当t4时，E的方程为1，A(2，0).由|AM|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1得7y212y0，解得y0或y，所以y1.因此AMN的面积SAMN2.(2)由题意t3，k0，A(，0)，将直线AM的方程yk(x)代入1得(3tk2)x22tk2xt2k23t0.由x1()得x1，故|AM|x1|.由题设，直线AN的方程为y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|得，即(k32)t3k(2k1)，当k时上式不成立，因此t.t3等价于0，即0.由此得或解得k0且m3及m0得m1且m3.答案B2.设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为()A. B.C. D.解析在RtPF2F1中，令|PF2|1，因为PF1F230，所以|PF1|2，|F1F2|.故e.故选D.答案D3.(2018石家庄质检)设椭圆1(m0，n0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析由抛物线y28x的焦点为(2，0)，可知椭圆焦点在x轴上，且椭圆的半焦距c2，可设椭圆的方程为1(ab0)，因为离心率e，所以a4，b2a2c212，即椭圆的方程为1.答案B4.(2018武汉调研)已知椭圆C：1(ab0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则ABF()A.60 B.90 C.120 D.150解析由题意知，切线的斜率存在，设切线方程ykxa(k0)，与椭圆方程联立消去y整理得(b2a2k2)x22ka3xa4a2b20，由(2ka3)24(b2a2k2)(a4a2b2)0，得k，从而yxa交x轴于点A，又F(c，0)，易知0，故ABF90.答案B5.(2018许昌模拟)设F1(c，0)，F2(c，0)分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，若在直线x上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析如图，由题意可知，|PF1|PF2|且|PF1|F1F2|，所以要使PF1F2为等腰三角形，则只能是|F1F2|PF2|，设P点坐标为，则直线x与x轴的交点为D，则|PF2|F1F2|2cc，即3c2a20，即e2.解得e1.答案D二、填空题6.(选修21P49A5(3)改编)焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为_.解析由题意知解得又b2a2c2，b29，b3.当焦点在x轴上时，椭圆方程为1，当焦点在y轴上时，椭圆方程为1.答案1或17.已知椭圆的方程是x22y240，则以M(1，1)为中点的弦所在直线方程是_.解析设过M(1，1)点的方程为ykxb，则有kb1，即b1k，即ykx(1k)，联立方程组则有(12k2)x2(4k4k2)x(2k24k2)0，所以1，解得k，故b，所以yx，即x2y30.答案x2y308.若F1，F2分别是椭圆E：x21(0bb0).由题意得解得c.所以b2a2c21.所以椭圆C的方程为y21.(2)证明设M(m，n)，则D(m，0)，N(m，n).由题设知m2，且n0.直线AM的斜率kAM，故直线DE的斜率kDE.所以直线DE的方程为y(xm).直线BN的方程为y(x2).联立解得点E的纵坐标yE.由点M在椭圆C上，得4m24n2，所以yEn.又SBDE|BD|yE|BD|n|，SBDN|BD|n|.所以BDE与BDN的面积之比为45.10.(2018山西晋城一中、忻州一中等五校联考)已知A，B分别为椭圆C：1(ab0)在x轴正半轴、y轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为，且|AB|.(1)求椭圆C的离心率；(2)直线l：ykxm与圆x2y22相切，并与椭圆C交于M，N两点，若|MN|，求k的值.解(1)由|AB|，ab0，计算得出a2，b，则椭圆C的离心率为e.(2)由(1)知椭圆方程为1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则消去y得，(3k24)x26kmx3m2120，直线l与椭圆相交，则0，即48(3k2m24)0，且x1x2，x1x2.又直线l与圆x2y22相切，则，即m22(k21).而|MN|，又|MN|，所以，即5k43k220，解得k1，且满足0，故k的值为1.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上点A满足AF2F1F2.若点P是椭圆C上的动点，则的最大值为()A. B. C. D.解析由椭圆C：1可得a24，b23，c1，可得F1(1，0)，F2(1，0)，由AF2F1F2，令x1，得y，不妨设A点坐标为，设P(m，n)，则点P坐标满足1，又n，则(m1，n)n，可得的最大值为.答案B12.已知直线l：ykx2过椭圆1(ab0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2y24截得的弦长为L，若L，则椭圆离心率e的取值范围是_.解析依题意，知b2，kc2.设圆心到直线l的距离为d，则L2，解得d2.又因为d，所以，解得k2.于是e2，所以0e2，解得0e.答案13.(2018东北三省四校联考)已知椭圆C：1(ab0)，e，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB的中点横坐标为，且(其中1).(1)求椭圆C的标准方程；(2)求实数的值.解(1)由条件可知，c1，a2，故b2a2c23，椭圆C的标准方程是1.(2)由，可知A，B，F三点共线，设点A(x1，y1)，点B(x2，y2).若直线ABx轴，则x1x21，不符合题意.当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为yk(x1).由消去y得(34k2)x28k2x4k2120.由的判别式64k44(4k23)(4k212)144(k21)0.x1x2，k2.将k2代入方程，得4x22x110，解得x.又(1x1，y1)，(x21，y2)，又1，.13